Kurzweil-Henstockův integrál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. června 2014; kontroly vyžadují 15 úprav .

Kurzweil-Henstockův integrál, zobecnění Riemannova integrálu , vám umožňuje zcela vyřešit problém obnovení derivovatelné funkce z její derivace . Ani Riemannův integrál (včetně nevlastního ) ani Lebesgueův integrál nedávají řešení tohoto problému v obecném případě.

Historie

První definici integrálu, která umožňuje řešit problém v obecném případě, podal Arnaud Denjoy v roce 1912. Pokusil se definovat integrál, který by umožnil integrovat například derivaci funkce definované nulou v nule. Funkce je definovaná a konečná ve všech bodech, ale ne Lebesgueova integrovatelná v okolí nuly. Ve snaze vytvořit obecnou teorii použil Denjoy transfinitní indukci na možných typech singularit, což zkomplikovalo definici. O něco později Nikolai Luzin Denjoyovu definici zjednodušil, ale i po zjednodušení zůstala tato definice technicky velmi komplikovaná. V roce 1914 dal Oscar Perron jinou definici integrálu, která také umožňuje zcela vyřešit problém obnovení funkce z její derivace. Po 10 letech vytvořili Pavel Aleksandrov a Robert Loman identitu Denjoyových a Perronových integrálů. $f(x)=x^{2}\cos \left({\frac {\pi }{x^{2))}\right)$ $\displaystyle f'(x)$

V roce 1957 navrhl český matematik Jaroslav Kurzweil novou definici integrálu, která také umožnila zcela vyřešit problém obnovy funkce z její derivace. Jeho definice byla modifikací definice Riemannova integrálu. Další teorii tohoto integrálu vyvinul Ralph Henstock , po jeho práci je konstrukce známá jako Kurzweil-Henstockův integrál . Tento integrál je také totožný s Denjoyovým a Perronovým integrálem a pokrývá tak Lebesgueův integrál v jednorozměrném případě.

Vzhledem k jednoduchosti definice Henstock-Kurzweilova integrálu někteří učitelé obhajují jeho zavedení do programu počátečního kurzu matematické analýzy , ale tato myšlenka byla zatím částečně implementována pouze na katedrách mechaniky a matematiky Moskevské státní univerzity . a Saratovská státní univerzita .

Definice

K definování Kurzweil-Henstockova integrálu je zavedeno několik přechodných pojmů:

kalibrační funkce (měřítko) je libovolná funkce ; $\delta \colon [a,b]\to (0,\infty )$
označené rozdělení segmentu je konečná množina dvojic , kde a ; $P$ $[a,b]$ $\displaystyle (\xi _{k},[x_{k-1},x_{k}])$ $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$ $\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]$
o označeném oddílu se říká , že je -tenký (v souladu s ) if for all from to ; $P$ $\delta$ $\delta$ $\xi _{k}-\delta (\xi _{k})<x_{k-1}\leqslant \xi _{k}\leqslant x_{k}<\xi _{k}+\ delta(\xi _{k})$ $k$ $jeden$ $n$
pro označený oddíl a funkci je celočíselný součet výraz: $P$ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $S(P,f)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(\xi _{k})$ .

O funkci se říká, že je Kurzweil-Henstock integrovatelná na intervalu , pokud existuje číslo (nazývané Kurzweil-Henstockův integrál funkce na intervalu ), které má následující vlastnost: pro libovolnou existuje měřicí funkce taková, že pro jakýkoli oddíl kompatibilní s označeným oddílem . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $[a,b]$ $já$ $F$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $\delta _{\varepsilon }$ $\delta _{\varepsilon }$ $P$ $|S(P,f)-I|<\varepsilon$

Existence oddílů kompatibilních s označenými oddíly pro danou funkci měřidla vyplývá z Cousinovy věty . $\delta$ $\delta$

Riemannův integrál je speciálním případem Kurzweil-Henstockova integrálu, v jeho definici jsou povoleny pouze funkce konstantního kalibru.

Literatura

Lukašenko T. P., Skvortsov V. A., Solodov A. P. Zobecněné integrály 2010. 280 s. ISBN 978-5-397-00267-7

Odkazy

Riemannův nesprávný integrál a Henstockův integrál v , P. Maldonia, VA Skvortsov $R^{n}$ Mat. poznámky, 2005, ročník 78, číslo 2, strany 251-258
Zobecněné integrály a Fourierovy řady IA Vinogradova, VA Skvortsov Itogi Nauki. Ser. Matematika. Rohož. anální. 1970, 1971, strany 65-107

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů