Body Torricelliho

Torricelliho body  jsou dva body, ze kterých jsou všechny strany trojúhelníku viditelné buď pod úhlem 60° nebo pod úhlem 120°. Tyto body v trojúhelníku jsou „spárované“. Tyto body se někdy nazývají Fermatovy body nebo Fermat-Torricelliho body .

• Dva Torricelliho body  jsou průsečíky úseček spojujících vrcholy trojúhelníku:
  • s odpovídajícími volnými vrcholy rovnostranných trojúhelníků postavenými na opačných stranách trojúhelníku (směrem ven) - první bod Torricelliho
  • s odpovídajícími volnými vrcholy pravidelných trojúhelníků postavených na opačných stranách uvnitř trojúhelníku - druhý Torricelliho bod .

Vlastnosti

• První bod Torricelliho  je bod trojúhelníku , ze kterého jsou všechny strany vidět pod úhlem 120° (podle definice).
• První Torricelliho bod má nejmenší součet vzdáleností k vrcholům trojúhelníku. Existuje pouze v trojúhelníkech s úhly menšími než 120°; navíc je jedinečný, a proto je speciálním případem Fermatova bodu existujícího v jakémkoli trojúhelníku.
• Dva Torricelliho body a Lemoineův bod leží na stejné přímce.
• Torricelliho body jsou izogonálně konjugované s body Apolloniovými .
• Sestrojíme dvě přímky, z nichž každá prochází Apolloniovým bodem a Torricelliho bodem, který je odlišný od jeho izogonální konjugace . Takové čáry se protnou v průsečíku mediánů (v těžišti trojúhelníku ).
• Lesterova věta [1] . V nějakém scalene trojúhelníku dva Torricelliho body , střed devíti bodů a střed opsané kružnice leží na stejném kruhu ( kruh Leicesteru ).

Kiepertova hyperbola  je ohraničená hyperbola procházející těžištěm a ortocentrem . Pokud postavíme podobné rovnoramenné trojúhelníky na stranách trojúhelníku (směrem ven nebo dovnitř) a pak jejich vrcholy spojíme s opačnými vrcholy původního trojúhelníku, pak se tři takové přímky protnou v jednom bodě, ležícím na Kiepertově hyperbole. Konkrétně na této hyperbole leží Torricelliho body a Napoleonovy body (Cevian průsečíky spojující vrcholy se středy pravidelných trojúhelníků postavených na opačných stranách) [2] .

Poznámka

Mimochodem, na prvním obrázku vpravo jsou středy tří rovnostranných trojúhelníků samy o sobě vrcholy nového rovnostranného trojúhelníku ( Napoleonova věta ). Kromě toho .

Literatura

• Bodová farma
• Bod Torricelli
• Praktický příklad konstrukce Fermatova bodu  (anglicky)
• Pozoruhodné body trojúhelníku
• Fermat-Torricelliho problém a jeho vývoj// http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri
• *Dm. Efremov. Nová geometrie trojúhelníku 1902
• Protasov V. Yu Maxima a minima v geometrii . — M. : MTsNMO. — 56 str. - (Knihovna "Matematická výchova", číslo 31).

Viz také

• Pozoruhodné body trojúhelníku
• trojúhelníková geometrie
• Kruh
• Obvod Leicesteru
• pravoúhlý trojuhelník
• Druhý Farm Point
• Van Obelova věta
• Bodová farma
• Apollonius ukazuje
• Trojúhelník
• Segmenty a kruhy spojené s trojúhelníkem

Poznámky

1. ↑ Yiu, 2010 , str. 175–209.
2. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, Doplňkové - 2011. - S. 125-126.

Literatura

• Paul Yiu. Kruhy Lestera, Evanse, Parryho a jejich zobecnění  // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .