Teorém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. listopadu 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Věta - ( starořecky Θεώρημα , z jiného řeckého Θεώρηώ - argumentuji [2] ) matematické tvrzení, jehož pravdivost je stanovena důkazem . Důkazy teorémů jsou založeny na dříve ověřených teorémech a obecně přijímaných tvrzeních ( axiomech ) [3] .

Věta je logickým důsledkem axiomů. Důkaz matematické věty je logickým argumentem pro tvrzení věty dané podle pravidel formálního systému . Důkaz teorému je často interpretován jako ospravedlnění pravdivosti tvrzení teorému. Ve světle požadavku, aby teorémy byly prokázány, je pojem teorém zásadně deduktivní , na rozdíl od pojetí vědeckého zákona , který je experimentální [4] .

Mnoho matematických teorémů jsou podmíněná tvrzení. V tomto případě důkaz vyvozuje závěr z podmínek nazývaných hypotézy nebo premisy . Ve světle výkladu důkazů jako ospravedlnění pravdy je závěr často považován za nezbytný důsledek hypotéz , totiž že závěr je pravdivý, pokud jsou pravdivé hypotézy, bez jakýchkoli dalších předpokladů. Podmínky však mohou být v některých deduktivních systémech interpretovány odlišně v závislosti na významech přiřazených pravidlům odvození a symbolu podmínky.

Zatímco věty mohou být psány ve zcela symbolické formě, například pomocí výrokového počtu , jsou často vyjádřeny v přirozeném jazyce (angličtina, ruština, francouzština atd.). Totéž platí o důkazech, které jsou často vyjádřeny jako logicky uspořádaný a dobře formulovaný řetězec neformálních argumentů, jejichž cílem je přesvědčit čtenáře o pravdivosti tvrzení teorému, z nichž lze v zásadě sestavit formální symbolický důkaz. Takové argumenty bývají snáze testovatelné než ty čistě symbolické a ve skutečnosti mnoho matematiků upřednostňuje důkaz, který nejen demonstruje platnost teorému, ale také nějakým způsobem vysvětluje, proč je zjevně pravdivý. V některých případech stačí k prokázání věty jeden obrázek.

Protože teorémy jsou jádrem matematiky, hrají také ústřední roli v její estetice. Věty jsou často popisovány jako „triviální“, „tvrdé“, „hluboké“ nebo dokonce „krásné“. Tyto subjektivní úsudky se nejen liší od člověka k člověku, ale také v průběhu času: například když je důkaz zjednodušený nebo lépe pochopený, teorém, který byl kdysi obtížný, se může stát triviálním. Na druhou stranu, hluboká věta může být vyslovena jednoduše, ale její důkaz může zahrnovat překvapivé a jemné souvislosti mezi různými oblastmi matematiky. Obzvláště slavný příklad takového teorému je Fermatův poslední teorém .

Neformální prohlášení teorémů

Z hlediska logiky má mnoho teorémů formu konvence: jestliže A, pak B. Taková věta netvrdí pravdivost B , ale pouze to, že B je nezbytným důsledkem A. V tomto případě A se nazývá logická hypotéza věty a B  je závěr (formálně se A a B nazývají předchozí a následující tvrzení). Je třeba zdůraznit, že logická hypotéza a matematická hypotéza  jsou různé pojmy. Takže tvrzení „Pokud n  je sudé přirozené číslo, pak n / 2 je přirozené číslo“ je příkladem věty, ve které je hypotézou tvrzení „ n  je sudé přirozené číslo“ a tvrzení „ n / 2 je také přirozené číslo“ je závěr.

Aby se věta dokázala, musí být vyjádřena jako přesné formální tvrzení. Pro pohodlí čtenáře jsou však věty obvykle vyjádřeny nikoli v plně symbolické formě, ale v přirozeném jazyce. Čtenář nezávisle transformuje neformální prohlášení na formální.

V matematice je běžné zvolit více hypotéz a vytvořit teorii , která se skládá ze všech tvrzení, která z těchto hypotéz logicky vyplývají. Hypotézy, které tvoří základ teorie, se nazývají axiómy nebo postuláty . Oblast matematiky, která studuje formální jazyky, axiomy a strukturu důkazů, se nazývá teorie důkazů .

Některé věty jsou „ triviální “ v tom smyslu, že vyplývají zřejmým způsobem z definic, axiomů a dalších vět a neobsahují žádné překvapivé myšlenky. Na druhou stranu lze některé věty nazvat „hlubokými“, protože jejich důkazy mohou být dlouhé a obtížné, zahrnují oblasti matematiky, které se povrchně liší od tvrzení samotné věty, nebo ukazují překvapivé souvislosti mezi různými oblastmi matematiky. Věta může být jednoduchá v prezentaci a zároveň hluboká. Vynikajícím příkladem hluboké věty je Fermatův poslední teorém . V teorii čísel av kombinatorice , stejně jako v jiných oblastech matematiky, existuje mnoho příkladů jednoduchých, ale hlubokých teorémů.

Na druhé straně existují věty, které mají důkaz, který nelze napsat jednoduchou formou. Nejvýraznější příklady takových teorémů jsou teorém o čtyřech barvách a Keplerova hypotéza . Obě tyto věty jsou známé tím, že jsou redukovány na určitý algoritmus, který je následně ověřen počítačovým programem. Zpočátku mnoho matematiků tuto formu důkazu nepřijímalo, ale nyní je povoleno. Matematik Doron Zeilberger dokonce tvrdí, že jde snad o jediné netriviální výsledky, které kdy matematici dokázali [5] . Mnoho matematických teorémů lze zredukovat na jednodušší výpočty, včetně polynomiálních identit, goniometrických identit a hypergeometrických identit [6] .

Bezpečnost a věta

Pro stanovení matematického tvrzení jako věty je zapotřebí důkaz, to znamená, že musí být demonstrována řada úvah od axiomů v systému (a dalších již zavedených vět) k danému tvrzení. Důkaz se však obvykle posuzuje odděleně od tvrzení věty. Zatímco pro jeden teorém může být známo více než jeden důkaz, ke stanovení statutu výroku jako teorému je vyžadován pouze jeden důkaz. Pythagorova věta a zákon kvadratické reciprocity jsou uchazeči o název věty s největším počtem různých důkazů.

Vztah k vědeckým teoriím

Věty v matematice a teorie ve vědě se zásadně liší ve své epistemologii . Vědecká teorie nemůže být prokázána; jeho klíčovou vlastností je, že je falsifikovatelný , to znamená, že předpovídá o přírodním světě, který lze experimentálně testovat . Jakýkoli rozpor mezi předpovědí a experimentem ukazuje, že vědecká teorie je chybná, nebo alespoň omezuje její přesnost nebo rozsah. Na druhé straně matematické teorémy jsou čistě abstraktní formální tvrzení: důkaz teorému nemůže zahrnovat experimenty nebo jiné empirické důkazy stejným způsobem, jakým se tyto důkazy používají k podpoře vědeckých teorií.

Objevování matematických teorémů však zahrnuje určitou míru empirie a sběru dat. Po sestavení modelu, někdy pomocí výkonného počítače, mohou mít matematici představu o tom, co dokázat, a v některých případech i o tom, jak s důkazem postupovat. Například Collatzova domněnka byla testována na počáteční hodnoty až do přibližně 2,88 × 10 18 . Riemannova hypotéza byla testována pro prvních 10 bilionů nul funkce zeta . Žádné z těchto tvrzení není považováno za prokázané.

Takový důkaz není důkazem. Například Mertensova domněnka  je nějaké nepravdivé tvrzení o přirozených číslech, ale explicitní protipříklad není znám. Je známo pouze to, že nejmenší protipříklad není menší než 10 14 a ne větší než 10 4,3 × 10 39 . Je nemožné najít explicitní protipříklad pomocí vyčerpávajícího vyhledávání , ale je známo, že existuje.

Slovo “teorie” také existuje v matematice odkazovat se na skupinu matematických axiomů, definic a teorémů, takový jako teorie skupin . Ve vědě, zejména ve fyzice a v inženýrství existují také „teorémy“, ale často mají tvrzení a důkazy, v nichž hrají důležitou roli fyzikální předpoklady a intuice; fyzikální axiomy, na kterých jsou takové „teorémy“ založeny, jsou samy falzifikovatelné.

Terminologie

Pro matematická tvrzení existuje řada různých termínů; tyto termíny označují roli, kterou výroky hrají v určitém tématu. Nekonzistence mezi různými termíny je někdy zcela svévolná a postupem času se některé termíny staly běžnějšími než jiné.

K osvědčeným tvrzením se obvykle připojují i ​​jiné, méně běžně používané termíny, proto jsou některé věty označovány historickými nebo konvenčními názvy. Například:

Několik známých teorémů má ještě zvláštnější názvy. Algoritmus dělení (viz dělení se zbytkem ) je teorém vyjadřující výsledek dělení přirozenými čísly a obecnějšími okruhy. Bezoutův poměr  je teorém, který říká, že největší společný dělitel dvou čísel lze zapsat jako lineární kombinaci těchto čísel. Banach-Tarski paradox  je teorém v teorii míry , který je paradoxní v tom smyslu, že odporuje běžným představám o objemu v trojrozměrném prostoru.

Uspořádání věty

Věta a její důkaz jsou obvykle uspořádány takto:

Věta a jméno osoby, která ji dokázala, a rok objevu, důkazu nebo publikace. Výrok věty (někdy nazývaný výrok ). Důkaz Popis důkazu. Konec.

Konec důkazu může být označen písmeny QED ( quod erat demonstrandum ) nebo jedním z náhrobků "□" nebo "∎", což znamená "Konec důkazu", které uvedl Paul Halmos po jejich použití v článcích v časopisech.

Přesný styl závisí na autorovi nebo publikaci. Mnoho publikací poskytuje pokyny nebo makra pro psaní v průvodci styly .

Obvykle před teorémem předcházejí definice popisující přesný význam termínů používaných ve teorému. Tvrzení věty také předchází sérii výroků nebo lemmat, které jsou pak použity v důkazu. Lemmata jsou však někdy součástí důkazu věty, a to buď s vnořenými důkazy, nebo s jejich důkazy předloženými po důkazu věty.

Důsledky věty jsou uvedeny buď mezi větou a důkazem, nebo bezprostředně po důkazu. Někdy mají důsledky své vlastní důkazy, které vysvětlují, proč z teorému vyplývají.

Zajímavosti

Odhaduje se, že ročně je dokázáno více než čtvrt milionu teorémů [11] .

Známý aforismus „ matematik je stroj na přeměnu kávy na teorémy “ je často připisován významnému matematikovi Palu Erdősovi , který se proslavil tím, že dokázal velké množství teorémů, Erdősovo číslo charakterizující počet jeho možných spolupracovníků a obrovské množství kávy, které vypil [12] . Tento výrok však patří Erdősovu kolegovi Alfrédu Renyimu (i když Renyi tímto slovním spojením nejspíš myslel Erdőse).

Klasifikace jednoduchých konečných grup je některými matematiky považována za nejdelší důkaz teorému. Zpracovalo jej asi 100 autorů v 500 článcích v časopisech o celkovém rozsahu desítek tisíc stran. Tyto publikace dohromady jsou považovány za úplné důkazy a mnoho matematiků doufá, že tento důkaz zkrátí a zjednoduší [13] . Další teorém tohoto typu je problém čtyř barev, jehož počítačový důkaz je příliš dlouhý na to, aby jej člověk mohl přečíst. Toto je zdaleka nejdelší známý důkaz věty a tvrzení je pro laika snadné pochopit.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Elisha Scott Loomis. Pythagorejský návrh: jeho demonstrace analyzované a klasifikované a bibliografie zdrojů pro data čtyř druhů důkazů . Informační centrum o vzdělávacích zdrojích . Institute of Education Sciences (IES) Ministerstva školství USA . Staženo: 26. září 2010.
  2. ↑ Stručný slovník cizích slov. - 7. vyd. - M . : Ruský jazyk , 1984. - S. 250. - 312 s.
  3. ↑ Věta // Matematická encyklopedie (v 5 dílech). - M .: Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4. - S. 334-335. — 1216 s.
  4. ↑ Nicméně jak teorémy, tak vědecký zákon jsou výsledkem zkoumání. Viz Heath, 1897 Úvod, Archimédova terminologie , str. clxxxii: "teorém (θεώρημα) z θεωρεῖν k prozkoumání"
  5. ↑ Doron Zeilberger. Názor 51 . Získáno 25. dubna 2019. Archivováno z originálu 10. června 2016.
  6. ↑ Petkovsek a kol. 1996.
  7. ↑ Wentworth, G.; Smith, D.E. Art. 46, 47 // Rovinná geometrie  (neurčitá) . – Ginn & Co., 1913.
  8. ↑ Umění Wentworth & Smith. 51
  9. ↑ Následuje Wentworth & Smith Art. 79
  10. ^ Slovo právo může také odkazovat se na axiom, pravidlo závěru nebo, v teorii pravděpodobnosti, rozdělení pravděpodobnosti .
  11. ↑ Hoffman 1998, str. 204.
  12. ↑ Hoffman 1998, str. 7.
  13. ↑ Obrovská věta: Klasifikace konečných jednoduchých skupin Archivováno 2. února 2009 na Wayback Machine , Richard Elwes, Plus Magazine, vydání 41. prosince 2006.

Literatura

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
V bibliografických katalozích