Vepsané a opsané číslice pro trojúhelník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. června 2022; kontroly vyžadují 10 úprav .

Důležitou součástí geometrie trojúhelníku je teorie obrazců a křivek vepsaných do trojúhelníku nebo kolem něj popsaných - kružnice , elipsy a další.

Vepsané a opsané kružnice trojúhelníku

Kružnice procházející vrcholy trojúhelníku

Kružnice opsaná (viz obrázek vlevo) je kružnice procházející všemi třemi vrcholy trojúhelníku. Kruh opsaný je vždy jedinečný, pokud trojúhelník není degenerován zvláštním způsobem, to znamená, že dva z jeho tří vrcholů se neshodují.

Johnsonova kružnice - kterákoli ze tří kružnic (viz obrázek vpravo) procházející dvěma vrcholy trojúhelníku a jeho ortocentrem . Poloměry všech tří Johnsonových kružnic jsou stejné. Johnsonovy kruhy jsou opsané kružnice hamiltonovských trojúhelníků , které mají dva vrcholy daného ostroúhlého trojúhelníku jako dva vrcholy a jeho orthocenter jako třetí vrchol .

Kruhy dotýkající se stran trojúhelníku nebo jejich prodloužení

Vepsaná kružnice (viz obrázek vpravo) je kružnice tečnou ke všem třem stranám trojúhelníku. Ona je jediná. Střed vepsané kružnice se nazývá střed .
- Úsečky spojující tečné body vepsané kružnice s vrcholy se protínají v jednom bodě, který se nazývá Gergonnův bod . Gergonnův bod je izotomicky konjugován s Nagelovým bodem (viz níže).
Kružnice (viz obrázek vpravo) je kružnice tečnou k jedné straně trojúhelníku a prodloužení ostatních dvou stran. V trojúhelníku jsou tři takové kruhy. Jejich radikální střed je středem vepsaného kruhu středního trojúhelníku , nazývaného Spiekerův střed nebo Spiekerův bod .
- Úsečky spojující vrcholy s tečnými body kružnic s vrcholy se protínají v jednom bodě, který se nazývá Nagelův bod .

Tři kruhy Malfattiho trojúhelníku (viz obrázek vpravo). Každý z nich se dotýká dvou stran trojúhelníku a dvou dalších Malfattiho kruhů .
- Pokud nakreslíte tři rovné čáry spojující střed každého Malfattiho kruhu s bodem kontaktu mezi dalšími dvěma, pak se protnou v jednom bodě - v bodě Ajima-Malfatti (Ajima-Malfatti) [1] .

Tři polovepsané kruhy nebo Verrierovy kruhy (viz obrázek vlevo). Každý z nich se vnitřně dotýká dvou stran trojúhelníku a kružnice opsané .
- Úsečky spojující vrcholy trojúhelníku a odpovídající body tečnosti
Verrierových kružnic s kružnicí opsané se protínají v jednom bodě, který se nazývá Verrierův bod . Slouží jako střed homotety G , která mapuje opsaný kruh na kružnici (viz šedý obrázek níže).

Verrierovo lemma [2] . Tečné body Verrierových kružnic (půlkruhů) se stranami leží na přímce, která prochází středem vepsané kružnice ( incenter ) (viz šedý obrázek níže).

Poloměry kružnic vepsaných a opsaných

Následující vzorce zahrnují poloměry opsaných R a vepsaných r kružnic:

R={\frac {abc}{{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))))={\frac {abc }{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))))

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))}={\sqrt { \frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}},

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c} }}

kde je půlobvod trojúhelníku, h a atd., výšky nakreslené k odpovídajícím stranám; [3] :str.70 $p$

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[čtyři]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

Součin dvou stran trojúhelníku se rovná součinu výšky krát třetí strana násobené průměrem kružnice opsané. [3] :str.64 :

ab=h_{c}(2R)

Pokud medián m , výška h a vnitřní os t vycházejí ze stejného vrcholu trojúhelníku, kolem kterého je opsána kružnice o poloměru R , pak [3] :str.122,#96

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

Kruhy, které se vzájemně dotýkají uvnitř trojúhelníku

Tři Malfattiho kruhy se uvnitř trojúhelníku ve dvojicích dotýkají. (viz výše)
Devítibodová kružnice nebo Eulerova kružnice je tečnou k kružnici uvnitř trojúhelníku v bodě Feuerbach .

Kruhy, které jsou vzájemně tečné mimo trojúhelník

Tři Verrierovy kružnice jsou tečné k opsané kružnici vně trojúhelníku.
Devítibodová kružnice neboli Eulerova kružnice je vnější cestoutečnou ke třem kružnicím mimo trojúhelník ( Feuerbachova věta , viz obrázek).

Apolloniův kruh se vnitřně dotýká tří kružnic vně trojúhelníku (viz obrázek)

Tři Johnsonovy kružnice (viz výše) jsou externě tečné k antikomplementární kružnici (červená na obrázku vpravo nahoře, poloměr 2r) trojúhelníku ΔABC. Středy Johnsonových kružnic leží na úsecích (oranžových) spojujících společný průsečík výšek H a body dotyku těchto tří kružnic s antikomplementární kružnicí. . Tyto dotykové body tvoří antikomplementární nebo (což je totéž) antikomplementární trojúhelník (zelený na obrázku výše). $\trojúhelník P_{A}P_{B}P_{C}$

Jiné kruhy

Středy opsaných kružnic šesti trojúhelníků, na které je trojúhelník rozdělen střednicemi, leží na jedné kružnici, která se nazývá Lamunova kružnice .

Pokud z každého vrcholu rozložíme trojúhelníky na přímky obsahující strany, úsečky stejně dlouhé jako protilehlé strany, pak výsledných šest bodů leží na jedné kružnici - Conwayově kružnici .

Kružnice protínající strany trojúhelníku

Kružnice devíti bodů je kružnice procházející středy všech tří stran trojúhelníku a třemi základnami jeho výšek.
Taylorův kruh je kruh, který prochází šesti body ve formě šesti průmětů tří základen výšek trojúhelníku, protínajících každou stranu, na dvě zbývající strany.

Definice perspektivy kuželosečky

Do trojúhelníku lze vepsat nekonečně mnoho kuželoseček ( elipsy , paraboly nebo hyperboly ).
Jestliže je libovolná kuželosečka vepsána do trojúhelníku a body kontaktu jsou spojeny s opačnými vrcholy, pak se výsledné čáry protnou v jednom bodě, který se nazývá perspektiva kuželosečky .
Pro každý bod roviny, který neleží na straně nebo na jejím prodloužení, existuje v tomto bodě vepsaná kuželosečka s perspektivou [5] .

Elipsy trojúhelníku

Definice vepsané Steinerovy elipsy

Do trojúhelníku lze vepsat nekonečné množství elips . Kromě toho jsou ohniska každé z vepsaných elips izogonálně konjugovaná.
Jedna elipsa může být vepsána do trojúhelníku, který se dotýká stran v jejich středech. Taková elipsa se nazývá vepsaná Steinerova elipsa (její perspektivou bude těžiště trojúhelníku) [6] .
"Určení perspektivy kuželosečky " (včetně kuželosečky-elipsy) viz výše.

Definice opsané Steinerovy elipsy

Kolem trojúhelníku lze opsat nekonečné množství elips .
V blízkosti trojúhelníku lze popsat jednu elipsu , která je tečnou k přímkám procházejícím vrcholy a rovnoběžná se stranami. Taková elipsa se nazývá opsaná Steinerova elipsa .
Ohniska popisované Steinerovy elipsy se nazývají Skutinovy body .
Ceviany tažené ohniskem opsané Steinerovy elipsy ( Skutinovy body ) jsou stejné ( Skutinův teorém )

Afinní transformace Steinerovy elipsy

Pokud afinní transformací („zešikmením“) převedeme libovolný zmenšený trojúhelník na pravidelný trojúhelník , pak jeho vepsané a opsané Steinerovy elipsy přejdou do kružnice vepsané a opsané [7] .

Brocardova elipsa

Elipsa s ohnisky v Brocardových bodech se nazývá Brocardova elipsa . Jeho perspektivou je bod Lemoine [8] .

Ellipse Mandart (Mandart inellipse)

Elipsa Mandart (nebo Mandara) trojúhelníku ABC - elipsa vepsaná do trojúhelníku, dotýkající se jeho stran v bodech dotyku s(ve vrcholech Nagelova trojúhelníku ) (viz obrázek vpravo).
Kruh popsaný kolem Nagelova trojúhelníku T A T B T C se nazývá Mandartova kružnice (zvláštní případ Mandartovy elipsy ).

Johnsonova elipsa

Šest bodů - vrcholy referenčního trojúhelníku a vrcholy jeho Johnsonova trojúhelníku - leží na Johnsonově elipse (obr. vlevo), která má střed ve středu devíti bodů a bod X (216) referenčního trojúhelníku. trojúhelník je jeho perspektivní bod . Opsaná elipsa a kružnice opsané mají čtyři společné body - tři vrcholy referenčního trojúhelníku a bod X (110).

Vztah pro libovolnou elipsu vepsanou do trojúhelníku

Je-li libovolná elipsa vepsána do trojúhelníku ABC a má ohniska P a Q , pak pro ni platí vztah [9] :

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}({\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB }}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac ({\overline {PC}}\cdot {\overline {QC }} ))}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Paraboly vepsané do trojúhelníku

Do trojúhelníku lze vepsat nekonečné množství parabol .

Perspektivy parabol vepsaných do trojúhelníku leží na popsané Steinerově elipse (viz výše) [10] . Ohnisko vepsané paraboly leží na opsané kružnici a přímka prochází ortocentrem [11] .

Kiepertova parabola

Parabola vepsaná do trojúhelníku se směrnicí Eulerovy přímky se nazývá Kiepertova parabola . Jeho perspektiva je čtvrtým průsečíkem kružnice opsané a opsané Steinerovy elipsy , nazývané Steinerův bod .

Hyperboly opsané kolem trojúhelníku

V blízkosti trojúhelníku lze popsat nekonečně mnoho hyperbol .
Pokud hyperbola popsaná v blízkosti trojúhelníku prochází průsečíkem výšek, pak je rovnostranná (to znamená, že její asymptoty jsou kolmé) [12] . Průsečík asymptot rovnostranné hyperboly leží na kružnici devíti bodů [12] .

Cypertova hyperbola

Kiepertova hyperbola je ohraničená hyperbola procházející těžištěm a ortocentrem . Pokud postavíte podobné rovnoramenné trojúhelníky na stranách trojúhelníku (směrem ven nebo dovnitř) a poté spojíte jejich vrcholy s opačnými vrcholy původního trojúhelníku, pak se tři takové čáry protnou v jednom bodě ležícím na Kiepertově hyperbole . Konkrétně na této hyperbole leží Torricelliho body a Napoleonovy body (Cevian průsečíky spojující vrcholy se středy pravidelných trojúhelníků postavených na opačných stranách) [13] .

Enzhabekova hyperbola

Enzhabekova hyperbola je ohraničená hyperbola procházející orthocentrem a Lemoinovým bodem . Na ní leží střed opsané kružnice .

Feuerbachova hyperbola a Feuerbachův bod

Feuerbachova hyperbola je opsaná hyperbola procházející orthocentrem a středem vepsané kružnice . Jeho centrum leží na výběžku Feuerbach . Poder a cevian kruhy bodů na Feuerbach hyperbola procházejí Feuerbachovým bodem .
Feuerbachovým bodem prochází zejména kružnice , vedená přes základny úseček . [čtrnáct]

Kuželosečka devíti bodů

Kuželosečka devíti bodů úplného čtyřúhelníku je kuželosečka procházející třemi diagonálními body a šesti středními body stran úplného čtyřúhelníku. Na Obr. Bocherova kuželosečka pro čtyři body úplného čtyřúhelníku je znázorněna jako tři vrcholy trojúhelníku a jeden nezávislý bod:

Nechť je dán trojúhelník ABC a bod P v rovině. Kuželosečku lze nakreslit pomocí následujících devíti bodů: středy stran trojúhelníku ABC , středy segmentů spojujících P s vrcholy trojúhelníku, body, kde tyto přímky procházející P a vrcholy trojúhelníku protínají strany trojúhelníku.

Slavný devítibodový kruh je příkladem Bocherovy kuželosečky .

Kostky

Katalog trojúhelníkových krychlí) je online zdroj obsahující podrobné informace o více než 1200 kubických křivkách v rovině referenčního trojúhelníku. Zdroj spravuje Bernard Gilbert. Každé kostce ve zdroji je přiřazeno jedinečné identifikační číslo ve tvaru "Knnn", kde "nnn" znamená tři číslice. Identifikační číslo prvního záznamu v adresáři je "K001", což je Neubergova krychle referenčního trojúhelníku ABC. Katalog obsahuje mimo jiné následující informace o každé z níže uvedených kostek:
Rovnice barycentrické křivky
Seznam středů trojúhelníků, které leží na křivce
Singulární body na křivce, které nejsou středy trojúhelníků
Geometrické vlastnosti křivky
Vlastnosti místa křivky
Další vlastnosti speciální křivky
Další křivky související s kubickou křivkou
Spousta úhledných a úhledných figurek znázorňujících různé vlastnosti
Curve Literature References

Krychle ( kubická křivka ) je křivka třetího řádu (daná rovnicí třetího stupně). Mnoho z nádherných krychlí spojených s trojúhelníkem je zkonstruováno následujícím způsobem: bod v rovině (možná v nekonečnu) je pevný. Pak množina bodů taková, že přímka prochází tímto bodem, je krychle opsaná kolem trojúhelníku (zde bod izogonálně konjugovaný s ). Takové krychle také procházejí středy vepsaných a kružnic, stejně jako samotným pevným bodem a jeho izogonální konjugací [15] . $X$ $XX'$ $X'$ $X$

Darbouxova kostka se získá upevněním bodu symetrického k ortocentru vzhledem ke středu opsané kružnice. Prochází body: incenter , orthocenter , střed opsané kružnice, Longchampsův bod X(20), další body, a také vrcholy A, B, C, středy kružnic, přes antipody vrcholů A, B, C na kružnici opsané. Prochází ortocentrem a středem kružnice opsané. V seznamu je krychle v rovině Gibertova trojúhelníku (Bernard Gibert) Darbouxovy krychle uvedena jako K004 [16] .
Lukova kostka . Prochází body: těžiště , ortocentrum , Gergonnův bod , Nagelův bod , Longchampův bod , vrcholy antikomplementárního trojúhelníku a ohnisky popisované Steinerovy elipsy a další. V seznamu je krychle na rovině trojúhelníku Lucasovy krychle uvedena jako K007 [17] .
McKayova krychle získáme, vezmeme-li střed opsané kružnice jako pevný bod. Prochází také ortocentrem a středem kružnice opsané.
Kostka Napoleona-Feuerbacha . Prochází body: střed , ortocentrum , střed opsané kružnice, Gergonnův bod , Nagelův bod , Longchampův bod , první a druhý Napoleonův bod , další body, jakož i vrcholy A, B, C, jakož i přes středy kružnic, průměty těžišť do výšek, středy šesti rovnostranných trojúhelníků postavených na stranách trojúhelníku ABC (vně nebo uvnitř). V seznamu je krychle na rovině trojúhelníku Napoleon-Feuerbachovy kostky uvedena jako K005 [18] .
Neubergova krychle je množina bodů taková, že je Eulerova přímka (její bod v nekonečnu je pevný). Na této krychli je více než 15 pozoruhodných bodů, zejména body Torricelliho, Apollonia, ortocentrum, střed opsané kružnice, vrcholy pravidelných trojúhelníků postavené na stranách (vně nebo uvnitř), body symetrické k vrcholy vzhledem ke stranám, dva Fermatovy body , dva izodynamické body , Eulerův bod nekonečna, stejně jako středy vepsaných a kružnic ležících na všech krychlích. V seznamu je krychle na rovině trojúhelníku Neubergovy krychle uvedena jako K001 [19] . $X$ $XX'\paralelní OH$
Thomsonova kostka se získá výběrem těžiště jako pevného bodu. Thomsonova kostka prochází těžištěm, Lemoinovým bodem, ortocentrem, středem opsané kružnice, středy stran a středy výšek vrcholů A, B, C středy kružnic. V seznamu je krychle na rovině trojúhelníku Thomsonovy krychle uvedena jako K002 [20] .
První Brocardova kostka . Prochází body: těžiště , Lemoinův bod , Steinerův bod X(99), dva izodynamické body , Parryho bod a další a také vrcholy 1. a 3. Brocardova trojúhelníku. V seznamu krychlí na rovině trojúhelníku je první Brocardova krychle uvedena jako K017 [21] .
Druhá Brocardova kostka . Prochází body: těžiště , Lemoinův bod , dva Fermatovy body , dva izodynamické body , Parryho bod a další, stejně jako vrcholy 2. a 4. Brocardova trojúhelníku. V seznamu krychlí na rovině trojúhelníku je druhá Brocardova kostka uvedena jako K018 [22] .
První krychle se stejnými plochami (1. krychle se stejnými plochami) . Prochází body: střed , Steinerův bod X(99), první a druhý Brocardův bod , středy kružnic trojúhelníku. V seznamu krychlí v rovině trojúhelníku je první krychle stejných ploch uvedena jako K021 [23] .
Druhá krychle o stejných plochách (2. krychle o stejných plochách) . Prochází body: incenter , other points a také přes následující body v notaci Clark Kimberling Encyclopedia of Triangle Centers : X(31), X(105), X(238), X(292), X(365) X(672), X(1453), X(1931), X(2053) a další. V seznamu krychle v rovině trojúhelníku je druhá krychle o stejné ploše uvedena jako K155 [24] .
V literatuře jsou popsány dvě zajímavé kubické křivky , procházející vrcholy podpůrného trojúhelníku a jeho Johnsonova trojúhelníku a také středem kružnice opsané , ortocentrem a středem devíti kružnic :
- První křivka je známá jako Musselmannova křivka - K026 . Tato křivka také prochází vrcholy středního trojúhelníku a středního trojúhelníku Johnsonova trojúhelníku .
- Druhá křivka je známá jako Eulerova středová křivka - K044 . Tato křivka také prochází šesti body - základnami výšek a základnami výšek Johnsonova trojúhelníku .

Mnohoúhelníky vepsané do daného trojúhelníku

Trojúhelníky vepsané do daného trojúhelníku

Trojúhelník s vrcholy na základnách tří cevian protažených daným bodem se nazývá cevian trojúhelník tohoto bodu.
Trojúhelník s vrcholy v průmětech daného bodu na strany se nazývá subdermální nebo pedálový trojúhelník tohoto bodu.
Trojúhelník s vrcholy na druhém průsečíku čar procházejících vrcholy a daným bodem s kružnicí opsanou se nazývá obvodový-cevický trojúhelník . Věta : obvodový-cevický trojúhelník je podobný subdermálnímu [25] .
Trojúhelník základen mediánů A′B′C′ daného trojúhelníku ABC , tedy trojúhelníku, jehož vrcholy jsou středy stran trojúhelníku ABC , se pro tento trojúhelník nazývá další , neboli střed .
Ortotrojúhelník je trojúhelník, jehož vrcholy jsou na základnách výšek trojúhelníku. Strany ortotrojúhelníku jsou antiparalelní s odpovídajícími stranami daného trojúhelníku.
Dotyčný trojúhelník v kružnici pro trojúhelník ABC (někdy nazývaný Nagelův trojúhelník ) je definován vrcholy T A , T B a T C , což jsou tečné body kružnic s odpovídajícími stranami trojúhelníku ABC . Například bod TA je opačný ke straně A atd .
Gergonnův trojúhelník pro trojúhelník ABC je definován vrcholy T A , T B a T C , což jsou tečné body kružnice vepsané s odpovídajícími stranami trojúhelníku ABC . Gergonnův trojúhelník T A T B T C je také známý jako tečný trojúhelník trojúhelníku ABC .
V libovolném trojúhelníku ABC lze vepsat 2 trojúhelníky se 3 stranami rovnoběžnými se 3 osami trojúhelníku ABC. Tyto trojúhelníky mají společnou kružnici typu Eulerova kružnice, to znamená, že 6 jejich vrcholů leží na 1 kružnici. [26]

Trojúhelníky opsané kolem daného referenčního trojúhelníku

Trojúhelník A″B″C″ , jehož strany procházejí vrcholy trojúhelníku ABC a jsou rovnoběžné s jeho protilehlými stranami, se pro daný trojúhelník ABC nazývá antikomplementární .
Popíšeme-li kružnici kolem daného ostroúhlého trojúhelníku ∆ ABC a nakreslíme přímky tečné ke kružnici ve třech vrcholech trojúhelníku, pak průsečík těchto přímek tvoří tzv. tangenciální trojúhelník Δ A′B′C′ vzhledem k danému trojúhelníku Δ ABC . Strany tečného trojúhelníku Δ A′B′C′ jsou antiparalelní s odpovídajícími protilehlými stranami daného trojúhelníku a rovnoběžné s odpovídajícími stranami ortotrojúhelníku .
Jestliže vně daného trojúhelníku ∆ ABC jsou tři jeho vnější osy protaženy jeho vrcholy, pak se protnou ve třech středech exkruhů a vytvoří trojúhelník o třech vnějších osách .

Další trojúhelníky v daném referenčním trojúhelníku

Tři úsečky spojující ortocentrum s vrcholy ostrého trojúhelníku jej rozdělují na tři Hamiltonovy trojúhelníky se stejnými poloměry opsaných kružnic.
Eulerův trojúhelník nebo Feuerbachův trojúhelník je trojúhelník, jehož vrcholy jsou středy tří segmentů spojujících ortocentrum a jeho vrcholy.

Čtverce vepsané do daného referenčního trojúhelníku

Každý ostroúhlý trojúhelník má tři vepsané čtverce (čtverce jsou do něj vepsány tak, že všechny čtyři vrcholy čtverce leží na různých stranách trojúhelníku, takže dva z nich leží na stejné straně a tedy jeden strana čtverce se shoduje s částí jednoho trojúhelníku a zbývající dva vrcholy čtverce se dotýkají dvou zbývajících stran referenčního trojúhelníku). V pravoúhlém trojúhelníku se dva z těchto čtverců shodují a mají dvě strany vycházející z vrcholu s pravým úhlem trojúhelníku a čtvrtý vrchol dvou takových shodných čtverců leží ve středu přepony. Jiný typ čtverce vepsaného do pravoúhlého trojúhelníku má jednu stranu a dva jeho vrcholy ležící na přeponě a dva zbývající vrcholy čtverce leží na různých nohách pravoúhlého trojúhelníku. Pravoúhlý trojúhelník má tedy pouze dva různé typy vepsaných čtverců. Tupý trojúhelník má pouze jeden vepsaný čtverec, jehož strana se shoduje s částí nejdelší strany trojúhelníku. V rámci daného trojúhelníku obsahuje nejdelší strana trojúhelníku celou jednu ze stran vepsaného čtverce. Pokud má vepsaný čtverec délku strany rovnou q a a jedna z jeho stran leží celá na straně trojúhelníku délky a ; výška klesla na tuto stranu je h a a plocha trojúhelníku je S , pak podle [27] [28]

q_{a}={\frac {2Sa}{a^{2}+2S}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.

Šestiúhelníky vepsané do daného referenčního trojúhelníku

První (druhý) Lemoine Hexagon je šestiúhelník, kolem kterého lze opsat kruh. Jeho vrcholy jsou šesti průsečíky stran trojúhelníku se třemi přímkami, které jsou rovnoběžné (respektive: antiparalelní) se stranami a které procházejí jeho Lemoinovým bodem. V každém trojúhelníku je první (druhý) Lemoinův šestiúhelník uvnitř trojúhelníku se třemi páry vrcholů ležících ve dvojicích na každé straně trojúhelníku.
Eulerův šestiúhelník je šestiúhelník, kolem kterého lze opsat kružnici ( Eulerův kruh ). Jeho vrcholy jsou šest bodů: tři základny mediánů a tři základny výšek tohoto referenčního trojúhelníku.

Viz také

Zakroužkujte
Neopsaný čtyřúhelník
Vepsaný kruh
Vepsaná kuželosečka
Vepsaná koule je zobecněním vepsané kružnice.
Výška trojúhelníku
Glosář planimetrie
Úžasné rovné trojúhelníky
Pozoruhodné body trojúhelníku
Střed nebo Střed vepsané kružnice
Kruh
Opsaná kružnice
Opsaný čtyřúhelník
Ortocentrum
Stupeň bodu vzhledem ke kružnici
Mansionova věta
teorém trojzubec
Teboova věta 2 a 3
Harcourtova věta
Apollonius ukazuje
Centroid
Střed trojúhelníku
Ellipse Mandart
Elipsa Steinerová

Poznámky

↑ Bod Ajima-Malfatti . Získáno 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 5. 8. 2015. (neurčitý)
↑ Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku . - Oděsa, 1902. - S. 130. - 334 s.
↑ 1 2 3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Longuet-Higgins, Michael S., „O poměru inradiusu k cirkumradiusu trojúhelníku“, Mathematical Gazette 87, březen 2003, 119-120.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové. - 2011. - S. 108.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, Doplňkové. - 2011. - S. 54.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, Doplňkové. - 2011. - S. 55.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vyd., příloha .. - 2011. - S. 50.
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; a Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century elipse identity", Mathematical Gazette 96, březen 2012, 161-165.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové. - 2011. - S. 110.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové - 2011. - S. 27-28.
↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vyd., doplněno .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 s. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, Doplňkové - 2011. - S. 125-126.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové. - 2011. - S. 105.
↑ Prasolov V.V. Úkoly z planimetrie. — M .: MTsNMO , 2004.
↑ K004 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
↑ K007 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 18. 9. 2008. (neurčitý)
↑ K005 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 1. 6. 2010. (neurčitý)
↑ K001 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // (odkaz není k dispozici) . Získáno 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 8. 2009. (neurčitý)
↑ K002 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Získáno 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 22. 10. 2009. (neurčitý)
↑ K017 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
↑ K018 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
↑ K021 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
↑ K155 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
↑ Systém úloh v geometrii od R. K. Gordina. Úkol 6480 . Získáno 23. 5. 2016. Archivováno z originálu 4. 3. 2016. (neurčitý)
↑ Dmitrij Efremov . Nová geometrie trojúhelníku archivována 25. února 2020 na Wayback Machine . - Oděsa, 1902. - S. 26. Kapitola I. Cvičení. str. 33
↑ Bailey, Herbert a DeTemple, Duane, „Čtverce vepsané do úhlů a trojúhelníků“, Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
↑ Victor Oxman a Moshe Stupel, „Proč jsou délky stran čtverců vepsány do trojúhelníku tak blízko u sebe?“, Forum Geometricorum 13 (2013) 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html Archivováno 9. prosince 2017 na Wayback Machine

Literatura

Hadamard J. Elementární geometrie. Část 1: Planimetrie. Ed. 4., Moskva: Uchpedgiz, 1957. 608 s.
Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. — M .: Nauka, 1978.
- Reedice: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku . - Oděsa, 1902. - 334 s.
Efremov D. D. Nová geometrie trojúhelníku. Ed. 2. Edice: Fyzikální a matematické dědictví (reprint reprodukce edice). . - Moskva: Lenand, 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).
Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.
Myakishev A.G. Prvky geometrie trojúhelníku . — M. : MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní