Střídavé série

Střídavá řada je matematická řada, jejíž členové střídavě nabývají hodnot opačných znamének, tedy:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,b_{n} ,\;b_{n}>0

Leibnizův znak

Formulace

Leibnizův test je test konvergence střídavých řad, zavedený Gottfriedem Leibnizem . Prohlášení věty:

Nechť je dána střídavá řada

S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\ b_{n}\geq 0

pro které jsou splněny následující podmínky:

$b_{n}\geq b_{n+1}$ , počínaje nějakým číslem ( ), $n\geq N$
$\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=0.$

Pak tato řada konverguje.

Poznámky

Série, které splňují Leibnizův test, se nazývají Leibnizovy série . Takové řady mohou konvergovat absolutně (pokud řada konverguje ), nebo mohou konvergovat podmíněně (pokud řada modulů diverguje). ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n))$

Monotónní rozpad není pro konvergenci střídavé řady nutný (zatímco je nutnou podmínkou pro konvergenci jakékoli řady), takže samotné kritérium je pouze dostačující , ale není nutné (např. řada konverguje). Na druhé straně je monotónní rozpad nezbytný pro aplikaci Leibnizova testu; pokud chybí, může se řada rozcházet, i když je splněna druhá podmínka Leibnizova testu. Příklad divergentní střídavé řady s nemonotónním poklesem v členech [1] : $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n))))$

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}+\tečky +{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n}}+\tečky

Zdvojnásobené dílčí součty této řady se shodují s dílčími součty harmonické řady, a proto neomezeně rostou.

Důkaz

Uvažujme dvě posloupnosti částečných součtů řady a . ${\displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n))$ $L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1}$

První sekvence se nezmenšuje: podle první podmínky. $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$

Za stejné podmínky se druhá sekvence nezvyšuje: . $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0$

Druhá sekvence majorizuje první, tedy pro libovolné . Opravdu, ${\displaystyle L_{n}\geq R_{m))$ $m,n\in {\mathbb {N}}$

když máme:

m\geq n

L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,

když máme:

m\le n

L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.

Proto obě konvergují jako monotónní ohraničené sekvence.

Zbývá poznamenat, že: , takže konvergují ke společné limitě , která je součtem původní řady. $\lim _{{m,n}}|R_{n}-L_{{m}}|=0$ $S$

Po cestě jsme ukázali, že pro jakýkoli dílčí součet řady platí odhad . $S_{n}$ $|S-S_{n}|<b_{{n+1}}$

Příklad

$\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}{\frac {1}{n}}\;$ . Řada modulů má tvar - jedná se o harmonickou řadu , která se rozchází. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

Nyní použijeme Leibnizův test:

prokládání hotovo
${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n)),\;\forall \;n$
$\lim _{{n\to \infty }}\,{\frac {1}{n}}=0$ .

Proto, protože jsou splněny všechny podmínky, řada konverguje (a podmíněně, protože řada modulů diverguje).

Odhad pro zbytek Leibnizovy série

Z Leibnizovy věty vyplývá důsledek, který umožňuje odhadnout chybu při výpočtu neúplného součtu řady ( zbytek řady ):

S_{n}=\součet _{{i=1}}^{n}(-1)^{i}b_{i}.

Zbytek konvergentní střídavé řady bude modulo menší než první vyřazený člen: ${\displaystyle R_{n}=S-S_{n))$

\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.

důkaz [2]

Sekvence je monotónně rostoucí, protože výraz a je nezáporný pro jakékoli celé číslo Sekvence je monotónně klesající, protože výraz v závorkách je nezáporný. Jak již bylo prokázáno v důkazu Leibnizovy věty samotné, obě tyto posloupnosti — a — mají stejnou limitu jako získalo So a také Proto a So, pro jakékoli , co bylo požadováno dokázat. $S_{{2k}}$ $S_{{2k}}=\sum \limits _{{i=2}}^{{i=n}}{\left({b_{{2i-1}}-b_{{2i}}}\right )},$ $b_{{2i-1}}-b_{{2i}}$ $i.$ $S_{{2k-1}}$ $S_{{2k+1}}=S_{{2k-1}}-\left({b_{{2k}}-b_{{2k+1}}}\right),$ $S_{{2k}}$ $S_{{2k-1}}$ $k\to +\infty .$ $S_{{2k}}\leqslant s\leqslant S_{{2k-1}}$ $s\leqslant S_{{2k+1}}.$ $0\leqslant s-S_{{2k}}\leqslant S_{{2k+1}}-S_{{2k}}=b_{{2k+1}}$ $0\leqslant S_{{2k-1}}-s\leqslant S_{{2k-1}}-S_{{2k}}=b_{{2k}}.$ $k$ $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{{k+1}},$

Střídavé řady

Střídavé řady se také někdy nazývají střídavé [3] , ale tímto pojmem může být myšlena i jakákoli řada, která má nekonečný počet kladných i záporných členů zároveň.

Viz také

Dirichletův test je zobecněním Leibnizova testu

Literatura

Bronshtein IN , Semendyaev KA Příručka matematiky . - Ed. 7., stereotypní. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1967. - S. 296.
Vorobyov N. N. Teorie řad. - 4. vyd. — M .: Nauka, 1979. — 408 s. - (Vybrané kapitoly vyšší matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol).
Ivanov G. E. Kapitola 9. Číselné řady. §3. Řada s alternujícími členy // Přednášky o matematické analýze. - M. : MIPT, 2000. - T. 1. - S. 299-303. — 359 s. - 800 výtisků. — ISBN 5-7417-0147-7 .

Poznámky

↑ Vorobjov, 1979 , s. 84-85.
↑ Beklemishev D.V. Kurz analytické geometrie a lineární algebry: Proc. pro univerzity. - 10. vydání, Rev. — M. : FIZMATLIT, 2005.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu díl 2 s. 302

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče