Třída Zhen

Třídy Chern (nebo třída Chern ) jsou charakteristické třídy spojené s komplexními vektorovými svazky .

Třídy Zhen zavedl Shiing-Shen Zhen [1] .

Geometrický přístup

Základní myšlenka a pozadí

Třídy Zhen jsou charakteristické třídy . Jsou to topologické invarianty spojené s vektorovými svazky na hladkých manifoldech. Otázka, zda dva zdánlivě odlišné vektorové svazky jsou stejným svazkem, může být docela obtížný problém. Třídy Chern poskytují jednoduchý test — pokud se třídy Chern páru vektorových svazků neshodují, vektorové svazky jsou odlišné. Opak však není pravdou.

V topologii, diferenciální geometrii a algebraické geometrii je často důležité spočítat, kolik lineárně nezávislých sekcí má vektorový svazek. Chernovy třídy o tom podávají nějaké informace například prostřednictvím Riemann-Rochovy věty a Atiyah-Singerovy věty o indexu .

Zhenovy třídy jsou také vhodné pro praktické výpočty. V diferenciální geometrii (a některých typech algebraické geometrie) lze Chernovy třídy vyjádřit jako polynomy v koeficientech tvaru zakřivení .

Konstrukce tříd Zhen

Existují různé přístupy ke třídám, z nichž každý se zaměřuje na mírně odlišné vlastnosti tříd Chern.

Původní přístup k Chernovým třídám byl přístup ze strany algebraické topologie - Chernovy třídy vznikají díky teorii homotopie , která umožňuje zkonstruovat mapu variety spojené se svazkem V do klasifikačního prostoru (nekonečný v tomto případě Grassmannian ). Pro jakýkoli vektorový svazek V nad varietou M existuje zobrazení f z M do klasifikačního prostoru tak, že svazek V je roven inverznímu obrazu (vzhledem k f ) univerzálního svazku nad klasifikačním prostorem, a Chernův třídy svazku V lze proto definovat jako inverzní obrazy tříd Chern univerzálního svazku. Tyto univerzální Chernovy třídy mohou být zapsány explicitně v termínech Schubertových cyklů .

Lze ukázat, že dvě zobrazení f a g z M do klasifikačního prostoru, jehož inverzní obrazy jsou stejným svazkem V , musí být homotopická. Tedy inverzní obrazy vzhledem k fag jakékoli univerzální Chernovy třídy v kohomologické třídě M musí být stejnou třídou. To ukazuje, že Chernovy třídy V jsou dobře definované.

Zhengův přístup čerpá z diferenciální geometrie pomocí zakřivení popsaného v tomto článku. Zhen ukázal, že dřívější definice byla ve skutečnosti ekvivalentní jeho definici. Výsledná teorie je známá jako Chen-Weilova teorie .

Existuje také přístup Alexandra Grothendiecka , který ukázal, že axiomaticky stačí definovat pouze třídy svazků čar.

Chernovy třídy vyvstávají přirozeně v algebraické geometrii . Zobecněné Chernovy třídy v algebraické geometrii lze definovat pro vektorové svazky (nebo přesněji, lokálně volné svazky ) přes jakoukoli nesingulární varietu. Zhenovy algebraicko-geometrické třídy neukládají omezení na hlavní pole. Zejména vektorové svazky nemusí být složité.

Bez ohledu na původní paradigma se intuitivní význam třídy Chern týká „nul“ částí vektorového svazku. Například věta o tom, že je nemožné učesat míč s vlasy ( teorém o česání ježka ). I když se přísně vzato otázka týká skutečného vektorového svazku („vlasy“ na míči jsou kopií skutečné linie), existují zobecnění, ve kterých jsou „vlasy“ složité (viz příklad složitého česání ježka teorém níže), nebo pro jednorozměrné projektivní prostory nad mnoha dalšími poli.

Třída svazků linek Chern

(Nechť X je topologický prostor typu homotopie komplexu CW .)

Důležitý speciální případ nastane, když V je svazek vedení . Pak jedinou netriviální Chernovou třídou je první Chernova třída, která je prvkem druhé kohomologické skupiny prostoru X. Jelikož jde o nejvyšší třídu Zhen, rovná se Eulerově třídě svazku.

První Chernova třída se ukazuje jako úplný invariant , podle kterého jsou klasifikovány komplexní svazky čar v topologické kategorii. To znamená, že existuje bijekce mezi třídami izomorfních svazků čar přes X a prvky H 2 ( X ; Z ), která se vztahuje ke svazku čar jeho první Chernovy třídy. Navíc je tato bijekce grupovým homomorfismem (to je izomorfismus):

c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L')

;

tenzorový součin komplexních liniových svazků odpovídá sčítání ve druhé kohomologické skupině [2] [3] .

V algebraické geometrii je tato klasifikace (tříd izomorfních) svazků komplexních čar první Chernovou třídou hrubou aproximací klasifikace (tříd isomorfních) holomorfních svazků čar třídami lineárně ekvivalentních dělitelů .

Pro komplexní vektorové svazky s dimenzí větší než jedna nejsou Chernovy třídy úplnými invarianty.

Budovy

S pomocí teorie Chen-Weyl

Je -li dán komplexní hermitovský vektorový svazek V komplexní hodnosti n nad diferencovatelnou varietou M , zástupce každé Chernovy třídy (nazývané Chernovou formou ) c k ( V ) svazku V je dán koeficienty charakteristického polynomu . tvaru zakřivení svazku V . $\Omega$

\det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+E\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}

Determinant je převzat z okruhu n × n matic , jejichž prvky jsou polynomy v t s koeficienty z komutativní algebry sudých komplexních diferenciálních forem na M . Tvar zakřivení svazku V je dán $\Omega$

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]

kde je tvar spojení a d je vnější diferenciál nebo stejný výraz, ve kterém je tvar měřidla pro skupinu měřidel pro svazek V. Skalární t se používá pouze jako neznámá proměnná pro generování součtu z determinantu a E znamená matici identity n × n . $\omega$ $\omega$

Slova, která tento výraz uvádí jako zástupce třídy Zhen, znamenají, že „třída“ je zde definována až do přesné diferenciální formy . To znamená, že Chernovy třídy jsou cohomologické třídy ve smyslu de Rhamovy cohomologie . Lze ukázat, že kohomologická třída Chernových forem nezávisí na volbě spojení ve V .

Pomocí maticové identity tr(ln( X ))=ln(det( X )) a Maclaurinovy řady pro ln( X + I ) se tento výraz pro Chernovu formu rozšiřuje na

\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{ \frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\ frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].

S pomocí třídy Euler

Třídu Chern lze definovat pomocí třídy Euler. Tento přístup je použit v knize Milnora a Stashefa [4] a zdůrazňuje roli orientace vektorového svazku .

Hlavním pozorováním je, že komplexní vektorový svazek má kanonickou orientaci díky tomu, že je připojen. Proto lze definovat nejvyšší třídu Chern svazku jako jeho třídu Euler a pracovat se zbývajícími třídami Chern pomocí indukce. $GL_{n}(\mathbb {C} )$

Přesná konstrukce je následující. Záměrem je změnit základ a získat balíček o jednu nižší hodnost. Nechť je komplexní vektorový svazek nad parakompaktním prostorem B . Uvažujeme -li B jako nulový úsek vložený do E , nastavíme a definujeme nový vektorový svazek: $\pi :E\rightarrow B$ $B'=EB$

E'\to B',

jehož vlákno je faktorem vlákna F svazku E podél čáry překlenuté vektorem v v F (bod v B' je určen vláknem F svazku E a nenulovým vektorem z F .) [5] . Pak má E' hodnost o jednu nižší než hodnost E . Ze sekvence Gisin pro balíček : $\pi |_{B'}:B'\to B$

\cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname { H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,

vidíme, co je izomorfismus pro k < 2 n − 1. Nechť $\pi |_{B'}^{*}$

c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E'),&k<n\\ e(E_{\mathbb {R} }),&k=n\\0,&k>n.\\\end{cases}}

K ověření, že axiomy třídy Zhen pro takovou definici platí, je potřeba ještě trochu práce.

Příklady

Komplexní tečný svazek Riemannovy koule

Nechť CP 1 je Riemannova koule , jednorozměrný komplexní projektivní prostor . Předpokládejme, že z je holomorfní lokální souřadnice na Riemannově sféře. Nechť V = T CP 1 je tužka komplexních tečných vektorů tvaru a ∂/∂ z v každém bodě, kde a je komplexní číslo. Ukážeme komplexní verzi teorému o česání ježka : V nemá žádné nemizející sekce.

K tomu potřebujeme následující skutečnost: první Chernova třída triviálního svazku se rovná nule, tj.

c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {C} })=0.

Vyplývá to z toho, že triviální svazek má vždy ploché spojení.

Pojďme si to ukázat

c_{1}(V)\not =0.

Zvažte Kählerovu metriku

h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Lze ukázat, že tvar 2-křivosti je dán

\Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Navíc podle definice první třídy Zhen

c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \ \Omega \right].

Musíme ukázat, že tato třída kohomologie je nenulová. K tomu stačí vypočítat integrál přes Riemannovu kouli:

\int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2} )^{2}}}=2

po přechodu do polárního souřadnicového systému . Podle Stokesova teorému se integrál přesné formy musí rovnat 0, takže třída cohomology je nenulová.

To dokazuje, že TCP 1 není triviální vektorový svazek .

Komplexní projektivní prostor

Existuje přesná posloupnost svazků [6] :

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P } ^{n))(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\to 0,

kde je strukturní svazek (tj. svazek triviálních čar), je kroucený svazek Serre (tj. svazek nadrovin ) a poslední nenulový člen je svazek /svazek tečny . ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)$

Existují dva způsoby, jak získat výše uvedenou sekvenci:

[7] Nechť z 0 , … z n jsou souřadnice v,a. Pak máme: $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n+1}-0\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ ${\displaystyle U=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}-\{z_{0}=0\))$ $\pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2} },\,i\geq 1.$
Jinými slovy, kotangens svazek , což je volný modul s bází , je zahrnut v přesné sekvenci $\Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{U}$ $d(z_{i}/z_{0})$
$\textstyle \quad 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{ \to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,$ kde je základ středního termínu. Stejná sekvence je pak přesná pro celý projektivní prostor a výše uvedená sekvence je s ní duální. $e_{i}$
Nechť L je přímka procházející počátkem. Je snadné vidět, že prostor komplexní tečny k v bodě L je přirozeně izomorfní k množině lineárních zobrazení od L k jeho doplňku. [8] Tečný svazek lze tedy ztotožnit se svazkem homomorfismů $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ ${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ $\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )$ kde je vektorový svazek takový, že . Z toho vyplývá: $\eta$ ${\displaystyle {\mathcal {O}} (-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)))$ $T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\jméno operátora {Hom} ({\mathcal {O}} (-1),\eta )\ oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1 )}$ .

Vzhledem k aditivitě celé Chernovy třídy c = 1 + c 1 + c 2 + … (tj. Whitneyho vzorce součtu),

c(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n })=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1 }

kde a je kanonický generátor kohomologické skupiny . To znamená, bráno se znaménkem mínus, hodnotu první třídy Chern svazku tautologických linií (Poznámka: když E * je duál E .) Zejména pro jakékoli , $H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n},\mathbb {Z} )$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(-1)$ $c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)$ $k\geqslant 0$

c_{k}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.

Zhenův polynom

Chernův polynom je pohodlný způsob práce s Chernovými třídami a souvisejícími koncepty. Podle definice je pro komplexní vektorový svazek E Chernův polynom c t svazku E dán vztahem:

c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.

Nejedná se o nový invariant – formální neznámá t jednoduše odráží mocninu c k ( E ) [9] . Zejména je zcela definována celou třídou Chern svazku E - . $c_{t}(E)$ $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)$

Whitneyův součtový vzorec, jeden z axiomů Chernových tříd (viz níže), říká, že c t je aditivní ve smyslu:

c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').

Pokud je tedy přímý součet (složitých) svazků řádků, pak Whitneyův součtový vzorec znamená: ${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$

c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)

kde jsou první třídy Chern. Kořeny se nazývají Chernovy kořeny svazku E a určují koeficienty polynomu. to znamená, $a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})$ $a_{i}(E)$

c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))

kde jsou elementární symetrické polynomy . Jinými slovy, považujeme- li ai za formální proměnné, c k jsou „rovné“ . Základním faktem o symetrických polynomech je, že jakýkoli symetrický polynom v řekněme t i je polynom v elementárních symetrických polynomech v t i . Podle principu dělení nebo z teorie prstenců se jakýkoli Chernův polynom rozkládá na lineární faktory po nárůstu cohomologického prstence. Proto E nemusí být přímým součtem svazků vedení. Závěr ${\displaystyle \sigma _{k))$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $c_{t}(E)$

"Je možné vypočítat jakýkoli symetrický polynom f v komplexním vektorovém svazku E tak, že f napíšete jako polynom v a poté jej nahradíte ."

{\displaystyle \sigma _{k))

{\displaystyle \sigma _{k))

c_{k}(E)

Příklad : Máme polynomy s k

t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}), \ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))

s a tak dále (viz Newtonovy identity ). Součet ${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2))$

\operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1} (E),\ldots ,c_{n}(E))/k!

se nazývá Chernův znak svazku E , jehož prvních několik termínů je: (v zápisu vynecháváme E )

\operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{ \frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .

Příklad : Třída Todd svazku E je dána vztahem:

{\begin{aligned}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i))}=1 +{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{aligned}}

Poznámka : Pozorování, že třída Chern je v podstatě elementární symetrický polynom, lze použít k „definování“ tříd Chern. Nechť G n je nekonečný Grassmannian n - rozměrných komplexních vektorových prostorů. Je to klasifikační prostor v tom smyslu, že daný komplexní vektorový svazek E o hodnosti n nad X existuje spojité zobrazení.

f_{E}:X\to G_{n},

unikátní až po homotopii. Borelův teorém říká, že kohomologický kruh Grassmannova G n je přesně kruhem symetrických polynomů, což jsou polynomy v elementárních symetrických polynomech . Tedy pro předobraz f E ${\displaystyle \sigma _{k))$

f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).

Kde

c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).

Poznámka : Jakákoli charakteristická třída je v Chernových třídách polynomem z následujících důvodů. Nechť je kontravariantní funktor , který asociuje s CW-komplexem X množinu tříd izomorfních komplexních vektorových svazků hodnosti n nad X . Charakteristická třída je podle definice přirozenou transformací z na kohomologický funktor . Charakteristické třídy tvoří kruh díky kruhové struktuře kohomologického kruhu. Yonedovo lemma říká, že kruh charakteristických tříd je přesně cohomologický kruh Grassmannovy G n : $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }$ $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]$ $H^{*}(-,\mathbb {Z} ).$

\operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].

Vlastnosti Zhenových tříd

Daný komplexní vektorový svazek E nad topologickým prostorem X , Chernovy třídy svazku E jsou posloupností cohomologických prvků prostoru X. k . Chernova třída svazku E , obvykle označovaná c k ( V ), je prvkem

H2k ( X ; Z ) , _

kohomologie prostoru X s celočíselnými koeficienty. Lze také definovat kompletní třídu Zhen

c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .

Protože hodnoty jsou v celočíselných kohomologických skupinách spíše než v kohomologii se skutečnými koeficienty, jsou tyto Chernovy třídy o něco jasnější než ty v Riemannově příkladu.

Klasická axiomatická definice

Třídy Zhen splňují následující čtyři axiomy:

Axiom 1. pro všechny svazky E . $c_{0}(E)=1$

Axiom 2. Přirozenost: Jestliže je spojitá a f*E je indukovaný vektorový svazek svazku E , pak . $f:Y\to X$ $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)$

Axiom 3. Whitneyův součtový vzorec : Jestliže je další komplexní vektorový svazek, pak Chernovy třídy přímého součtu jsou dány vztahem $F\to X$ $E\oplus F$

c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);

to znamená,

c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{ki}(F).

Axiom 4. Normalizace: Celá Chernova třída svazku tautologických čar nad CP k se rovná 1 − H , kde H je Poincarého duál nadroviny . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k))$

Axiomatický přístup Alexandra Grothendiecka

Alternativně Grothendieck [10] nahradil tyto axiomy o něco méně axiomy:

Přirozenost: (Stejné jako výše)
Aditivita: Pokud je přesná posloupnost vektorových svazků, pak . $\ 0\to E'\to E\to E''\to 0$ $c(E)=c(E')\smile c(E'')$
Normalizace: Pokud E je svazek čar , pak , kde je Eulerova třída podkladového reálného vektorového svazku. $c(E)=1+e(E_{\mathbf {R}})$ $e(E_{\mathbf {R} })$

Ukázal pomocí Leray-Hirschovy věty , že úplnou Chernovu třídu komplexního vektorového svazku konečné úrovně lze definovat v podmínkách první Chernovy třídy tautologicky definovaného svazku čar.

Konkrétně zavedením projektivizace P ( E ) komplexního vektorového svazku řady n jako svazku na B , jehož vlákno v libovolném bodě je projektivním prostorem vlákna Eb . Celkový prostor tohoto svazku P ( E ) je obdařen svým tautologickým komplexním liniovým svazkem, který označujeme , a první třídou Chern $E\rightarrow B$ $b\in B$ $\tau$

c_{1}(\tau )=:-a

je omezena na každou vrstvu P ( Eb ) na třídu se znaménkem mínus (Poincaré dual) nadroviny, která generuje kohomologii vrstvy .

Třídy

1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))

tak tvoří rodinu cohomologických tříd, které jsou omezeny na cohomologický základ vrstvy. Leray-Hirschova věta říká, že libovolnou třídu v H* ( P ( E )) lze jednoznačně zapsat jako lineární kombinaci 1, a , a 2 , …, a n −1 s třídami v bázi jako koeficienty. .

Konkrétně lze definovat třídy Chern svazku E ve smyslu Grothendieck, které se označují rozkladem třídy následujícím způsobem: $c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)$ ${\displaystyle -a^{n))$

-a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E) .

Můžete zkontrolovat, že tato alternativní definice je stejná jako jakákoli jiná definice.

Zhengova vyšší třída

Ve skutečnosti tyto vlastnosti jednoznačně definují třídy Chern. Výsledkem je mimo jiné:

Jestliže n je komplexní hodnost V , pak pro všechna k > n . Tím se celá třída Zhen rozpadne. $c_{k}(V)=0$
Nejvyšší Chernova třída svazku V ( , kde n je hodnost V ) je vždy rovna Eulerově třídě podkladového reálného vektorového svazku. $c_{n}(V)$

Chernovy třídy v algebraické geometrii

Axiomatický popis

Existuje další konstrukce tříd Chern, která nabývá hodnot v algebro-geometrickém analogu cohomologického prstence, prstence Zhou . Lze ukázat, že existuje jedinečná teorie Chernových tříd taková, že pro daný algebraický vektorový svazek přes kvaziprojektivní varietu existuje taková posloupnost tříd , $E\to X$ $c_{i}(E)\in A^{i}(X)$

$c_{0}(E)=1$
Pro reverzibilní paprsek , ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ $c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]$
Vzhledem k přesné sekvenci vektorových svazků platí vzorec Whitneyho součtu: $0\to E'\to E\to E''\to 0,$ $c(E)=c(E')c(E'')$
$c_{i}(E)=0$ pro $i>{\text{rank}}(E)$
Mapování je rozšířeno na kruhový morfismus $E\mapsto c(E)$ $c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)$

Abstraktní výpočty pomocí formálních vlastností

Přímé součty svazků linek

Pomocí těchto vztahů můžeme provádět četné výpočty pro vektorové svazky. Nejprve si všimněte, že pokud máme svazky čar , můžeme vytvořit krátkou přesnou sekvenci vektorových svazků ${\mathcal {L}}, {\mathcal {L}}'$

0\do {\mathcal {L}}\do {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}'\do {\mathcal {L}}'\do 0

Pomocí vlastností a dostaneme $jeden$ $2$

{\begin{aligned}c({\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}')&=c({\mathcal {L}})c({\mathcal {L}} ')\\&=(1+c_{1}({\mathcal {L))))(1+c_{1}({\mathcal {L))'))\\&=1+c_{1 }({\mathcal {L}})+c_{1}({\mathcal {L}}')+c_{1}({\mathcal {L}})c_{1}({\mathcal {L} }')\end{aligned}}

Indukcí dostaneme

c(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{i})=c({\mathcal {L}}_{1})\cdots c({\ matematický {L}}_{n})

Svazky duální do řádkových svazků

Protože svazky čar na hladké projektivní variantě jsou definovány třídou dělitele a svazek dvou čar je definován třídou záporného dělitele , dostáváme $X$ $[D]$ $-[D]$

c_{1}({\mathcal {L}})=-c_{1}({\mathcal {L}}^{*})

Tangentový svazek projektivního prostoru

Výše uvedené lze aplikovat na Eulerovu sekvenci pro projektivní prostor

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^ {\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

vypočítat

{\begin{aligned}c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n))))c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n }})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)})\\c({\mathcal {T} }_{\mathbb {P} ^{n)))&=(1+H)^{n+1}\\&={n+1 \vyberte 0}1+{n+1 \vyberte 1}H+ \cdots +{n+1 \choose n}H^{n}\end{aligned}}

kde je třída nadrovin stupně 1. Všimněte si také, že v kruhu Zhou . $H$ $H^{n+1}=0$ ${\mathbb {P}}^{n}$

Normální sekvence

Výpočet tříd charakteristik pro projektivní prostor je základem pro výpočet tříd charakteristik mnoha dalších prostorů, protože pro každou hladkou projektivní podvarietu existuje krátká přesná posloupnost. $X\subset \mathbb {P} ^{n}$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N } }}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0

Trojrozměrná kvintika

Uvažujme například trojrozměrný kvintic v . Pak je dán normální svazek a máme krátkou přesnou sekvenci ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4))$ ${\mathcal {O}}_{X}(5)$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O }}_{X}(5)\to 0

Označme třídu nadrovin v . Pak nám dává Whitneyho součtový vzorec $h$ $A^{\bullet }(X)$

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))&=(1+h)^{5 }\\&=1+5h+10h^{2}+10h^{3}\end{aligned}}

Protože Zhou prsten hyperpovrchu je obtížné vypočítat, budeme tuto sekvenci považovat za sekvenci koherentních svazků v . To nám dává ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4))$

c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}

Všimněte si, že existuje formální mocninná řada

{\begin{aligned}{\frac {1}{1+5h}}&=1-5h+25h^{2}-125h^{3}+\cdots \\&=1-5h+25h ^{2}-125h^{3}\end{aligned}}

Pomocí tohoto můžeme získat

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&=(1+5h+10h^{2}+10h^{3})(1-5h+25h^{ 2}-125h^{3})\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}

Pomocí Gauss-Bonnetovy věty můžeme integrovat třídu pro výpočet Eulerovy charakteristiky. Tradičně se tomu říká Eulerova třída . My máme $c_{3}({\mathcal {T}}_{X})$

\int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200

protože třída může být reprezentována pěti body ( Bézoutovou větou . Eulerovu charakteristiku pak lze použít k výpočtu Bettiho čísel pomocí definice Eulerovy charakteristiky a věty o řezu Lefschetzovy nadroviny . $h^3$ $X$

Kotangens sekvence

Dalším užitečným výpočtem je svazek kotangens pro projektivní prostor. Můžeme dualizovat Eulerovu sekvenci a získat

0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)^{\oplus n +1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

Pomocí Whitneyho součtového vzorce dostaneme

{\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{n)))&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}^ {\oplus (n+1)})c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))\\&=(1-H)^{n+1}\\& =1-{n+1 \vyberte 1}H+{n+1 \vyberte 2}H^{2}+\ctečky +{n+1 \vyberte n}(-1)^{n}H^{n} \end{aligned}}

Související pojmy

Zhenova postava

Chernovy třídy lze použít ke konstrukci kruhového homomorfismu z topologické K-teorie prostoru k dokončení jeho racionální cohomologie. U svazku čar L je znak Chern dán hodnotou

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Obecněji, pokud je přímým součtem řádkových svazků s prvními třídami Chern, znak Chern je definován aditivně ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).

To lze přepsat následovně [11] :

\operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2 }-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_ {3}(V))+\ctečky .

Tento poslední výraz, podporovaný principem dělení , se používá jako definice ch(V) pro libovolné vektorové svazky V .

Pokud je k definování tříd Chern použito spojení , když je základem varieta (tj . teorie Chern-Weil ), explicitní výraz pro znak Chern je

{\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\ dobře dobře]

kde je zakřivení spoje. $\Omega$

Znak Chern je užitečný mimo jiné proto, že umožňuje vypočítat třídu Chern tensor produktu. Přesněji řečeno, splňuje následující rovnosti:

{\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)

{\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).

Jak bylo uvedeno výše, pomocí Grothendieckova axiomu axiomu pro Chernovy třídy lze první z těchto identit zobecnit na tvrzení, že ch je homomorfismus abelovských grup z K-teorie K ( X ) do racionálního cohomologického prostoru X. Druhá identita zakládá skutečnost, že tento homomorfismus zachovává součin v K ( X ), a proto ch je kruhový homomorfismus.

Chernův znak je použit v Hirzebruch-Riemann-Rochově teorému .

Zhen čísla

Pokud pracujeme s orientovanou varietou dimenze 2n , pak jakýkoli součin Chernových tříd plného stupně 2n lze spárovat se základní třídou (neboli „integrovanou varietou“), čímž získáme celé číslo, Chernovo číslo vektorového svazku. Například, pokud má rozdělovač rozměr 6, existují tři lineárně nezávislá Chern čísla daná c 1 3 , c 1 c 2 a c 3 . Obecně platí, že pokud má varieta rozměr 2n , počet nezávislých Chernových čísel se rovná počtu dělení n .

Chernova čísla svazku tečny komplexní (nebo téměř komplexní) variety se nazývají Chernova čísla variety a jsou důležitými invarianty.

Třída Chern ve zobecněných cohomologických teoriích

Dochází ke zobecnění teorie Chernových tříd, kde jsou obvyklé kohomologie nahrazeny zobecněnými . Teorie, pro které je takové zobecnění možné, se nazývají komplexně orientovatelné . Formální vlastnosti Chernových tříd zůstávají stejné, s jedním zásadním rozdílem - pravidlo pro výpočet první Chernovy třídy tenzorového součinu svazků čar z hlediska prvních Chernových tříd rozkladu není (obyčejným) sčítáním, ale je dáno formálním skupinovým zákonem .

Chernova třída v algebraické geometrii

V algebraické geometrii existuje podobná teorie Chernových tříd vektorových svazků. Existuje několik variant, v závislosti na tom, do kterých skupin třídy Chern patří:

U komplexních manifoldů mohou třídy Chern nabývat hodnot v obvyklé cohomologii (jak je uvedeno výše).
U odrůd přes pole obecné formy mohou Chernovy třídy nabývat hodnot v cohomologických teoriích, jako je étale cohomology nebo l-adic cohomology .
U odrůd V na polích obecného tvaru mohou třídy Chern také nabývat hodnot v homomorfismech skupin Chow CH(V). Například první Chernova třída svazku čar nad varietou V je homomorfismus z CH( V ) na CH( V ) snižující stupeň o 1. To odpovídá skutečnosti, že skupiny Chow jsou analogické skupinám homologie a prvkům kohomologických skupin lze považovat za homomorfismy skupin homologie podle produktu Whitney .

Chernovy třídy manifoldů se strukturou

Chernova teorie tříd je zdrojem invariantů kobordismu pro téměř složité struktury .

Jestliže M je téměř komplexní varieta, pak její tečný svazek je komplexní vektorový svazek. Chernovy třídy M jsou pak definovány jako Chernovy třídy jeho tečného svazku . Jestliže M je také kompaktní a má rozměr 2 d , pak každý monomial plného stupně 2 d v Chernových třídách může být spárován se základní třídou variety M , což dává celé číslo, Chernovo číslo variety M . Je-li M ′ další téměř komplexní varieta stejné dimenze, pak je hraniční s M právě tehdy, když Chernovo číslo variety M ′ je stejné jako Chernovo číslo variety M .

Teorie je také zobecněna na skutečné symplektické vektorové svazky pomocí kompatibilních téměř složitých struktur. Zejména symplektické manifoldy mají jedinečně definovanou třídu Chern.

Chernovy třídy o aritmetických obvodech a diofantických rovnicích

(Viz geometrie Arakelova )

Viz také

třída Pontryagin
Třída Stiefel-Whitney
Zhen-Simonsova teorie
Eulerova třída
Segre class
Tomův izomorfismus

Poznámky

↑ Chern, 1946 .
↑ Tu, Loring, 1995 , str. 267ff.
↑ Hatcher, 2003 .
↑ Milnor, Stasheff, 1974 .
↑ Poznámka: Zde je zápis odlišný od zápisu Milnor − Staszef, ale přirozenější.
↑ Tato sekvence se někdy nazývá přesná Eulerova sekvence .
↑ Harshorne, 1977 , s. 176, Ch. II. Věta 8.13..
↑ Nechť je skupina komplexních čísel, která působí v n -rozměrném prostoru bez počátku násobením. Pak je hlavní svazek se skupinou struktur , jejímž základem je komplexní projektivní prostor . Přímka L at (procházející počátkem) bude bodem v prostoru . Katanajev, 2016 , 472 ${\displaystyle \mathbb {C} _{0}=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\))$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\smallsetminus \{0\))$ $\mathbb {C} ^{n+1}{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}\mathbb {CP} ^{n}$ $\mathbb {C} _{0}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}=(\mathbb {C} ^{n+1}\smallsetminus \{0\})/\mathbb {C} _{0))$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
↑ Z teoretického hlediska kruhů existuje izomorfismus stupňovaných kruhů : $H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} )) [t],x\mapsto xt^{|x|/2}$ kde vlevo je kohomologický okruh sudých členů, je okruh homomorfismů, které neberou v úvahu stupňování, a x je homogenní a má stupeň | x |. $\eta$
↑ Grothendieck, 1958 .
↑ (Viz také #Cheng polynom .) Všimněte si, že pokud je V součet svazků čar, lze Chernovy třídy V vyjádřit jako elementární symetrické polynomy z . Konkrétně na jedné straně, $x_{i}$ $c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ $c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),$ a na druhou stranu, $c(V)=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})=\prod _{ i=1}^{n}(1+x_{i})=\sum _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ Proto lze použít Newtonovy identity k vyjádření mocninného součtu ch(V) jiným způsobem pouze v termínech Chernových tříd V , což dává požadovaný vzorec.

Literatura

Chern SS Charakteristické třídy Hermitian Manifolds // Annals of Mathematics . - The Annals of Mathematics, 1946. - V. 47 , no. 1 . — S. 85–121 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1969037 . — .
Alexander Grothendieck . La théorie des Classes de Chern // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1958. - T. 86 . — S. 137–154 . — ISSN 0037-9484 .
Jurgen Jost. Riemannova geometrie a geometrická analýza. — 4. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-25907-7 . (Je uveden velmi krátký úvodní přehled Zhenových tříd.)
May JP Stručný kurz algebraické topologie. - University of Chicago Press, 1999. - ISBN 978-0226511832 .
John Willard Milnor , James D. Stasheff. charakteristické třídy. — Princeton University Press; University of Tokyo Press, 1974. - V. 76. - (Annals of Mathematics Studies). - ISBN 978-0-691-08122-9 .
Elena Rubeiová. Algebraická geometrie, stručný slovník. - Berlin/Boston: Walter De Gruyter, 2014. - ISBN 978-3-11-031622-3 .
Raoul Bott Tu, Loring W. Diferenciální formy v algebraické topologii. — Corr. 3. tisk.. - New York [ua]: Springer, 1995. - S. 267ff. — ISBN 3-540-90613-4 .
Harshorne R. Algebraická geometrie. - Springer-Verlag, 1977. - V. 52. - (Absolventské texty z matematiky). — ISBN 0-387-90244-9 . — ISBN 3-540-90244-9 .
Katanajev Michail Orionovič Geometrické metody v matematické fyzice. - Třetí, doplněná verze rozšířené verze průběhu přednášek. - 2016. - (Kurz přednášek v letech 2008-2016 ve vědeckém a vzdělávacím centru Moskevského institutu Akademie věd pojmenovaném po V.A. Steklovi.).

Allen Hatcher. Tvrzení 3.10 // Vektorové svazky a K-teorie . — 2003.

Odkazy

Dieter Kotschick , Chern čísla algebraických odrůd Archivováno 6. června 2011 na Wayback Machine