Tělo Kepler-Poinsot

Tělo Kepler-Poinsot  je pravidelný hvězdicový mnohostěn , který není kombinací platónských a hvězdicových těles.

V roce 1811 francouzský matematik Augustin Cauchy zjistil, že existují pouze 4 pravidelná hvězdná tělesa, která nejsou sloučeninami platónských a stelovaných těles [1] . Patří mezi ně malý hvězdicový dvanáctistěn a velký hvězdicový dvanáctistěn objevený Johannesem Keplerem v roce 1619 a také velký dvanáctistěn a velký dvacetistěn objevený v roce 1809 Louisem Poinsotem [2] . Zbývající pravidelné stelované mnohostěny jsou buď sloučeniny platónských pevných látek, nebo sloučeniny Kepler-Poinsotových pevných látek [3] .

Historie

Některé z Kepler-Poinsotových mnohostěnů byly známy v té či oné formě ještě před Keplerem [4] . Obraz malého hvězdicového dvanáctistěnu je tak přítomen v mramorové mozaice, která zdobí podlahu katedrály svatého Marka v Benátkách. Tato mozaika pochází z 15. století a někdy je připisována Paolu Uccellovi . Německý klenotník Wenzel Jamnitzer v 16. století ve svém díle Perspectiva corporum regularium ( Rusky Perspektivy pravidelných těles ) zobrazuje velký dvanáctistěn a velký hvězdicový dvanáctistěn [5] . Zřejmě před Keplerem žádný z umělců a vědců neznal všechny vlastnosti těchto těles.

Malé a velké hvězdicovité dvanáctistěny, někdy označované jako „Keplerovy mnohostěny“, byly poprvé plně popsány v pojednání Johannese Keplera z roku 1619 Harmonices Mundi [6] . Každé z těchto těles má centrální konvexní oblast každé tváře „skrytou“ uvnitř, přičemž jsou viditelné pouze trojúhelníkové roviny. Kepler popisuje mnohostěny pomocí stejného modelu, který Platón používá v Timaeovi k popisu konstrukce pravidelných mnohostěnů z pravidelných trojúhelníků [7] . Keplerovo posledním krokem bylo přiznat, že tyto mnohostěny jsou pravidelné , i když nejsou konvexní, na rozdíl od běžných platónských těles .

V roce 1809 Louis Poinsot znovu zkoumal Keplerovy mnohostěny a objevil další dva pravidelné hvězdicové mnohostěny - velký dvacetistěn a velký dvanáctistěn [2] . Poinsot si zároveň nebyl jistý, zda identifikoval všechny možné typy pravidelných hvězdicovitých mnohostěnů. Ale v roce 1811 Augustin Louis Cauchy dokázal, že existují pouze 4 regulérní hvězdná tělesa, která nejsou sloučeninami platónských a stelovaných těles, a v roce 1858 Joseph Bertrand předložil obecnější důkaz [4] . V roce 1859 dal Arthur Cayley mnohostěnům Kepler-Poinsot jména, pod kterými jsou dnes běžně známé [4] . O sto let později John Conway vyvinul terminologii pro hvězdné polygony. V rámci této terminologie navrhl mírně upravené názvy pro dva mnohostěny pravidelných hvězd [8] .

Conwayova terminologie se v současné době používá, ale není široce používána.

Charakteristika

Nekonvexnost

Tato tělesa mají roviny ve formě pětiúhelníků . Malé a velké hvězdicové dvanáctistěny mají roviny ve formě nekonvexních pravidelných hvězd . Velký dvanáctistěn a velký dvacetistěn mají konvexní roviny [9] [10] .

Ve všech těchto tělesech se mohou protínat dvě roviny , které tvoří linii, která není hranou žádné roviny, a tak část každé plochy prochází vnitřkem tělesa. Takové průsečíky se někdy nazývají nepravé hrany. Podobně v případě, kdy se tři takové přímky protnou v bodě, který nepatří do rohu žádné roviny, se tyto body nazývají nepravé vrcholy. Například malý hvězdicový dvanáctistěn má 12 pětiúhelníkových ploch s centrální pětiúhelníkovou částí skrytou uvnitř těla. Viditelné části každé tváře se skládají z pěti rovnoramenných trojúhelníků , které se dotýkají tváře v pěti bodech. Tyto trojúhelníky můžete považovat za 60 samostatných rovin, které tvoří nový, nepravidelný mnohostěn, který navenek vypadá stejně jako originál. Každá hrana bude nyní rozdělena na tři krátké hrany (dva různé druhy), přičemž 20 falešných vrcholů se stane skutečnými vrcholy, a tedy celkem 32 vrcholů (opět dva druhy) pro tělo. Skryté vnitřní pětiúhelníky již nebudou součástí mnohostěnného povrchu a mohou zmizet. Nyní Eulerova charakteristika obsahuje: 60 - 90 + 32 = 2. Tento nový mnohostěn však již není popsán Schläfliho symbolem {5/2, 5} , a proto není Kepler-Poinsotovým tělesem, i když tak stále vypadá. z nich [10] .

Eulerova charakteristika χ

Tělesa Kepler-Poinsot pokrývají oblast koulí popsaných kolem nich více než jednou, přičemž středy ploch působí jako inflexní body na plochách s pětiúhelníkovými rovinami a vrcholy na ostatních plochách. Z tohoto důvodu nejsou tělesa Kepler-Poinsot nutně topologicky ekvivalentní kouli, na rozdíl od platónských těles a zejména Eulerovy charakteristiky .

není to vždy jejich případ. Schläfli stanovil, že všechny mnohostěny musí mít χ = ​​2, a usoudil, že malý hvězdicový dvanáctistěn a velký dvanáctistěn nejsou pravidelné mnohostěny [11] . Tento názor nebyl příliš rozšířen.

Upravená forma Eulerova vzorce odvozená Arthurem Cayleyem [4] , která platí jak pro konvexní mnohostěny, tak pro Kepler-Poinsotova tělesa, vypadá takto:

Dualita

Kepler-Poinsotova tělesa existují v duálních (duálních) párech [12] :

• Malý hvězdicový dvanáctistěn  - velký dvanáctistěn
• Velký hvězdicový dvanáctistěn  je velký dvacetistěn .

Souhrnná tabulka vlastností

Vlastnosti těles Kepler-Poinsot jsou uvedeny v následující tabulce [13] :

Vztahy mezi pravidelnými mnohostěny

Malý hvězdicový dvanáctistěn a velký dvacetistěn sdílejí stejné vrcholy a hrany. Dvacetistěn a velký dvanáctistěn také sdílejí stejné vrcholy a hrany.

Všechny tři dvanáctistěny jsou hvězdicovité pravidelné konvexní dvanáctistěny, velký dvacetistěn je hvězdicovitý pravidelný konvexní dvacetistěn [14] .

Pokud se při protínání obrazců objeví nové hrany a vrcholy, výsledné mnohostěny nebudou pravidelné , ale stále je lze považovat za hvězdicovité .

V populární kultuře a umění

Známý představitel imp artu Maurits Escher se ve 20. století ve své tvorbě často obracel k zápletkám založeným na vnímání různých vícerozměrných figur; zejména jeho litografie Gravitaceznázorňuje malý hvězdicovitý dvanáctistěn [15] .

Permutační hádanka 80. let, Alexandrova hvězda,  je založena na velkém dvanáctistěnu [16] .

Viz také

• Pravidelné vícerozměrné mnohostěny
• Jednotný hvězdný mnohostěn

Poznámky

1. ↑ Cauchy, 1813 , pp. 68-86.
2. ↑ 12 Poinsot , 1810 , str. 16-48.
3. ↑ Wenninger, 1983 , str. 46.
4. ↑ 1 2 3 4 Stelace a fasetování – stručná historie . Získáno 10. 5. 2014. Archivováno z originálu 4. 3. 2016. (neurčitý)
5. ↑ Jamnitzer-Galerie a . Získáno 10. 5. 2014. Archivováno z originálu 13. 10. 2016. (neurčitý)
6. ↑ Harmonices mundi . Získáno 22. listopadu 2015. Archivováno z originálu dne 22. října 2020. (neurčitý)
7. ↑ Field, 1984 , pp. 207-219.
8. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , pp. 404-408.
9. ↑ Velký dvanáctistěn . Získáno 30. listopadu 2015. Archivováno z originálu 10. března 2021. (neurčitý)
10. ↑ 12 Malý hvězdicový dvanáctistěn . Získáno 30. listopadu 2015. Archivováno z originálu dne 4. února 2021. (neurčitý)
11. ↑ Schläfli, 1901 .
12. ↑ Dvojitý mnohostěn . Získáno 30. listopadu 2015. Archivováno z originálu dne 30. října 2020. (neurčitý)
13. ↑ Kepler-Poinsot Solid . Získáno 30. listopadu 2015. Archivováno z originálu dne 21. ledna 2021. (neurčitý)
14. ↑ Velký dvacetistěn . Získáno 30. listopadu 2015. Archivováno z originálu 11. listopadu 2020. (neurčitý)
15. ↑ Escher, 2009 .
16. ↑ Alexandrova hvězda . Získáno 22. listopadu 2015. Archivováno z originálu dne 5. března 2021. (neurčitý)

Literatura

• M. Wenninger  Modely mnohostěnů. — M .: Mir, 1974. — 236 s.
• Escher M.K. Grafika. - M. : Art-Rodnik, Taschen, 2009. - 96 s. - ISBN 978-5-404-00053-5 .
• J. Bertrand. Poznámka sur la theorie des polyèdres regulariers. - 1858. - Sv. 46. ​​​​- S. 79-82, 117.
• Augustin Louis Cauchy . Recherches sur les polyèdres. - J. de l'École Polytechnique 9. - 1813. - S. 68-86.
• Arthur Cayley . Na Poinsotových čtyřech nových pravidelných pevných látkách. — Filos. Mag.. - 1859. - Sv. 17. - S. 123-127 a 209.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Kapitola 24, Pravidelné hvězdné polytopy // Symetrie věcí. - 2008. - S. 404-408. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• HSM Coxeter . (Paper 1), Devět pravidelných pevných látek [Proc. Umět. Matematika. Congress 1 (1947), 252-264, MR 8, 482 ] // Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• HSM Coxeter . (Paper 10), Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36 ] // Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / edited by F. Arthur Sherk , Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• P. Cromwell. Mnohostěn. — Cabridgre University Press, Hbk., 1997.
• Field, JV A Luteránský astrolog: Johannes Kepler. — Archiv pro dějiny exaktních věd. - 1984. - Sv. 31, č. 3. - S. 207-219.
• Theoni Pappas. (The Kepler-Poinsot Solids) Radost z matematiky . - San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, 1989. - S. 113.
• Louis Pointot . Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique. - 1810. - Sv. 9. - S. 16-48.
• Lakatoš, Imre . Důkazy a vyvrácení. — Cambridge University Press, 1976.
• Schlafli, Ludwig . Theorie der vielfachen Kontinuität / editor JHGraf. - Znovu vydalo Cornell University Library historické matematické monografie 2010. - Zürich, Basel: Georg & Co., 1901. - ISBN 978-1-4297-0481-6 .
• Wenninger, Magnus. Duální modely . - Cambridge University Press, 1983. - S.  39-41 . — ISBN 0-521-54325-8 .

Odkazy

•  Papírové modely mnohostěnů Kepler-Poinsot . Staženo: 20. listopadu 2015.
• Zdarma papírové modely (sítě) mnohostěnů Kepler-Poinsot  (anglicky) . Staženo: 20. listopadu 2015.
• Uniformní  mnohostěny . Staženo: 20. listopadu 2015.
• VRML modely  mnohostěnu Kepler-Poinsot . Staženo: 20. listopadu 2015.
• Stelace a fasetování - stručná  historie . Staženo: 20. listopadu 2015.
• Stella: Polyhedron  Navigator . Staženo: 20. listopadu 2015.