Spojení mnohostěnů

Složení mnohostěnů je obrazec složený z nějakého mnohostěnu se společným středem. Spoje jsou trojrozměrné protějšky polygonálních spojů , jako je hexagram .

Vnější vrcholy spojení mohou být spojeny tak, aby vytvořily konvexní mnohostěn , nazývaný konvexní trup . Spojení je fasetou konvexního trupu.

Uvnitř sloučeniny je vytvořen menší konvexní mnohostěn jako společná součást všech členů sloučeniny. Tento mnohostěn se nazývá jádro hvězdného mnohostěnu .

Správné připojení

Pravidelné polyedrické spoje lze definovat jako spoje, které jsou stejně jako v případě pravidelných mnohostěnů vertex-tranzitivní , hraně tranzitivní a plošně tranzitivní [ . Existuje pět pravidelných spojení mnohostěnů.

Nejznámější je složenina dvou čtyřstěnů . Kepler tuto sloučeninu nazval latinsky stella octangula (hvězdovitý osmistěn). Vrcholy dvou čtyřstěnů definují krychli a jejich průsečík je osmistěn , jehož stěny leží ve stejných rovinách jako stěny čtyřstěnů voliče. Konjunkce je tedy redukcí na hvězdu osmistěnu a vlastně její jedinou možnou redukcí.

Hvězdicový oktaedr lze také považovat za dvojitou regulární sloučeninu.

Sloučenina pěti tetraedrů má dvě zrcadlové verze, které dohromady dávají sloučeninu deseti tetraedrů. Všechny sloučeniny čtyřstěnů jsou dvojsečné a sloučenina pěti kostek je duální vůči sloučenině pěti osmistěnů.

Duální sloučeniny

Dvojitá sloučenina je složenina mnohostěnu a jeho duálu, umístěná vzájemně protilehle vzhledem ke společné vepsané nebo polovepsané kouli tak, že hrana jednoho mnohostěnu protíná dvojitou hranu duálního mnohostěnu. Existuje pět takových sloučenin pravidelných mnohostěnů.

Čtyřstěn je samoduální, takže duální sloučenina čtyřstěnu s jeho duálem je také hvězdicový osmistěn.

Duální sloučeniny krychle-oktaedr a dodekaedr-ikosaedr jsou hvězdicové redukce kuboktaedru a ikosidodekaedru , v daném pořadí.

Konjunkce malého hvězdicového dvanáctistěnu a velkého dvanáctistěnu vypadá navenek jako stejný malý hvězdicový dvanáctistěn, protože velký dvanáctistěn je celý obsažen v něm. Z tohoto důvodu je obrázek malého hvězdicovitého dvanáctistěnu nahoře zobrazen jako drátěný model.

Homogenní sloučeniny

V roce 1976 John Skilling publikoval Uniform Compounds of Uniform Polyhedra [1] , ve kterém uvedl 75 sloučenin (včetně 6 nekonečných sad prizmatických sloučenin, #20-25) získaných z uniformních mnohostěnů rotací. (Každý vertex je vertex-tranzitivní .) Seznam obsahuje pět sloučenin regulárních polytopů ze seznamu výše. [jeden]

Těchto 75 homogenních sloučenin je uvedeno v tabulce níže. Ve většině sloučenin odpovídají různé barvy různým složkám. Některé chirální páry jsou zbarveny podle zrcadlové symetrie.

• 1-19: Směs (4,5,6,9,17 je pět správných sloučenin )

• 20-25: Hranolová symetrie vložená do dihedrální symetrie ve 3D prostoru ,

• 26-45: Hranolová symetrie vnořená do oktaedrické nebo ikosaedrické symetrie,

• 46-67: Tetraedrická symetrie vnořená do oktaedrické nebo ikosaedrické symetrie,

• 68-75: enantiomorfní páry

Další spojení

• Spojení tří oktaedrů
• Spojení čtyř kostek

Dva mnohostěny, které jsou sloučeninami, ale jejich prvky jsou přísně uzavřeny v malém složeném icosidodecahedron (sloučenina dvacetistěnu a velkého dvanáctistěnu ) a velkém složeném ikosidodekaedru (složená z malého hvězdného dvanáctistěnu a velký dvacetistěn ). Pokud přijmeme zobecněnou definici homogenního mnohostěnu , budou homogenní.

Sekce entianomorfních párů v Skillingově seznamu neobsahuje složeninu dvou velkých dodecicosidodecahedronů , protože plochy pentagramu se shodují. Odstraněním odpovídajících ploch vznikne spojení dvaceti osmistěnů .

Čtyřrozměrná spojení

Ve čtyřrozměrném prostoru existuje velké množství pravidelných spojení pravidelných mnohostěnů. Coxeter některé z nich vyjmenoval ve své knize Regular Polyhedra [2] .

Vlastní duální:

Dvojité páry:

Homogenní spojení s konvexními čtyřrozměrnými mnohostěny:

Dvojité pozice:

Spojení pravidelné hvězdy čtyřrozměrného mnohostěnu

Vlastní dvojité hvězdicové připojení:

Duální páry konjunkcí hvězd:

Homogenní sloučeniny hvězd :

Teorie grup

Z hlediska teorie grup , pokud G je grupa symetrie sloučeniny polytopů a tato skupina působí tranzitivně na polytop (takže jakýkoli polytop může být v jakémkoli jiném, jako v homogenních sloučeninách), pak je-li H stabilizátorem jednoho zvoleného polytop, polytopy mohou být definovány orbitou G / H .

Spojování mozaik

V euklidovské rovině existuje osmnáct dvouparametrových rodin pravidelných spojů obkladů. V hyperbolickém prostoru je známo pět jednoparametrových rodin a sedmnáct izolovaných dlaždic, ale seznam není úplný.

Euklidovské a hyperbolické rodiny 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p je celé číslo) jsou podobné sférickým hvězdicovým osmistěnům , 2 {3,3}.

Známá rodina pravidelných euklidovských voštinových spojení v prostorech dimenze pět a výše je nekonečná rodina hyperbolických voštin , které mají společné vrcholy a plochy. Takové spojení může mít libovolný počet buněk ve spojení.

Existují také dvojité pravidelné spoje obkladů. Jednoduchým příkladem je napojení E 2 šestihranného obkladu a jeho dvojitého trojúhelníkového obkladu . Euklidovské spojení dvou hyperbolických plástů je pravidelné a duálně pravidelné.

Poznámky

1. ↑ Skilling, 1976 , s. 447–457.
2. ↑ Coxeter, 1973 , str. 305, tabulka VII.
3. ↑ Richard Klitzing, Uniform Compound Stellated icosahedron Archived 4. března 2016 na Wayback Machine
4. ↑ Richard Klitzing, Uniform Compound Demidistesseract Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
5. ↑ Richard Klitzing, Uniform Compound Dual positioned 24-buňky Archivováno 2. dubna 2016 na Wayback Machine

Literatura

• John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 . - doi : 10.1017/S0305004100052440 . .
• P. Cromwell. Mnohostěn. - Spojené království: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Archimédova tělesa . - ISBN 0-521-55432-2 .
• Magnus Wenninger. Duální modely . - Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - S.  51-53 . .
• Michael G Harman Polyedrické sloučeniny. - nepublikovaný rukopis, 1974. .
• Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen a Gleichflächigen Polyeder. Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. - 1876. - T. 11. - S. 5–97.
• HSM Coxeter . Kapitola 8: Zkrácení // Regular Polytopes . — 3. vydání. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .

• Anthony Pugh. Polyhedra: Vizuální přístup. - Kalifornie: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . strana 87 Pět pravidelných sloučenin

Externí odkazy

• MathWorld: Polyhedron Compound
• Složené mnohostěny – z mnohostěnů virtuální reality
  • Jednotné sloučeniny jednotných mnohostěnů
• Skillingových 75 jednotných sloučenin jednotných mnohostěnů
• Skillingovy jednotné složeniny jednotných mnohostěnů
• Polyedrické sloučeniny
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Složený malý hvězdicový dvanáctistěn a velký dvanáctistěn {5/2,5}+{5,5/2}