Princip nejmenší akce

Hamiltonův princip nejmenší akce , také jen Hamiltonův princip (přesněji princip stacionarity působení ) je způsob, jak získat pohybové rovnice fyzikálního systému hledáním stacionárního (často extrémního , obvykle v souvislosti se zavedeným tradice určování znaku děje , - nejmenší) hodnota speciálního funkcionálu - akce . Pojmenován po Williamu Hamiltonovi , který tento princip použil ke konstrukci takzvaného hamiltonovského formalismu v klasické mechanice .

Princip stacionarity jednání je nejdůležitější z rodiny extrémních principů . Ne všechny fyzikální systémy mají pohybové rovnice, které lze získat z tohoto principu, ale všechny základní interakce se mu řídí, a proto je tento princip jedním z klíčových ustanovení moderní fyziky. Pohybové rovnice získané s jeho pomocí se nazývají Euler-Lagrangeovy rovnice .

První formulaci principu podal P. Maupertuis ( fr. P. Maupertuis ) v roce 1744 , okamžitě poukázal na jeho univerzální povahu a považoval jej za použitelný pro optiku a mechaniku. Z tohoto principu odvodil zákony odrazu a lomu světla.

Historie

Dokonce i starověcí přírodní filozofové (například Aristoteles ) předpokládali, že „příroda nedělá nic nadarmo a ve všech svých projevech si vybírá tu nejkratší nebo nejsnazší cestu“ [1] . Konkrétní význam pojmů „nejkratší“ nebo „nejlehčí“ však nebyl specifikován [2] . Claudius Ptolemaios ukázal, že při odrazu paprsku světla je jeho celková dráha nejkratší, když se úhel odrazu rovná úhlu dopadu, což je v praxi pozorováno. Varoval však, že v případě lomu světla už cesta ( přerušovaná čára) nebude nejkratší.

První variační princip v dějinách vědy formuloval Pierre de Fermat v roce 1662 a konkrétně odkazoval na lom světla. Fermat ukázal, že kritériem v tomto případě není dráha, ale čas - paprsek se láme pod takovým úhlem, že celková doba cesty je minimální [3] . V moderní notaci lze Fermatův princip zapsat takto:

T=\int \limits _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }{\frac {ds}{v}}=\int \limits _{\mathbf {A} }^{ \mathbf {B} }\mu \,ds={\text{min)),

kde je index lomu média. $\mu$

Matematický výzkum a vývoj Fermatova principu provedl Christian Huygens [4] , načež o tématu aktivně diskutovali největší vědci 17. století. Leibniz zavedl základní koncept akce do fyziky v roce 1669 : „Formální akce pohybu jsou úměrné ... součinu množství hmoty, vzdáleností, které urazí, a rychlosti.

Souběžně s analýzou základů mechaniky byly vyvíjeny metody řešení variačních problémů. Isaac Newton ve svých „ Mathematical Principles of Natural Philosophy “ (1687) nastavil a vyřešil první variační problém: najít takovou formu rotačního tělesa pohybujícího se v odporovém médiu podél své osy, pro kterou by byl odpor, který zažíval, nejmenší. . Téměř současně se objevily další variační problémy: problém brachistochrony (1696), tvar trolejového vedení atd.

Rozhodující události se odehrály v roce 1744. Leonhard Euler publikoval první obecnou práci o variačním počtu („Metoda pro nalezení křivek s vlastnostmi maxima nebo minima“) a Pierre-Louis de Maupertuis ve svém pojednání „Shoda různých přírodních zákonů , které dosud zdálo se neslučitelné“ dal první formulaci principu nejmenší akce: „Cesta, po níž jde světlo, je cestou, pro kterou bude množství akce nejmenší.“ Prokázal naplnění tohoto zákona jak pro odraz, tak pro lom světla. V reakci na článek Maupertuise publikoval Euler (ve stejném roce 1744) práci „O určení pohybu vržených těles v neodporovém prostředí metodou maxim a minim“ a v této práci uvedl Maupertuisův princip obecný mechanický charakter: „Protože všechny přírodní jevy se řídí nějakým zákonem maxima nebo minima, pak není pochyb o tom, že pro zakřivené čáry, které popisují vržená tělesa, když na ně působí nějaké síly, nabývá nějaká vlastnost maxima nebo minima. místo. Dále Euler formuloval tento zákon: trajektorie tělesa činí minimum . Poté to použil, odvodil zákony pohybu v rovnoměrném gravitačním poli a v několika dalších případech. $\int mv\,ds$

V roce 1746 Maupertuis v novém díle souhlasil s Eulerovým názorem a hlásal nejobecnější verzi jeho principu: „Když v přírodě nastane určitá změna, množství akce nutné pro tuto změnu je nejmenší možné. Velikost akce je součinem hmotnosti těles, jejich rychlosti a vzdálenosti, kterou urazí. V široké diskusi, která následovala, Euler podpořil Maupertuisovu prioritu a argumentoval pro univerzální povahu nového zákona: „všechnu dynamiku a hydrodynamiku lze odhalit s překvapivou lehkostí pouze pomocí metody maxim a minim“.

Nová etapa začala v letech 1760-1761, kdy Joseph Louis Lagrange zavedl striktní koncept variace funkce, dal variačnímu kalkulu moderní vzhled a rozšířil princip nejmenší akce na libovolný mechanický systém (tedy nejen na volné hmotné body ). To znamenalo začátek analytické mechaniky. Další zobecnění principu provedl Carl Gustav Jacobi Jacobi v roce 1837 – problém považoval za geometrický, jako hledání extrémů variačního problému v konfiguračním prostoru s neeuklidovskou metrikou. Jacobi zejména poukázal na to, že při absenci vnějších sil je trajektorie systému geodetická čára v konfiguračním prostoru.

V letech 1834-1835 publikoval William Rowan Hamilton ještě obecnější variační princip, z něhož všechny dřívější vycházely jako speciální případy:

\delta {\mathcal {S}}=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L{\big (}\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t{\big )}\,dt=0.

Zde je Lagrangian dynamického systému a jsou to zobecněné souřadnice . Hamilton dal tento princip na základ své " hamiltonovské mechaniky " a dal řešení variačního problému ve formě " kanonických rovnic ". $L$ $q$

Hamiltonův přístup se ukázal jako všestranný a vysoce účinný v matematických modelech fyziky, zejména pro kvantovou mechaniku . Jeho heuristická síla byla potvrzena při vytváření obecné teorie relativity , kdy David Hilbert použil Hamiltonův princip k odvození konečných rovnic gravitačního pole (1915).

V klasické mechanice

Princip nejmenší akce slouží jako základní a standardní základ pro lagrangeovské a hamiltonovské formulace mechaniky.

Podívejme se nejprve na konstrukci Lagrangeovy mechaniky tímto způsobem . Na příkladu fyzikálního systému s jedním [5] stupněm volnosti si připomeneme, že děj je funkcionál vzhledem k (zobecněným) souřadnicím (v případě jednoho stupně volnosti - jedna souřadnice ), tj. vyjádřeno tak, že každá myslitelná verze funkce je spojena s určitým číslem - akcí (v tomto smyslu můžeme říci, že akce jako funkcionál je pravidlo, které umožňuje jakékoli dané funkci vypočítat přesně definované číslo - také nazývaná akce). Akce vypadá $q(t)$ $q(t)$ $q(t)$ $q(t)$

S[q]=\int {\mathcal {L}}{\big (}q(t),{\dot {q}}(t),t{\big )}\,dt,

kde je Lagrangian systému v závislosti na zobecněné souřadnice , jeho první derivace s ohledem na čas , a také, možná, výslovně na čas . Pokud má systém více stupňů volnosti , pak Lagrangian závisí na větším počtu zobecněných souřadnic a jejich prvních časových derivací. Jedná se tedy o skalární funkcional závislou na dráze tělesa. ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\big (}q(t),{\dot {q}}(t),t{\big )))$ $q$ ${\tečka {q}}$ $t$ $n$ $q_{i}(t),\ i=1,2,\tečky ,n$

Skutečnost, že akce je skalární, usnadňuje její zápis v libovolných zobecněných souřadnicích, hlavní je, že poloha (konfigurace) systému je jimi jednoznačně charakterizována (např. místo kartézských souřadnic mohou být tyto polární souřadnice , vzdálenosti mezi body soustavy, úhly nebo jejich funkce atd. d.).

Akci lze vypočítat pro zcela libovolnou trajektorii , bez ohledu na to, jak „divoká“ a „nepřirozená“ může být. V klasické mechanice je však mezi celou sadou možných trajektorií pouze jedna, po které tělo skutečně půjde. Princip stacionarity působení právě dává odpověď na otázku, jak se bude těleso ve skutečnosti pohybovat: $q(t)$

Mezi dvěma danými body se těleso pohybuje tak, že děj je stacionární.

To znamená, že pokud je dán Lagrangián systému, pak pomocí variačního počtu můžeme přesně určit, jak se těleso bude pohybovat, nejprve získáme pohybové rovnice - Euler-Lagrangeovy rovnice a pak je vyřešíme. To umožňuje nejen vážně zobecnit formulaci mechaniky, ale také zvolit nejvhodnější souřadnice pro každý konkrétní problém, neomezující se na kartézské, což může být velmi užitečné pro získání nejjednodušších a nejsnáze řešitelných rovnic.

Podobně je hamiltonovská mechanika získána z principu nejmenší akce. Akce je v tomto případě nejpřirozeněji napsána [6] jako

S[p,q]=\int {\Big (}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}-{\mathcal {H))(q,p,t)\, dt{\Big )}=\int {\Big (}\součet _{i}p_{i}{\tečka {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t) {\Big )}\,dt,

kde je Hamiltonova funkce daného systému; - (zobecněné) souřadnice, - konjugované (zobecněné) impulsy, charakterizující společně v každém daném časovém okamžiku dynamický stav systému a tím, že jsou každý funkcí času, charakterizují tak vývoj (pohyb) systému. V tomto případě je pro získání pohybových rovnic soustavy ve formě kanonických Hamiltonových rovnic nutné měnit takto zapsanou akci nezávisle pro všechny a . ${\mathcal {H}}(q,p,t)\equiv {\mathcal {H}}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},p_{1}, p_{2},\tečky ,p_{N},t)$ $q\equiv q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}$ $p\equiv p_{1},p_{2},\tečky ,p_{N}$ $Qi}$ $p_{i}$

Je třeba poznamenat, že pokud je principiálně možné z podmínek úlohy najít pohybový zákon, pak to automaticky neznamená , že je možné sestrojit funkcionál, který při skutečném pohybu nabývá stacionární hodnoty. Příkladem je společný pohyb elektrických nábojů a monopolů - magnetických nábojů - v elektromagnetickém poli . Jejich pohybové rovnice nelze odvodit z principu stacionarity působení. Podobně některé hamiltonovské systémy mají pohybové rovnice, které nejsou odvozeny z tohoto principu .

Příklady

Triviální příklady pomáhají vyhodnotit použití principu činnosti prostřednictvím Euler-Lagrangeových rovnic. Volná částice (hmotnost m a rychlost v ) se v euklidovském prostoru pohybuje po přímce . Pomocí Euler-Lagrangeových rovnic to lze zobrazit v polárních souřadnicích následovně. Při absenci potenciálu se Lagrangeova funkce jednoduše rovná kinetické energii

{\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m({\tečka {x}}^{2}+{\tečka {y}} ^{2})

v ortogonálním souřadnicovém systému . $(x, y)$

V polárních souřadnicích se stává kinetická energie a tím i Lagrangeova funkce $(r,\varphi )$

L={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\tečka {\varphi }}^{2}).

Radiální a úhlová složka rovnic se stávají:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r))))\right)-{\frac {\partial L}{\ částečné r}}=0\quad \Rightarrow \quad {\ddot {r}}-r{\tečka {\varphi }}^{2}=0,

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi ))))\right)-{\frac {\partial L}{ \partial \varphi }}=0\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\tečka {r}}{\tečka {\varphi }}=0 .

Řešení těchto dvou rovnic:

r\cos \varphi =at+b,

r\sin \varphi =ct+d,

s konstantami a , b , c , d určenými počátečními podmínkami . Řešením je tedy skutečně přímka zadaná v polárních souřadnicích.

V mechanice kontinua a klasické teorii pole

Pojem akce je zaveden podobně v mechanice kontinua a klasické teorii pole. V nich děj zahrnuje integrál Lagrangeovy hustoty , který závisí na parametrech prostředí (pole) v každém bodě prostoru a jejich derivacích vzhledem k prostorovým souřadnicím a času. Pohybové rovnice získané změnou akce se stávají parciálními diferenciálními rovnicemi.

Princip stacionarity působení se ukázal jako jeden z nejjednodušších způsobů, jak zajistit relativistickou neměnnost pohybových rovnic - k tomu stačí, aby Lagrangova hustota byla skalární (invariantní) při transformacích referenčního systému , např. , Lorentzovy transformace . Z tohoto důvodu se role principu v relativistické fyzice výrazně zvýšila. Zejména Noetherův teorém , který určuje konzervované veličiny v časové evoluci systémů polí, se konkrétně týká Lagrangových systémů.

Je třeba poznamenat, že aplikace principu stacionarity působení na teorii kalibračních polí (například na elektrodynamiku) někdy naráží na některé specifické problémy, které jsou však řešitelné.

V kvantové mechanice

V kvantové mechanice není podle kodaňské interpretace nutné přesně vědět, jak se částice pohybuje. Navíc Feynmanova formulace říká, že:

částice se pohybuje z počátečního stavu do konečného stavu najednou po všech myslitelných trajektoriích (kterých je samozřejmě nekonečné množství). Amplituda pravděpodobnosti přechodu z jednoho daného stavu do druhého je součtem amplitud pro všechny tyto trajektorie a je zapsána jako funkční integrál

\psi =\int [Dx]\,e^{iS[x]/\hbar }.

Zde je podmíněný zápis nekonečně dlouhé funkční integrace přes všechny trajektorie x ( t ), a je Planckova konstanta . Zdůrazňujeme, že v zásadě se akce v exponentu objevuje (nebo může objevit) sama o sobě, při studiu evolučního operátoru v kvantové mechanice je však pro systémy, které mají přesný klasický (nekvantový) analog, přesně stejná k obvyklé klasické akci. $\int[dx]$ $\hbar$

Matematická analýza tohoto výrazu v klasické limitě - pro dostatečně velké , tedy pro velmi rychlé kmity imaginárního exponentu ukazuje, že naprostá většina všech možných trajektorií v tomto integrálu se v limitě (formálně na ) ruší. . Téměř pro každou cestu existuje cesta, na které bude fázový průnik přesně opačný a budou mít nulový příspěvek. Neredukují se pouze ty trajektorie, u kterých se akce blíží krajní hodnotě (u většiny systémů minimální). Toto je čistě matematický fakt z teorie funkcí komplexní proměnné ; například metoda stacionární fáze je založena na tom . $S/\hbar$ $S/\hbar \to \infty$

V důsledku toho se částice, plně v souladu se zákony kvantové mechaniky, pohybuje současně po všech trajektoriích, ale za normálních podmínek se na pozorovaných hodnotách podílejí pouze trajektorie blízké stacionárním (tedy klasickým). Protože kvantová mechanika přechází v mezích vysokých energií na mechaniku klasickou, můžeme předpokládat, že se jedná o kvantově mechanické odvození klasického principu stacionarity akce .

Objev formulace kvantování v pojmech funkcionálních integrálů (často se také říká: „cestovní integrály“, „ cestové integrály “ nebo „součet příběhů“), stejně jako stanovení jejího spojení s klasickou limitou, patří Richardu Feynmanovi . který kreativně rozvinul myšlenku Paula Diraca .

Schrödingerovu rovnici lze získat [7] z principu nejmenší akce, uvažované jako Eulerova rovnice

{\frac {\partial L}{\partial \psi }}-\sum _{k=0}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\frac {\částečné L}{\částečné \left({\frac {\částečné \psi }{\částečné x_{k))}\pravé)))=0

variační problém, ve kterém má hustota Lagrangeova tvar

L=i\hbar \psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t))-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla \psi ^ {*}\nabla \psi -U(r,t)\psi ^{*}\psi -i\hbar {\frac {\částečné \psi ^{*}}{\částečné t}}\psi

V kvantové teorii pole

V kvantové teorii pole se také úspěšně uplatňuje princip stacionarity působení. Lagrangeova hustota zde zahrnuje operátory odpovídajících kvantových polí. I když je zde správnější (s výjimkou klasické limitní a částečně semiklasické) hovořit nikoli o principu stacionarity děje, ale o Feynmanově integraci nad trajektoriemi v konfiguraci či fázovém prostoru těchto polí - pomocí Lagrangovy hustoty právě zmíněný.

Další zobecnění

V širším měřítku je akce chápána jako funkcionál, který definuje zobrazení z konfiguračního prostoru do množiny reálných čísel a obecně nemusí být integrálem, protože nelokální akce jsou v zásadě možné, minimálně teoreticky. Navíc konfigurační prostor není nutně prostorem funkcí , protože může mít nekomutativní geometrii .

Poznámky

↑ Euler L. Disertační práce o principu nejmenší akce s rozborem námitek nejznámějšího prof. Koenig, postavil se proti tomuto principu // Variační principy mechaniky. - M .: Fizmatgiz , 1959. - S. 96-108.
↑ Rumjancev, 1988 , s. 181.
↑ Fermat P. Syntéza pro refrakci // Variační principy mechaniky. - M .: Fizmatgiz , 1959. - S. 6-10.
↑ Huygens X. Pojednání o světle. - M. - L .: Gostekhizdat , 1935. - 172 s.
↑ Pro systém s mnoha stupni volnosti se vše píše podobně, jen místo jedné zobecněné souřadnice je použito několik (nebo dokonce - u nekonečněrozměrných systémů - nekonečný počet) zobecněných souřadnic . Pro jednoduchost je nejprve zvažován příklad systému s jedním stupněm volnosti. $q$ $q_{1},q_{2},\tečky$
↑ Tentokrát je uveden nejednorozměrný příklad.
↑ Kushnirenko, 1971 , s. 38.

Literatura

Berdičevskij VL Variační principy mechaniky kontinua. — M .: Nauka , 1983. — 448 s.
Variační principy mechaniky. So. články klasiků vědy / Ed. L. S. Polák . - M. : Fizmatgiz, 1959. - 932 s.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Metoda variabilního působení. 2. vyd . - M. : Fizmatlit, 2005. - 272 s. — ISBN 5-9221-0569-8 .
Gantmakher F. R. Přednášky o analytické mechanice. 2. vyd . — M .: Nauka , 1966. — 300 s.
Dobronravov VV Základy analytické mechaniky . - M . : Vyšší škola, 1976. - 264 s.
Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanika. - 4. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988 . — 215 str. — („Teoretická fyzika“, svazek I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988 . — 512 s. - ("Teoretická fyzika", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Lanczos K. Variační principy mechaniky . — M .: Mir, 1965. — 408 s.
Leach JW klasická mechanika . - M .: Zahraniční. Literatura, 1961. - 174 s.
Pavlenko Yu.G. Přednášky o teoretické mechanice. — M. : Fizmatlit, 2002. — 392 s. — ISBN 5-9221-0241-9 .
Pars L. A. Analytická dynamika . — M .: Nauka , 1971. — 636 s.
Polák L. S. V. R. Hamilton a princip stacionarity jednání. - M . : Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1936. - 272 s.
Rumyantsev VV Leonard Euler a variační principy mechaniky // Vývoj myšlenek Leonharda Eulera a moderní vědy. — M .: Nauka , 1988. — 518 s. — ISBN 5-02-000002-7 . - S. 180-207.
Feynman R., Hibs A. Kvantová mechanika a dráhové integrály. Per z angličtiny. - M. : Mir, 1968. - 384 s.
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman přednášky z fyziky. T. 6: Elektrodynamika. Za. z angličtiny. 3. vyd. - M . : Editorial URSS, 2004. - 352 s. - ISBN 5-354-00704-6 . — Kapitola 19: Zásada nejmenší akce.
Kushnirenko AN Úvod do kvantové teorie pole. - M . : Vyšší škola, 1971. - 304 s.

Viz také

Akce (fyzická veličina)