Hohmannova trajektorie

Hohmannovská dráha  je eliptická dráha v nebeské mechanice používaná k přechodu mezi dvěma jinými dráhami, obvykle ve stejné rovině. V nejjednodušším případě tyto dvě dráhy protíná v apocentru a pericentru [1] . Orbitální manévr pro přechod zahrnuje 2 impulsy motoru pro zrychlení - pro vstup do Hohmannovy trajektorie a pro její opuštění. Je pojmenována po německém vědci Walteru Gohmannovi , který ji popsal ve své knize v roce 1925 [2] . Hohmann byl velmi ovlivněn spisovatelem sci-fi Kurdem Lasswitzem s jeho knihou Na dvou planetách z roku 1897 . Stejnou trajektorii nezávisle navrhli sovětští vědciVladimir Vetchinkin a Friedrich Zander [3] .

Hohmannova dráha je teoreticky vypočítána pro dva impulsní (podmíněně okamžité) přírůstky rychlosti. Protože však doba chodu motoru potřebná k vytvoření příslušného přírůstku rychlosti je nenulová a puls musí být co nejkratší, jsou vyžadovány motory s vysokým tahem. Pokud je kosmická loď vybavena pouze motory s nízkým tahem, pak bude přechod po Hohmannově trajektorii vyžadovat několik startů motoru, což prudce sníží energetický zisk přechodu po takové trajektorii (požadovaný přírůstek rychlosti bude až 141 % dvouimpulzního manévru).

Pro Hohmannovu trajektorii je úhlová vzdálenost (úhel mezi paprsky nakreslenými z bodu O k počátečnímu a koncovému bodu trajektorie) 180 stupňů. Pokud je menší než 180 stupňů, trajektorie se nazývá trajektorie první půlotočky nebo typu 1 , a pokud je větší, trajektorie druhé půlotočky nebo typu 2 .

Hohmannovy oběžné dráhy jsou z hlediska nákladů na palivo nejekonomičtější dvoupulzní manévry, neposkytují však minimální dobu letu [4] . Při energeticky náročném hyperbolickém letu je možné méně času .

S určitými poměry parametrů mezi počáteční a konečnou dráhou ( hlavní poloosy se liší 12krát nebo vícekrát) existuje o něco úspornější (o zlomky procenta rozpočtu Δ v ), tříimpulsní oběžná dráha manévr , během kterého se postupně použijí dvě eliptické přenosové dráhy . Tento manévr je však mnohem delší a vyžaduje o dva řády více času k dosažení významných úspor než Hohmannova trajektorie (například několik tisíc let pro lety ze Země na vnější planety, ve srovnání s desítkami let pro Hohmannovu dráhu) . [5]

Výpočet

Výpočet požadovaných přírůstků rychlosti lze provést dvěma způsoby: zadáním poměru poloměrů konečné a počáteční dráhy nebo zadáním oběžných rychlostí počáteční a konečné dráhy. Druhý způsob je jednodušší, pokud jsou známy orbitální rychlosti oběžných drah.

Pokud je znám poměr poloměrů drah a oběžné rychlosti počáteční oběžné dráhy , pak se přírůstky rychlostí rovnají

Pokud jsou známy orbitální rychlosti počáteční a konečné oběžné dráhy, pak se přírůstky rychlosti vypočítají takto:

Výše uvedené závislosti platí pouze pro kruhové počáteční a konečné oběžné dráhy a platí jak při přechodu z nízké dráhy na vysokou, tak při přechodu z vysoké na nízkou. V druhém případě jsou přírůstky záporné, což znamená, že vozidlo musí být zpomaleno o získanou částku.

Celkový přírůstek potřebný k pohybu z oběžné dráhy na oběžnou dráhu lze znázornit jako

kde funkcí je koeficient celkového přírůstku, který závisí na poměru poloměrů oběžných drah. Jeho analýza odhaluje následující zajímavé věci. Za prvé, celkový přírůstek je vždy menší než rozdíl mezi oběžnými rychlostmi konečné a počáteční dráhy. V tomto případě se rozdíl v těchto hodnotách zvyšuje s růstem koeficientu . Za druhé, tato funkce má maximum při . Hodnota funkce v tomto bodě je . To znamená, že energeticky nejnáročnějším přechodem bude přechod z nízké oběžné dráhy na vysokou, jejíž výška je 15,582násobek nízké oběžné dráhy. Přechod na ještě vyšší oběžnou dráhu (stejně jako na nižší) bude méně nákladný. Při aspiraci na nekonečno, tedy když je druhá kosmická rychlost nastavena na daný bod, je hodnota funkce rovna . To je způsobeno tím, že první impuls sice monotónně narůstá na hodnotu s nárůstem výšky konečné oběžné dráhy, ale od určitého okamžiku začne požadovaná úroveň druhého impulsu klesat k nule , což zase je spojena s poklesem orbitální rychlosti na konečné oběžné dráze na nulu. Při pohybu z vysoké oběžné dráhy na nízkou není takový efekt pozorován. V tomto případě funkce monotónně klesá do nekonečna. Pokud však vezmeme nějaké dvě oběžné dráhy, jsou celkové přírůstky rychlosti stejné jak při zrychlení a přechodu z nízké dráhy na vysokou, tak při zpomalení a přechodu z vysoké dráhy na nízkou.

Poznámky

  1. ↑ L.V. Xanfomality. Cenný dar nebeské mechaniky . Vesmír a my. Získáno 11. srpna 2011. Archivováno z originálu dne 24. srpna 2012.
  2. ↑ Walter Hohmann. Die Erreichbarkeit der Himmelskörper  (německy) . - Verlag Oldenbourg v Mnichově, 1925. - ISBN 3-486-23106-5 .
  3. ↑ Salakhutdinov G. M. [epizodsspace.no-ip.org/bibl/znan/1987/03/3-tsander.html Friedrich Arturovich Zander (Ke 100. výročí narození)]. - M .: Poznání, 1987. - 64 s., ill. - (Novinka v životě, vědě, technice. Ser. "Kosmonautika, astronomie"; č. 3).
  4. ↑ Catherine A. Poston. Analýza účinnosti různých  metod přenosu na oběžné dráze . - 1992. - 4. prosince. — str. 6 .
  5. ↑ Zachary R. Grunder. Výzkumný projekt: Juno and Gravity Assists. Navrhované rozšíření (nedostupný odkaz) . ASEN 5050 - Dynamika kosmických letů . University of Colorado Boulder (12. srpna 2011). — "Na základě zjištění uvedených v tabulce 2 ["Přehled množství planetárních transferů"] se doporučuje provádět Hohmannovy transfery pro meziplanetární dopravu, aby byly zachovány přiměřené doby přesunu a zároveň absorbováno pouze okrajové zvýšení požadovaného delta-V.". Získáno 15. září 2014. Archivováno z originálu 15. prosince 2015. 
  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
 Orbity