Aperiodická mozaika

Aperiodický obklad  je neperiodický obklad s další vlastností, že obklad neobsahuje nekonečně velké periodické kusy. Sada typů dlaždic (nebo prototilů ) je sada neperiodických prototilů , pokud kopie těchto dlaždic mohou tvořit pouze neperiodické dlaždice . Penrose obklady [1] [2] jsou nejznámějšími příklady aperiodických obkladů.

Aperiodické obklady slouží jako matematické modely pro kvazikrystaly , fyzická těla, která byla objevena v roce 1982 Danem Shechtmanem [3] , který v roce 2011 obdržel Nobelovu cenu [4] . Specifická místní struktura těchto materiálů však zůstává špatně pochopena.

Jsou známy některé metody pro konstrukci aperiodických mozaik.

Definice a ilustrace

Vezměme si periodickou dlaždici jednotkových čtverců (vypadá to jako nekonečný milimetrový papír ). Nyní rozdělíme jeden čtverec na dva obdélníky. Takto získaný obklad není periodický – není zde žádný posun, který by tento obklad nezměnil. Je jasné, že tento příklad je mnohem méně zajímavý než obklad Penrose. Pro vyloučení takových příkladů je aperiodický obklad definován jako takový, který neobsahuje libovolně velké periodické části.

Obklad se nazývá aperiodický, pokud jeho obálka obsahuje pouze neperiodické obklady. Obálka obkladu obsahuje všechny překlady T+x obkladu T spolu se všemi obklady, které lze aproximovat překladem T . Formálně se jedná o uzavření množiny v lokální topologii [5] . V lokální topologii (odpovídající metrice) jsou dvě dlaždice -blízké, pokud jsou stejné v kruhu o poloměru kolem počátku (možná poté, co byla jedna z dlaždic posunuta o vzdálenost menší než ).

Abychom uvedli ještě jednodušší příklad, uvažujme jednorozměrný obklad T úsečky, která vypadá jako ... aaaaaabaaaaa ... kde a představuje interval délky jedna a b představuje interval délky dvě. Pak se dlaždice T skládá z nekonečného počtu kopií a a jedné kopie b (řekněme se středem na 0). Nyní jsou všechny překlady T obklady s jedním b někde a a jinde. Posloupnost obkladů, ve kterých je b vystředěno v bodech , konverguje (v lokální topologii) k periodickému obkladu sestávajícímu pouze z dlaždic a . T tedy není aperiodickým obkladem, protože jeho uzávěr obsahuje periodický obklad … aaaaaa ….

Pro mnoho „dobrých“ teselací (například substituce dlaždic s konečným počtem místních vzorů) platí tvrzení: pokud dlaždice neobsahuje tečku a opakuje se (to znamená, že se každá dlaždice vyskytuje se stejnou pravděpodobností jako je dlaždicová), pak je aperiodická [6] [5] .

Historie

Otázka neperiodických dlaždic poprvé vyvstala v roce 1961, kdy se logik Hao Wang pokusil zjistit, zda by problém domina mohl být řešitelný, tedy zda existuje algoritmus pro určení, že daná konečná množina proto-dlaždic tvoří dlaždici. letadlo. Wang našel algoritmy pro výpis sad dlaždic, které nelze položit na rovinu, a sad dlaždic, které rovinu pravidelně dláždí. Ukázal tedy, že takový algoritmus existuje, pokud pro jakoukoli konečnou množinu prototilů, která umožňuje obkládání roviny, existuje také periodické obkládání. V roce 1964 našel Robert Berger aperiodickou sadu, čímž ukázal, že problém s obklady je ve skutečnosti neřešitelný [7] . Toto byla první taková sada použitá v jeho důkazu nerozhodnutelnosti a obsahovala 20 426 dlaždic Wang. Berger později snížil počet dlaždic na 104 a Hans Löichli našel aperiodickou sadu 40 dlaždic Van [8] . Dokonce i menší soubor šesti aperiodických dlaždic (založených na dlaždicích Wang) objevil Raphael Robinson v roce 1971 [9] . Roger Penrose našel tři další sady v roce 1973 a 1974, čímž se počet potřebných dlaždic snížil na dvě, a Robert Ammann našel několik dalších sad v roce 1977 8] . V roce 2010 Sokolar a Taylor našli sadu dvou dlaždic stejného typu (pravidelné šestiúhelníky), přičemž jedna dlaždice je symetrická ke druhé [10] .

Aperiodické Penrose obklady lze generovat nejen aperiodickými sadami prototilů, ale také substitucí a metodou cut-and-project . Po objevení kvazikrystalů se aperiodickými mozaikami začali intenzivně zabývat fyzici a matematici. Metoda „cut-and-project“ pro Penrose obklady N. G. de Bruijna se nakonec stala součástí Meyerovy teorie množin [11] [12] . V současné době existuje velké množství literatury o aperiodických obkladech [5] .

Budovy

Existuje několik metod pro konstrukci aperiodické mozaiky. Několik konstrukcí je založeno na nekonečných rodinách aperiodických sad dlaždic [13] [14] . Tyto nalezené konstrukce fungují ve většině případů několika způsoby, především pomocí nějaké aperiodické hierarchické struktury. Navzdory tomu neřešitelnost dominového problému zajišťuje, že musí existovat nekonečně mnoho různých konstrukcí a ve skutečnosti existují aperiodické sady dlaždic, u kterých nelze prokázat jejich aperiodicitu.

Aperiodické hierarchické teselace

K dnešnímu dni neexistuje žádná formální definice popisující, kdy má mozaika hierarchickou strukturu. Je však zřejmé, že náhrady dlaždic mají takovou strukturu, jako obklady Berger, Knuth , Leuchli a Robinson . Stejně jako u termínu „aperiodické pokládání obkladů“ je termín „aperiodické hierarchické obklady“ vhodnou zkratkou pro něco jako „soubor obkladů umožňujících pouze aperiodické hierarchické obklady“.

Každá z těchto sad dlaždic nutí jakoukoli mozaiku těchto dlaždic, aby měla hierarchickou strukturu. (V mnoha z následujících příkladů může být tato struktura popsána jako systém nahrazování dlaždic, jak je popsáno níže). Žádné pokládání těchto sad dlaždic nemůže být periodické, jednoduše proto, že žádný paralelní přenos nemůže ponechat celou hierarchickou strukturu nedotčenou. Zvažte dlaždice Robinson z roku 1971:

Jakékoli obklady s těmito dlaždicemi mohou poskytnout pouze hierarchii čtvercových sítí - každý oranžový čtverec v rohu většího čtverce a tak dále do nekonečna. Jakýkoli paralelní překlad musí být menší než velikost nějakého čtverce, a proto nemůže ponechat takový dlaždicový invariant.

Robinson dokázal, že tyto dlaždice musí tvořit vzor indukčně. V důsledku toho by dlaždice měly tvořit bloky, které společně představují zvětšené verze původních dlaždic a tak dále. Tato myšlenka nalezení sady dlaždic, které mohou tvořit pouze hierarchické struktury, se nyní používá ke konstrukci většiny známých neperiodických sad dlaždic.

Substituce

Systémy nahrazující dlaždice poskytují bohatý zdroj aperiodických obkladů. Sada dlaždic, která vynucuje substituční strukturu, se nazývá struktura nucené substituce. Například dlaždice židlí zobrazené níže umožňují substituce a na obrázku je znázorněn fragment substituce dlaždic. Tyto záměny dlaždic nejsou nutně periodické, ale dlaždice židle nejsou aperiodické – s těmito dlaždicemi je snadné najít periodické dlaždice.

Dlaždice zobrazené níže však vynucují substituční strukturu dlaždice židle, a jsou proto aperiodické [15] .

Penroseovy dlaždice a krátce poté některé sady ammánských dlaždic [16] byly prvními příklady založenými na strukturách nuceného nahrazování dlaždic. Joshua Sokolar [17] [18] , Penrose, Roger [19] , Ludwig Danzer [20] a Chaim Goodman-Strauss [15] našli několik dalších sad. Shahar Moses dal první obecnou konstrukci, která ukazuje, že jakýkoli produkt jednorozměrných substitučních systémů může být vynucen pravidly substituce [14] . Charles Radin našel vynucující pravidla pro systém substituce dlaždic pro obklady Conway's Pinwheel [21] . V roce 1998 Goodman-Strauss ukázal, že místní pravidla spojení lze nalézt pro jakoukoli strukturu nahrazování dlaždic, která splňuje některé mírné podmínky [13] .

Metoda cut-and-project

Mozaiky bez teček lze získat promítáním vysokorozměrných struktur do prostoru s nižší dimenzí a za určitých okolností mohou existovat dlaždice, které těmto strukturám brání v tom, aby měly tečku, a proto budou mozaiky aperiodické. Penrose dlaždice jsou prvním a nejznámějším příkladem takových dlaždic, jak je vidět v průkopnické práci de Bruijna [22] . Existuje neúplný (algebraický) popis obkladů typu cut-and-project, které mohou být vynuceny pravidly spojení, ačkoli je známo mnoho nezbytných a postačujících podmínek [23] .

Jiné techniky

Bylo nalezeno pouze několik dalších typů konstrukcí. Zejména Jarkko Kari dal aperiodickou sadu destiček Wang založenou na produktech o 2 nebo 2/3 reálných čísel zakódovaných řadami destiček (kódování souvisí se sekvencemi získanými jako rozdíly po sobě jdoucích prvků Beattyho posloupnost ), s aperiodicitou v zásadě příbuznou skutečnosti, že 2 n /3 m se nikdy nerovná 1 pro žádné z kladných celých čísel n a m [24] . Tuto metodu později upravil Goodman-Strauss k získání přísně aperiodické sady dlaždic na hyperbolické rovině [25] . Shahar Moses našel mnoho alternativních konstrukcí aperiodických sad dlaždic, některé v exotičtějších nastaveních, jako jsou polojednoduché Lieovy skupiny [26] . Block a Weinberger použili homologické metody ke konstrukci aperiodických sad dlaždic pro všechny neamenovatelné odrůdy [27] . Joshua Socolar také uvedl další způsob, jak vynutit neperiodicitu z hlediska střídání podmínek [28] . To obecně vede k mnohem menším sadám dlaždic, než je sada získaná ze substitucí.

Fyzika aperiodických teselací

Aperiodické obklady byly považovány za čistě matematické objekty až do roku 1984, kdy fyzik Dan Shechtman oznámil objev typu slitiny hliníku a manganu, který poskytoval ostrý difrakční obrazec s jednoznačnou pětinásobnou symetrií [3] . Tato látka tedy musí být krystalickou látkou s ikosohedrickou symetrií. V roce 1975 Robert Ammann rozšířil Penroseovu konstrukci na trojrozměrný ikosohedrický ekvivalent. V takových případech nabývá výraz "obklad" význam "vyplnění prostoru". Fotonická zařízení jsou nyní stavěna jako aperiodické sekvence různých vrstev, které jsou aperiodické v jednom směru a periodické v ostatních dvou. Ukázalo se, že struktura kvazikrystalů Cd-Te sestává z atomárních vrstev, ve kterých jsou atomy uspořádány v ploché aperiodické formě. Někdy se právě na takových aperiodických strukturách projevuje energetické minimum nebo maximum entropie. Steinhardt ukázal, že Hummeltovy spojené desetiúhelníky umožňují aplikaci extremního principu a poskytují tak spojení mezi matematickými neperiodickými teselacemi a strukturou kvazikrystalů [29] . Byl pozorován jev, kdy Faradayovy vlny vytvořily velké fragmenty aperiodických mozaik 30] . Fyzika tohoto objevu oživila zájem o neproporcionální struktury a frekvence a objevil se předpoklad o souvislosti aperiodické mozaiky s fenoménem interference [31] .

Zmatek v terminologii

Termín aperiodický se v matematické obkladačské literatuře používá mnoha způsoby (a také v jiných oblastech matematiky, jako jsou dynamické systémy a teorie grafů, ve zcela jiném smyslu). U obkladů se někdy používá termín aperiodický jako synonymum pro neperiodicitu. Neperiodický obklad je obklad, který nemá netriviální paralelní překlad. Někdy se tento termín používá, explicitně nebo implicitně, k popisu teselací tvořených aperiodickou sadou prototilů. Často se tento termín vágně používá k popisu struktur fyzikálních aperiodických látek, jmenovitě kvazikrystalů nebo něčeho neperiodického s nějakým druhem globálního řádu.

Problematické je také použití slov „mozaika“ nebo „dlažba“, i když jsou tyto pojmy výslovně definovány. Například neexistuje jediný Penroseův obklad  – Penrose diamanty znamenají nekonečný počet obkladů (které nelze lokálně rozlišit). Obvykle se snažte vyhnout použití těchto termínů v odborné literatuře, ale termíny jsou široce používány jako neformální.

Viz také

• Girih (matematika)
• Seznam neperiodických sad dlaždic
• Kvazikrystal
• Zulliage

Poznámky

1. ↑ Gardner, 1977 , s. 111–119.
2. ↑ Gardner, 1988 .
3. ↑ 1 2 Schechtman, Blech, Gratias, Cahn, 1984 , str. 1951–1953
4. ↑ Nobelova cena za chemii 2011 .
5. ↑ 1 2 3 Baake, Grimm, 2013 .
6. ↑ Může se zdát, že zde existuje tautologie, ale absence období znamená, že v této verzi mozaiky není žádné období a aperiodicita mozaiky znamená, že není možné vytvořit periodickou mozaiku pomocí stejných dlaždic .
7. ↑ Berger, 1966 , str. 1–72.
8. ↑ 1 2 Grünbaum a Shephard 1986 , s. oddíl 11.1.
9. ↑ Robinson, 1971 , str. 177–209.
10. ↑ Socolar, Taylor, 2010 .
11. ↑ Lagarias, 1996 , s. 356–376.
12. ↑ Moody, 1997 , str. 403–441.
13. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1998 , str. 181–223.
14. ↑ 12 Mozes , 1989 , str. 39–186.
15. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1999 , s. 375–384.
16. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
17. ↑ Senechal, 1995 .
18. ↑ Socolar, 1989 , str. 10519–51.
19. ↑ Penrose, 1997 , s. 467–497.
20. ↑ Nischke a Danzer 1996 , str. 221–236.
21. ↑ Radin, 1994 , str. 661–702.
22. ↑ de Bruijn, 1981 , str. 39–52, 53–66.
23. ↑ Le, 1997 , str. 331–366.
24. ↑ Kari, 1996 , str. 259–264.
25. ↑ Goodman-Strauss, 2005 , str. 119–132.
26. ↑ Mozes, 1997 , str. 603–611.
27. ↑ Block, Weinberger, 1992 , str. 907–918.
28. ↑ Socolar, 1990 , str. 599–619.
29. ↑ Steinhardt .
30. ↑ Edwards, Fauve, 1993 .
31. ↑ Levy, Mercier, 2006 , str. 115.

Literatura

• Nobelova cena za chemii 2011 . — Nobelprize.org.
• Martin Gardner . Matematické hry  // Scientific American. - 1977. - Leden ( sv. 236 ). — S. 111–119 .
• Martin Gardner . Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. - W. H. Freeman & Co, 1988. - ISBN 0-7167-1987-8 .
• Schechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn JW Kovová fáze s orientací na dlouhé vzdálenosti a bez translační symetrie // Physical Review Letters. - 1984. - T. 53 , no. 20 . — S. 1951–1953 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 . — .
• Baake M., Grimm U. Aperiodický řád. Vol 1: Matematická pozvánka. — Cambridge University Press, 2013.
• Robert Berger. Nerozhodnutelnost problému domino // Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - T. 66 . — S. 1–72 .
• Raphael M. Robinson. Nerozhodnutelnost a neperiodicita pro obklady roviny // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 12 , no. 3 . — S. 177–209 . - doi : 10.1007/BF01418780 . - .
• Lagarias JC Meyerův koncept kvazikrystalových a kvaziregulárních množin  // Commun. Matematika. Phys.. - 1996. - Vol. 179 , no. 2 . — S. 356–376 .
• Moody RV Meyerovy množiny a jejich duály // The Mathematics of Long Range Aperiodic Order, NATO ASI Series C. - 1997. - T. 489 . — S. 403–441 .
• Chaim Goodman Strauss. Přiřazovací pravidla a substituční obklady  // Annals of Mathematics . - Annals of Mathematics, 1998. - V. 147 , no. 1 . — S. 181–223 . - doi : 10.2307/120988 . — .
• Chaim Goodman Strauss. Malá aperiodická sada planárních dlaždic // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , no. 5 . — S. 375–384 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0281 .
• Branko Grünbaum , Geoffrey C. Shephard. Obklady a vzory. - W. H. Freeman & Company, 1986. - ISBN 0-7167-1194-X .
• Marjorie Senechalová. Kvazikrystaly a geometrie. - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0-521-57541-9 .
• Socolar JES Jednoduché osmiboké a dvanáctihranné kvazikrystaly // Phys. Rev. B. - 1989. - T. 39 . — S. 10519–51 . - doi : 10.1103/PhysRevB.39.10519 . — .
• Penrose R. Poznámky k dlaždicím: podrobnosti o 1 +  ε  +  ε 2 -aperiodické množině // The mathematics long range aperiod order, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Matematika. Phys. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 467–497 .
• Nischke K.-P., Danzer L. Konstrukce inflačních pravidel založených na n -násobné symetrii // Disc. a Comp. Geom.. - 1996. - V. 15 , no. 2 . — S. 221–236 . - doi : 10.1007/BF02717732 .
• Mozes S. Dlaždice, substituční systémy a jimi generované dynamické systémy // Journal d'Analyse Mathématique. - 1989. - T. 53 , no. 1 . — S. 139–186 . - doi : 10.1007/BF02793412 .
• Charles Radin. Větrníkové obklady letadla  // Annals of Mathematics . - Annals of Mathematics, 1994. - V. 139 , no. 3 . — S. 661–702 . - doi : 10.2307/2118575 . — .
• de Bruijn NG Algebraická teorie Penroseových neperiodických obkladů roviny, I, II // Nederl. Akad. Wetensch. Index. Matematika.. - 1981. - T. 43 . — S. 39–52, 53–66 .
• Le TTQ Místní pravidla pro kvaziperiodické obklady // The mathematics long range aperiod order, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Matematika. Phys. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 331–366 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_13 .
• Jarkko Kari. Malá aperiodická sada dlaždic Wang // Diskrétní matematika . - 1996. - T. 160 , čís. 1–3 . — S. 259–264 . - doi : 10.1016/0012-365X(95)00120-L .
• Chaim Goodman Strauss. Silně aperiodická sada dlaždic v hyperbolické rovině  // Inventiones Mathematicae . - 2005. - T. 159 , vydání. 1 . — S. 119–132 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
• Šahar Mojžíš. Aperiodické obklady  // Inventiones Mathematicae . - 1997. - T. 128 , no. 3 . — S. 603–611 . - doi : 10.1007/s002220050153 . - .
• Block J., Weinberger S. Aperiodické obklady, pozitivní skalární zakřivení a amenabilita prostorů // Journal of the AMS. - 1992. - V. 5 , čís. 4 . — S. 907–918 . - doi : 10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x .
• Joshua Socolar. Slabá pravidla párování pro kvazikrystaly  // Comm. Matematika. Phys.. - 1990. - Vol. 129 , No. 3 . — S. 599–619 . - doi : 10.1007/BF02097107 . - .
• Paul J. Steinhardt. Nové paradigma pro strukturu kvazikrystalů . Archivováno z originálu 23. února 2007.
• Edwards WS, Fauve S. Parametricky excitované kvazikrystalické povrchové vlny // Physical Review E. - 1993. - V. 47 , no. 2 . - C. R788 - R791 .
• Levy JC. S., Mercier D. Stabilní kvazikrystaly // Acta Phys. superficierum. - 2006. - T. 8 . - S. 115 .
• Joshua ES Socolar1, Joan M. Taylor2. Aperiodická hexagonální dlaždice  // Journal of Combinatorial Theory Series A. - 2010. - arXiv : 1003.4279v1 .

Odkazy

• Vrakoviště geometrie
• Aperiodické obklady