Věta o součtu úhlů o trojúhelníku

Trojúhelníkový teorém součtu  je klasický teorém v euklidovské geometrii .

Formulace

Součet úhlů trojúhelníku v euklidovské rovině je 180 ° . [jeden]

Důkaz

Nechť  je libovolný trojúhelník. Nakreslete čáru přes vrchol B rovnoběžnou s přímkou ​​AC . Označte na něm bod D tak, aby body A a D ležely na opačných stranách úsečky BC . Úhly DBC a ACB jsou stejné jako vnitřní příčné, tvořené sečnou BC s rovnoběžnými přímkami AC a BD . Proto je součet úhlů trojúhelníku ve vrcholech B a C roven úhlu ABD . Součet všech tří úhlů trojúhelníku se rovná součtu úhlů ABD a BAC . Protože tyto úhly jsou vnitřní jednostranné pro paralelní AC a BD na sečně AB , jejich součet je 180°. Q.E.D.

Důsledky

• Trojúhelník nemůže mít dva tupé nebo dva pravé úhly, protože pak by součet úhlů byl větší než 180°. Ze stejného důvodu nemůže trojúhelník obsahovat současně tupý a pravý úhel.
• Každý trojúhelník má alespoň dva ostré úhly. Skutečně, případ, kdy má trojúhelník pouze jeden ostrý úhel nebo nemá žádné ostré úhly, je v rozporu s předchozím důsledkem.
• V pravoúhlém trojúhelníku jsou oba úhly u přepony ostré.
• V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly na základně stejné, takže pouze úhel protilehlý základně může být tupý.
• V rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku jsou úhly u přepony (180° - 90°) / 2 = 45°.
• V rovnostranném trojúhelníku se všechny tři úhly shodují a jsou tedy rovny 180° / 3 = 60°.
• ( Věta o vnějším úhlu trojúhelníku ) Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu dvou vnitřních úhlů, které s ním nesousedí [2] .

Variace a zobecnění

Polygony

Zobecnění pro simplices

Mezi dihedrálními úhly libovolného simplexu je složitější vztah . Konkrétně, jestliže  je úhel mezi plochami i a j simplexu, pak je determinant další matice (což je oběhová látka ) roven 0:

To vyplývá ze skutečnosti, že tento determinant je Gramův determinant normál k plochám simplexu, zatímco Gramův determinant lineárně závislých vektorů je 0 a vektory v -rozměrném prostoru jsou vždy lineárně závislé.

V neeuklidovských geometriích

Důkaz uvedený v tomto článku se opírá o jistou vlastnost rovnoběžných čar, totiž tvrzení, že vnitřní úhly rovnoběžek ležících napříč jsou stejné. Důkaz tohoto tvrzení zase používá axiom rovnoběžnosti euklidovské geometrie. Lze ukázat, že jakýkoli důkaz věty o součtu úhlů trojúhelníku bude používat axiom rovnoběžnosti a naopak - z tvrzení, že součet úhlů trojúhelníku je 180°, lze odvodit axiom rovnoběžnosti, pokud jsou uvedeny zbývající axiomy klasické geometrie ( absolutní geometrie ) [3] .

Rovnost součtu úhlů trojúhelníku 180° je tedy jedním z hlavních rysů euklidovské geometrie, který ji odlišuje od neeuklidovských, ve kterých není splněn axiom rovnoběžnosti:

• Na kouli součet úhlů trojúhelníku vždy přesahuje 180°, rozdíl se nazývá sférický přebytek a je úměrný ploše trojúhelníku. Kulový trojúhelník může mít dva nebo dokonce tři pravé nebo tupé úhly.

• V Lobachevského geometrii je součet úhlů trojúhelníku vždy menší než 180° a může být libovolně malý. Rozdíl je také úměrný ploše trojúhelníku.

Poznámky

1. ↑ Geometrie podle Kiseleva Archivováno 1. března 2021 na Wayback Machine , § 81.
2. ↑ Elementární matematika, 1976 , s. 421.
3. ↑ Lelon-Ferrand J. Základy geometrie. - M .: Mir, 1989. - S. 255-256. - 312 s. — ISBN 5-03-001008-4 .

Literatura

• Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.