Radiální trajektorie

Radiální trajektorie - v astrodynamice a nebeské mechanice Keplerova dráha s nulovým momentem hybnosti . Dva objekty na radiální dráze se pohybují po přímce.

Klasifikace

Existují tři typy radiálních trajektorií (orbit). [jeden]

Radiální eliptická trajektorie : oběžná dráha odpovídající části degenerované elipsy od okamžiku, kdy se tělesa vzájemně dotknou, a poté se tělesa vzdálí až do dalšího dotyku. Relativní rychlost dvou těles je menší než úniková rychlost . Pro tuto dráhu má vedlejší osa nulovou délku, excentricita je rovna jedné. I když je excentricita jednotná, oběžná dráha není parabolická. Pokud je koeficient pružnosti obou těles roven 1, pak bude taková oběžná dráha periodická; pokud je koeficient pružnosti menší než 1, oběžná dráha je neperiodická.
Radiální parabolická trajektorie : Neperiodická dráha, kde se relativní rychlost těles rovná únikové rychlosti. Existují dva případy: tělesa se pohybují k sobě nebo od sebe.
Radiální hyperbolická trajektorie : Neperiodická dráha, kde relativní rychlost těles přesahuje únikovou rychlost. Existují dva případy: tělesa se pohybují k sobě nebo od sebe. Jde o hyperbolickou dráhu s nulovou délkou vedlejší poloosy, přičemž excentricita je rovna jedné.

Na rozdíl od standardních drah, jejichž jednou z charakteristik je excentricita, jsou radiální dráhy klasifikovány podle množství energie na jednotku hmotnosti (součet kinetické a potenciální energie děleno redukovanou hmotností ):

\epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x)),

kde x je rovno vzdálenosti mezi těžišti těles, v je rovno relativní rychlosti, je gravitační parametr . $\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$

Další konstanta má tvar

w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\epsilon }{\mu }}.

Pro eliptické trajektorie je w kladné a rovné převrácené hodnotě apocentrické vzdálenosti.
Pro parabolické trajektorie se w rovná nule.
Pro hyperbolické trajektorie je w záporné a rovné , kde se rovná rychlosti v nekonečné vzdálenosti. $\textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}$ ${\displaystyle \textstyle v_{\infty ))$

Čas jako funkce vzdálenosti

Vzhledem ke vzdálenosti mezi složkami, rychlosti a celkové hmotnosti v určitém časovém okamžiku je možné určit polohu objektu v libovolném časovém okamžiku.

V prvním kroku se určí konstanta w. Znaménko w určuje typ oběžné dráhy.

w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu )),

kde a jsou vzdálenost mezi součástmi a rychlost v určitém časovém okamžiku. $\textstyle x_{0}$ $\textstyle v_{0}$

Parabolická trajektorie

t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}},

kde t ukazuje čas do nebo od okamžiku, kdy se dvě hmoty, pokud jsou body, shodují v prostoru, x ukazuje vzdálenost.

Tato rovnice platí pouze pro radiální parabolické trajektorie. Pro obecnější parabolické trajektorie viz Barkerova rovnice.

Eliptická dráha

t(x,w)={\frac {\arcsin({\sqrt {w\,x)))-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)))}{ {\sqrt {2\mu }}\,w^{3/2}}},

kde t ukazuje čas do nebo od okamžiku, kdy se dvě hmoty, pokud jsou bodovými hmotami, shodují v prostoru, x ukazuje vzájemnou vzdálenost.

Tato rovnice je radiální Keplerova rovnice. [2]

Hyperbolická trajektorie

t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln({\sqrt {|w|x}}+ {\sqrt {1+|w|x)))}{{\sqrt {2\mu }}\,|w|^{3/2}}},

kde t ukazuje čas do nebo od okamžiku, kdy se dvě hmoty, pokud jsou bodovými hmotami, shodují v prostoru, x ukazuje vzájemnou vzdálenost.

Univerzální vzorec (pro libovolnou trajektorii)

Keplerovu radiální rovnici lze napsat v univerzální formě použitelné pro jakoukoli radiální trajektorii:

t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin({\sqrt {u\,x)))-{\sqrt {u\,x\ (1- u\,x)}}}{{\sqrt {2\mu }}\,u^{3/2}}}.

Pokud použijeme rozšíření řady, rovnice se převede do tvaru

t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\ frac {1}{5}}šx^{5/2}+{\frac {3}{28}}š^{2}x^{7/2}+{\frac {5}{72}}š ^{3}x^{9/2}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{11/2}\cdots )\right|_{-1<w\cdot x< jeden}

Radiální Keplerův problém (vzdálenost jako funkce času)

Problém určování vzdálenosti mezi dvěma tělesy v libovolném časovém bodě, dané vzdálenosti a rychlosti v daném časovém bodě, je známý jako Keplerov problém . V této části je vyřešen Keplerov problém pro radiální dráhy.

V první fázi se určí konstanta w. Znaménko w se používá k určení typu oběžné dráhy.

w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu )),

kde a jsou vzdálenost mezi součástmi a rychlost v určitém časovém okamžiku. $\textstyle x_{0}$ $\textstyle v_{0}$

Parabolická trajektorie

x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}

Univerzální tvar (pro libovolnou trajektorii)

Použijeme dvě nezávislé veličiny w a vzdálenost p v čase t, která by byla mezi tělesy, kdyby se nacházela na parabolické dráze.

w={\frac {1}{x_{0))}-{\frac {v_{0}^{2)){2\mu )),\quad \quad p=\left({\ frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3)),

kde t je čas, je počáteční poloha, je rovna počáteční rychlosti, . $x_0$ $v_{0}$ $\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$

Inverzní Keplerova radiální rovnice je řešením Keplerova radiálního problému:

x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left({\frac {w^{n-1}p^{ n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left(r^{n }\left({\frac {3}{2}}(\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {rr^{2}}})\right)^{-{\frac {2 }{3}}n}\vpravo)\vpravo)\vpravo)

nebo

x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w ^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots

Výkonové řady lze snadno rozlišit člen po členu, což umožňuje získat vzorce pro rychlost, zrychlení atd.

Poznámky

↑ William Tyrrell Thomson (1986), Úvod do vesmírné dynamiky, Dover
↑ Brown, Kevin, http://www.mathpages.com/rr/s4-03/4-03.htm , MathPages

Cowell, Peter (1993), Řešení Keplerovy rovnice za tři století, William Bell.

Odkazy

Keplerova rovnice v Mathworld [1]

Orbity

Typy

Hlavní	Krabicová orbita Zachyťte oběžnou dráhu kruhová dráha Eliptická oběžná dráha / Vysoká eliptická oběžná dráha Care Orbit Pohřební dráha Hyperbolická trajektorie Nakloněná oběžná dráha / Neskloněná oběžná dráha Oskulační oběžná dráha Parabolická trajektorie Referenční oběžná dráha (včetně nízké ) synchronní oběžné dráze ( Polosynchronní subsynchronní ) Stacionární oběžná dráha
Geocentrický	geosynchronní oběžná dráha geostacionární oběžná dráha Slunečně synchronní oběžná dráha Nízká oběžná dráha Země Střední oběžná dráha Země Vysoká oběžná dráha Země Orbit "blesk" Rovníková dráha Orbita Měsíce polární oběžná dráha Orbit "Tundra" TLE
Kolem dalších nebeských těles a bodů	Areosynchronní oběžná dráha Areostacionární dráha halo oběžná dráha Orbit Lissajous měsíční oběžné dráze Heliocentrická oběžná dráha Slunečně synchronní oběžná dráha

Možnosti

Klasický	$i\,\!$ Nálada $\Omega\,\!$ Zeměpisná délka vzestupného uzlu $E\,\!$ Excentricita $\omega\,\!$ argument periapse $A\,\!$ Hlavní osa $M_o\,\!$ Průměrná anomálie za epochu
jiný	$\nu\,\!$ Skutečná anomálie $b\,\!$ Vedlejší osa $E\,\!$ Excentrická anomálie $L\,\!$ Průměrná zeměpisná délka $l\,\!$ skutečnou zeměpisnou délku $T\,\!$ Období oběhu

Orbitální manévry
Bieliptická přenosová dráha Charakteristická rychlostní rozpětí geotransferová dráha Gravitační manévr Gravitační obrat Hohmannova oběžná dráha Nízkonákladová přechodová cesta Oberthův efekt Změna sklonu oběžné dráhy Fázování oběžné dráhy Dokování Transpozice, dokování a extrakce odtahovací manévr

Další témata astrodynamiky

Nebeský souřadnicový systém
Rovníkový souřadnicový systém
Epocha
Ephemeris
Keplerovy zákony
Problém gravitačního N-tělesa
Lagrangeovy body
Poruchy
Orbitální rovnice meziplanetární dopravní sítě
Apocentrum a periapse
Orbitální rychlost
Parametr gravitace
Orbitální stavové vektory
Speciální orbitální energie
Speciální relativní točivý moment
přímý pohyb
retrográdní pohyb
Orbitální dráha