Izogonální partner

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. června 2018; kontroly vyžadují 13 úprav .

Izogonální konjugace je geometrická transformace získaná odrazem čar spojujících počáteční body s vrcholy daného trojúhelníku , vzhledem k osám úhlů trojúhelníku.

Definice

Body a se nazývají izogonálně konjugované (zastaralé názvy jsou izogonální, inverzní [1] ) v trojúhelníku if , , . Správnost této definice lze dokázat pomocí Cevovy věty v sinusovém tvaru, existuje i čistě geometrický důkaz správnosti této definice. Izogonální konjugace je transformace, která spojuje bod s jeho isogonální konjugací. V celé rovině, s výjimkou čar obsahujících strany trojúhelníku, je izogonální konjugace zobrazením jedna ku jedné . $P$ $P^*$ $\trojúhelník ABC$ $\angle ABP = \angle CBP^*$ $\angle BAP = \angle CAP^*$ $\angle BCP = \angle ACP^*$

Vlastnosti

Izogonální konjugace ponechává na místě pouze středy vepsaných a excircles .
Bod izogonálně konjugovaný s bodem na kružnici opsané je v nekonečnu . Směr daný tímto bodem je kolmý na Simsonovu čáru původního bodu.
Pokud jsou body , , symetrické k bodu vzhledem ke stranám trojúhelníku, pak střed opsané kružnice trojúhelníku je izogonálně konjugován s bodem . $P_a$ $P_b$ $P_c$ $P$ $P_aP_bP_c$ $P$
Jestliže je elipsa vepsána do trojúhelníku , pak jsou její ohniska izogonálně sdružená .

Průměty dvou izogonálně sdružených bodů na stranách leží na stejné kružnici (platí to i obráceně) [2] . Střed tohoto kruhu je středem segmentu mezi sdruženými body. Zvláštním případem je kruh o devíti bodech .
To druhé znamená, že subdermální kruhy dvou izogonálně konjugovaných bodů se shodují. Zejména podkruhem ortocentra a středem opsané kružnice je Eulerův kruh . Poder nebo pedálový kruh je opsaný kruh subdermálního trojúhelníku .
Dva body trojúhelníku jsou izogonálně sdružené právě tehdy, když jsou součiny jejich tří vzdáleností ke třem stranám trojúhelníku stejné [2] .

Páry izogonálně konjugovaných čar

Obraz přímky v izogonální konjugaci je kuželosečka opsaná kolem trojúhelníku. Zejména přímka v nekonečnu a kružnice opsané , Eulerova čára a Enzhabekova hyperbola , Brocardova osa a Kiepertova hyperbola , přímka středů kružnic vepsaných a opsaných a Feuerbachova hyperbola jsou izogonálně konjugované .
Jestliže je kuželosečka izogonálně konjugovaná k přímce , pak trilineární poláry všech bodů na projdou bodem izogonálně sdruženým k trilineárnímu pólu . $\alpha$ $l$ $\alpha$ $l$
Některé známé krychle , jako je Thompsonova krychle, Darbouxova krychle, Neubergova krychle, jsou izogonálně samoadjungované v tom smyslu, že pokud jsou všechny jejich body v trojúhelníku izogonálně konjugované, získáme opět krychle.

Dvojice izogonálně konjugovaných bodů

Střed opsané kružnice a ortocentrum (viz obrázek).
Průsečík mediánů a Lemoinův bod (průsečík simediánů).
Gergonnův bod a střed negativní homothety vepsané a opsané kružnice.
Nagelův bod a střed kladné homotety kružnice a kružnice opsané ( Verrierův bod ).
Dva body Brocard
Apolloniův bod a Torricelliho bod .
Střed vepsané kružnice ( incenter ) je izogonálně konjugován sám se sebou.

Souřadnicový zápis

V barycentrických souřadnicích je izogonální konjugace zapsána jako:

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac { c^{2}}{z}}\right)

kde , , jsou délky stran trojúhelníku. V trilineárních souřadnicích má jeho zápis tvar: $A$ $b$ $C$

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right )

proto jsou vhodné při práci s izogonálními vazbami. V jiných souřadnicích je izogonální konjugace těžkopádnější.

Variace a zobecnění

Podobně lze definovat izogonální konjugaci s ohledem na mnohoúhelník. Ohniska elips vepsaných do mnohoúhelníku budou také izogonálně konjugovaná. Izogonálně sdružený bod však nebude definován pro všechny body: například ve čtyřúhelníku je místem bodů, pro které je definována izogonální konjugace, nějaká křivka třetího řádu; pro pětiúhelník bude existovat pouze jeden pár izogonálně sdružených bodů (ohniska jediné elipsy do něj vepsané) a v mnohoúhelnících s velkým počtem vrcholů v obecném případě nebudou žádné izogonálně sdružené body.

Izogonální konjugaci můžete definovat i v čtyřstěnu , v trilineárních souřadnicích se bude zapisovat podobně jako plochá izogonální konjugace [3] .

S izogonální konjugací úzce souvisí antigonální konjugace , zmíněná v článku Ponceletův teorém .

Důsledky

Pascalův teorém lze odvodit z izogonální konjugace .

Poznámky

↑ D. Efremov. Nová trojúhelníková geometrie. Oděsa, 1902
↑ 1 2 Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vydání .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 97, s. 80.
↑ Izogonální konjugace v čtyřstěnu a jeho plochách (nepřístupný odkaz)