Koule

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. prosince 2021; kontroly vyžadují 8 úprav .

Koule ( jiné řecké σφαῖρα “ koule , koule [1] ”) je těžiště bodů v prostoru stejně vzdálených od nějakého daného bodu ( středu koule).

Vzdálenost od bodu na kouli do jejího středu se nazývá poloměr koule. Koule o poloměru 1 se nazývá jednotková koule .

Vlastnosti

Koule je rotační plocha vytvořená rotací půlkruhu kolem jejího průměru .

Koule je speciální případ elipsoidu , ve kterém jsou všechny tři osy (polosy, poloměry) stejné.

Koule je povrch koule .

Koule má nejmenší plochu ze všech ploch ohraničujících daný objem, jinými slovy, ze všech ploch s danou plochou ohraničuje koule největší objem. Právě kvůli minimalizaci povrchové plochy silou povrchového napětí získávají malé kapky vody ve stavu beztíže kulovitý tvar.

Význam v přírodních vědách

Dokonalost kulového tvaru přitahovala odedávna pozornost myslitelů a vědců, kteří se pomocí koulí snažili vysvětlit harmonii okolního světa. Starověký řecký vědec Pythagoras spolu s kulovitou Zemí ve středu Vesmíru představil vzdálenou krystalovou kouli obklopující Zemi, ke které jsou připojeny hvězdy, a sedm bližších rotujících křišťálových koulí, ke kterým Slunce, Měsíc a pět planety známé do té doby (kromě Země) jsou připojeny. Tento model se následně zkomplikoval: Eudoxus z Cnidu uvažoval již o 27 takových koulích a Aristotelés o 55 krystalových koulích [2] . Představy o rotujících nebeských sférách dominovaly minimálně do středověku a vstoupily i do heliocentrického systému světa Mikuláše Koperníka , který své hlavní dílo nazval „ O rotaci nebeských sfér “ ( lat. De revolutionibus orbium coelestium ).

Nebeské sféry byly od starověkého Řecka součástí obecnějšího konceptu harmonie sfér o hudební a astronomické struktuře světa, který zahrnoval i koncept „hudby sfér“. Tento koncept také existoval minimálně do středověku. Pro jednoho z nejslavnějších astronomů, Johannese Keplera , zaujímala koule ústřední místo v celém jeho systému náboženských a mystických představ, napsal: „Obrazem trojjediného boha je kulový povrch, totiž: bůh otec uprostřed , bůh syn na povrchu a svatý duch je v symetrickém vztahu mezi středem a sférickým povrchem popsaným kolem něj“ [3] [4] . Jeden z prvních významných Keplerových spisů, " Tajemství vesmíru " ( lat. Mysterium Cosmographicum ), byl věnován parametrům nebeských sfér, Kepler věřil, že objevil pozoruhodnou souvislost mezi pravidelnými mnohostěny , kterých je pouze pět, a nebeské sféry šesti do té doby známých planet (včetně Země), které jsou podle Keplera ohraničenými a vepsanými sférami těchto mnohostěnů. Myšlenka harmonie sfér hrála velkou roli v Keplerově objevu třetího zákona pohybu nebeských těles (v každém případě je lze považovat za podnět k hledání astronomických vztahů) [5] . Pro Keplera však byly nebeské sféry již čistě matematickými objekty, a nikoli fyzicky existujícími tělesy. Do té doby Tycho Brahe ukázal, že pohyb komet , zejména Velké komety z roku 1577, byl neslučitelný s existencí pevných nebeských sfér [6] . Jako vhodný matematický model zůstala jedna nebeská koule , s jejíž pomocí astronomové dodnes představují zdánlivé polohy hvězd a planet.

Koule ve 3D prostoru

Rovnice koule v pravoúhlém souřadnicovém systému je :

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},

kde jsou souřadnice středu koule, je její poloměr. $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $R$

Parametrická rovnice koule se středem v bodě : $(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi , \\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}

kde a $\theta \in [0,\pi ]$ $\phi \in [0,2\pi).$

Gaussovo zakřivení koule je konstantní a rovné 1/ R² .

Souřadnice koule procházející danými body

Prostřednictvím čtyř bodů v prostoru může být pouze jedna koule se středem $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})\,;\,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})\, ;\,M_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})\,;\,M_{4}(x_{4},y_{4},z_{4})\,$

x_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{x}-B_{x}+C_{x}-D_{x}}{U+V+W }}

y_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{y}-B_{y}+C_{y}-D_{y}}{U+V+W }}

z_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{z}-B_{z}+C_{z}-D_{z}}{U+V+W }}

kde:

U=(z_{1}-z_{2})(x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})-(z_{2}-z_{3})(x_{ 4}y_{1}-x_{1}y_{4})

V=(z_{3}-z_{4})(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})-(z_{4}-z_{1})(x_{ 2}y_{3}-x_{3}y_{2})

W=(z_{1}-z_{3})(x_{4}y_{2}-x_{2}y_{4})-(z_{2}-z_{4})(x_{ 1}y_{3}-x_{3}y_{1})

A_{x}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[y_{2}(z_{3}-z_{4 })+y_{3}(z_{4}-z_{2})+y_{4}(z_{2}-z_{3})]

B_{x}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[y_{3}(z_{4}-z_{1 })+y_{4}(z_{1}-z_{3})+y_{1}(z_{3}-z_{4})]

C_{x}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[y_{4}(z_{1}-z_{2 })+y_{1}(z_{2}-z_{4})+y_{2}(z_{4}-z_{1})]

D_{x}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[y_{1}(z_{2}-z_{3 })+y_{2}(z_{3}-z_{1})+y_{3}(z_{1}-z_{2})]

A_{y}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[z_{2}(x_{3}-x_{4 })+z_{3}(x_{4}-x_{2})+z_{4}(x_{2}-x_{3})]

B_{y}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[z_{3}(x_{4}-x_{1 })+z_{4}(x_{1}-x_{3})+z_{1}(x_{3}-x_{4})]

C_{y}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[z_{4}(x_{1}-x_{2 })+z_{1}(x_{2}-x_{4})+z_{2}(x_{4}-x_{1})]

D_{y}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[z_{1}(x_{2}-x_{3 })+z_{2}(x_{3}-x_{1})+z_{3}(x_{1}-x_{2})]

A_{z}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[x_{2}(y_{3}-y_{4 })+x_{3}(y_{4}-y_{2})+x_{4}(y_{2}-y_{3})]

B_{z}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[x_{3}(y_{4}-y_{1 })+x_{4}(y_{1}-y_{3})+x_{1}(y_{3}-y_{4})]

C_{z}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[x_{4}(y_{1}-y_{2 })+x_{1}(y_{2}-y_{4})+x_{2}(y_{4}-y_{1})]

D_{z}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[x_{1}(y_{2}-y_{3 })+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]

Poloměr této koule:

R={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0 })^{2}}}

Základní geometrické vzorce

Povrchová plocha koule

{\displaystyle S=4\pi r^{2}=\pi d^{2))

Plný prostorový úhel koule

\Omega =4\pi

steradián sq. stupně.

\approx 41253

Objem koule ohraničené koulí

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}d^{3}.

Oblast výškového segmentu koule

H

S = 2\pi rH

Geometrie na kouli

Kruh ležící na kouli, jejíž střed se shoduje se středem koule, se nazývá velká kružnice (velký kruh) koule. Velké kruhy jsou geodetické čáry na kouli; kterékoli dva z nich se protínají ve dvou bodech. Jinými slovy, velké kružnice koule jsou analogy přímek v rovině, vzdálenost mezi body na kouli je délka oblouku velké kružnice, která jimi prochází. Úhel mezi přímkami v rovině odpovídá úhlu vzepětí mezi rovinami velkých kružnic. Mnoho teorémů o geometrii v rovině platí také ve sférické geometrii, existují analogy sinusové věty , kosinové věty pro sférické trojúhelníky . Přitom je zde mnoho rozdílů, např. v kulovém trojúhelníku je součet úhlů vždy větší než 180 stupňů, ke třem znaménkům rovnosti trojúhelníků se přičte jejich rovnost ve třech úhlech, kulový trojúhelník může mít dva nebo i tři pravé úhly - například sférický trojúhelník tvořený rovníkem a poledníky 0° a 90°.

Vzdálenost mezi dvěma body na kouli

Vzhledem ke sférickým souřadnicím dvou bodů lze vzdálenost mezi nimi zjistit takto:

L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}\cdot \cos( \phi _{1}-\phi _{2})).

Pokud však úhel není dán mezi osou Z a vektorem k bodu koule, ale mezi tímto vektorem a rovinou XY (jak je zvykem v zemských souřadnicích daných zeměpisnou šířkou a délkou), pak bude vzorec vypadat takto následuje: $\theta$

L=R\cdot \arccos(\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos( \phi _{1}-\phi _{2})).

V tomto případě a se nazývají zeměpisné šířky , a a zeměpisné délky . $\theta _{1}$ $\theta _{2}$ $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

n -rozměrná koule

Obecně platí, že rovnice ( n −1)-rozměrné koule (v n - rozměrném euklidovském prostoru ) je:

\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})^{2}=r^{2},

kde je střed koule a a je poloměr. $(a_{1},...,a_{n})$ $r$

Průsečík dvou n -rozměrných koulí je ( n − 1)-rozměrná koule ležící na radikálové nadrovině těchto koulí.

V n -rozměrném prostoru se nemůže vzájemně dotýkat více než n + 1 koulí ve dvojicích (v různých bodech).

n - rozměrná inverze vezme ( n - 1)-rozměrnou kouli do ( n - 1)-rozměrné koule nebo nadroviny .

S trojrozměrnou koulí je spojen jeden z problémů tisíciletí – Poincarého domněnka , která říká, že jakákoliv jednoduše připojená kompaktní trojrozměrná varieta bez hranic je pro takovou kouli homeomorfní . Tuto domněnku dokázal G. Ya Perelman na počátku 21. století na základě výsledků Richarda Hamiltona .

Viz také

Poznámky

↑ Dvoretského starověký řecko-ruský slovník "σφαῖρα" (nepřístupný odkaz) . Získáno 17. června 2019. Archivováno z originálu dne 25. března 2016. (neurčitý)
↑ Klimishin I. A. Astronomie našich dnů . - 3. vyd. - M .: Nauka , 1986. - S. 30 -33. — 55 400 výtisků.
↑ Pauli W. Vliv archetypálních myšlenek na formování přírodovědných teorií Keplera // Fyzikální eseje. — M .: Nauka , 1975.
↑ Původní latinský text citace: „Dei trinuni imago in Sphærica superficie, Patris scilicet in centro, Filij in superficie, Spiritus in æqualitate σχέσεως inter punctum & ambitum“. Viz: Kepler J. Mysterium Cosmographicum (neopr.) . - 1596. - S. 19. Archivní kopie ze dne 30. května 2014 na Wayback Machine
↑ Ševčenko V.V. Nebeská hudba // Země a vesmír . - 1973. - č. 4 . - S. 56-58 .
↑ Tycho Brahe. Autobiografie // Historický a astronomický výzkum / Ed. vyd. L.E. Maistrov. - M .: Nauka , 1984. -T. XVII . - S. 393-394 .

Odkazy

Kompaktní povrchy a jejich ponoření do trojrozměrného prostoru

Třída homeoformity kompaktního triangulovaného povrchu je určena orientovatelností, počtem hraničních složek a Eulerovou charakteristikou.

žádná hranice

Orientační	Koule (rod 0) Thor (rod 1) "Osm" (rod 2) " Preclík " (rod 3) ...
Neorientovatelný	Skutečná projektivní rovina rod 1; Bojová plocha římský povrch Kleinova láhev (rod 2) Povrch ptáka (rod 3) ...

s okrajem

Disk
- polokoule
Stuha
- Prsten
- Válec
Pás Mobius
- Möbiův pás
Koule se třemi otvory...

Související
pojmy

Vlastnosti	Konektivita kompaktnost Triangulace nebo hladkost Orientovatelnost
Charakteristika	Počet prvků ohraničení Rod Eulerova charakteristika
Operace	Připojený součet řezání otvorů Přilepení rukojeti Připevnění Möbiova proužku Ponoření

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 119812876 GND : 4165914-4 J9U : 987007565817805171 LCCN : sh85126590