Kovariantní derivát

Kovariantní derivace je zobecněním konceptu derivace pro tenzorová pole na varietách . Pojem kovariantní derivace úzce souvisí s pojmem afinního spojení .

Kovariantní derivace tenzorového pole ve směru vektoru tečny se obvykle označuje . $T$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}T$

Motivace

Koncept kovariantní derivace nám umožňuje definovat diferenciaci tenzorových polí ve směru tečného vektoru nějaké variety. Stejně jako směrová derivace má kovariantní derivace jako argumenty: (1) vektor definovaný v určitém bodě a (2) vektorové pole definované v sousedství . Výsledkem je vektor , také definovaný v . Hlavní rozdíl oproti směrové derivaci spočívá v tom, že by neměla záviset na volbě souřadnicového systému . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$ $\mathbf {u}$ $P$ $\mathbf{v}$ $P$ $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }\left(P\right)$ $P$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$

Jakýkoli vektor může být reprezentován jako sada čísel, která závisí na volbě základu . Vektor jako geometrický objekt se při změně báze nemění, zatímco složky jeho souřadnicové reprezentace se mění podle kovariantní transformace v závislosti na transformaci báze. Kovariantní derivát se musí podřídit stejné kovariantní transformaci.

V případě euklidovského prostoru je derivace vektorového pole často definována jako limit rozdílu mezi dvěma vektory definovanými ve dvou blízkých bodech. V tomto případě lze jeden z vektorů posunout na začátek druhého vektoru pomocí paralelní translace a poté jej odečíst. Nejjednodušším příkladem kovariantní derivace je tedy komponentní diferenciace v ortonormálním souřadnicovém systému .

V obecném případě je nutné počítat se změnou bázových vektorů při paralelním překladu . Příklad: kovariantní derivace zapsaná v polárních souřadnicích dvourozměrného euklidovského prostoru obsahuje další termíny, které popisují „rotaci“ samotného souřadnicového systému během paralelní translace. V jiných případech může kovariantní derivační vzorec zahrnovat výrazy odpovídající kompresi, roztažení, kroucení, prokládání a dalším transformacím, kterým podléhá libovolný křivočarý souřadnicový systém.

Jako příklad uvažujme křivku definovanou v euklidovské rovině. V polárních souřadnicích lze křivku vyjádřit jako polární úhel a poloměr . V libovolném časovém okamžiku lze vektor poloměru znázornit pomocí dvojice , kde a jsou jednotkové vektory tečné k polárnímu souřadnicovému systému, které tvoří základ, který slouží k rozkladu vektoru na radiální a tangenciální složky. Při změně parametru vzniká nový základ, který není nic jiného než starý základ podrobený rotaci. Tato transformace je vyjádřena jako kovariantní derivát základních vektorů, také známý jako Christoffelovy symboly . $\gamma (t)$ $\gamma (t)=(r(t),\theta (t))$ $t$ $({\mathbf {e} }_{r}, {\mathbf {e} }_{\theta })$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{r))$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\theta ))$ $t$

V křivočarém prostoru, kterým je např. povrch Země, není jednoznačná rovnoběžná translace definována . Místo toho je definována operace paralelní translace vektoru z jednoho bodu do druhého, která závisí na volbě trajektorie. Skutečně si představte vektor definovaný v bodě (který leží na rovníku) a nasměrovaný k severnímu pólu. Pomocí paralelní translace nejprve posuneme vektor podél rovníku, aniž bychom změnili jeho směr, poté jej zvedneme podél jednoho poledníku k severnímu pólu a snížíme zpět k rovníku podél druhého poledníku. Je zřejmé, že takové posunutí vektoru po uzavřené dráze na kouli změní jeho orientaci. Podobný jev je způsoben zakřivením povrchu zeměkoule a není pozorován v euklidovském prostoru. Vzniká na rozdělovačích, když se vektor pohybuje po jakémkoli (i nekonečně malém) uzavřeném obrysu, který zahrnuje pohyb alespoň ve dvou různých směrech. V tomto případě je limit infinitezimálního přírůstku vektoru mírou zakřivení variety. ${\mathbf {e} }$ $Q$ ${\mathbf {e} }$

Poznámky

Definice kovariančního derivátu nepoužívá koncept metriky. Navíc pro jakoukoli volbu prostorové metriky existuje jedinečná kovariantní derivace bez torze , nazývaná Levi-Civita spojení . Určuje se z podmínky: kovariantní derivace metrického tenzoru je rovna nule.

Z vlastností derivace vyplývá, že závisí na libovolně malém okolí bodu stejným způsobem, jako například derivace skalární funkce podél křivky v daném bodě závisí na nekonečně malém okolí tohoto bodu. $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $P$ $P$

Informace obsažené v okolí bodu mohou být použity k určení paralelní translace vektoru. Podobně lze pojmy zakřivení , kroucení a geodetika zavést pouze pomocí konceptu kovariantní derivace a jejích zobecnění, jako je konektivita cest . $P$

Formální definice

Skalární funkce

Pro skalární funkci je kovariantní derivace stejná jako obyčejná derivace funkce s ohledem na směr vektorového pole . $F$ ${\nabla }_{{{\mathbf {v}}}}f$ $\mathbf{v}$

Vektorová pole

Kovariantní derivace vektorového pole ve směru vektorového pole , označovaná jako , je definována následujícími vlastnostmi pro libovolný vektor , vektorová pole a skalární funkce a : $\nabla$ ${{\mathbf u}}$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {w}$ $F$ $G$

$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ lineární vzhledem k , tzn ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{f{{\mathbf v}}+g{{\mathbf w}}}}{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u }} ))+g\nabla _{{{\mathbf w}}}{{\mathbf u}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ je aditivní s ohledem na , tzn ${{\mathbf u}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}({{\mathbf u}}+{{\mathbf w}})=\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+ \nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf w}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ dodržuje pravidlo produktu , to znamená , kde je definováno výše. $\nabla _{{{\mathbf v}}}f{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+{{\mathbf u}}\ nabla _{{{\mathbf v}}}f$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}f$

Poznámka

Všimněte si, že v bodě závisí pouze na hodnotě v bodě a na hodnotách v jeho okolí. Zejména kovariantní derivační operátor není tenzor (navzdory skutečnosti, že jeho hodnota na každém tenzorovém poli je tenzor). $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $p$ $\mathbf{v}$ $p$ $\mathbf {u}$

Covektorová pole

Dané pole kovektorů (tj. kdysi kovariantních tenzorů, nazývaných také 1-formy ) , lze jeho kovariantní derivaci definovat pomocí následující identity, která je splněna pro všechna vektorová pole : $\alpha$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}\alpha$ $\mathbf {u}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\alpha ({{\mathbf u))))=(\nabla _{{{\mathbf v))}\alpha )({{\mathbf u)) )+\alpha (\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}).

Kovariantní derivace kovektorového pole podél vektorového pole je také kovektorovým polem. $\mathbf{v}$

Je také možné nezávisle definovat kovariantní derivaci pole kovektoru, která nesouvisí s derivací vektorových polí. V obecném případě pak derivace skalárů závisí na jejich původu a hovoří se o nemetrické povaze afinního spojení spojeného s danou kovariantní derivací. S výše uvedenou definicí je nemetričnost rovna nule.

Tenzorová pole

Jakmile je kovariantní derivace definována pro vektorová a covektorová pole, lze ji snadno zobecnit na libovolná tenzorová pole pomocí Leibnizova pravidla ( a jsou to libovolné tenzory): $\varphi$ ${\psi}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{{\mathbf v))}\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _ {{{\mathbf v}}}\psi ),

Pokud a jsou tenzorová pole ze stejného svazku tenzorů, lze je přidat: $\varphi$ $\psi$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi +\psi )=\nabla _{({\mathbf v))}\varphi +\nabla _{{{\mathbf v))}\psi .

Vyjádření v souřadnicích

Nechť je pole typu tenzoru dáno jeho komponentami v nějakém lokálním souřadnicovém systému a komponenty jsou diferencovatelné funkce . Pak kovariantní derivace tenzorového pole je tenzor typu , který je definován vzorcem: $(p,q)$ ${T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}({\mathbf {x}}) )$ $x^{k}$ $(p,q+1)$

$\nabla _{\ell }{T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}={ \frac {\částečný {T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q)))){\částečný x^{\ell ))}+\součet _{{k=1}}^{p}{T^{{i_{1}\ldots k\ldots i_{p))))_{{j_{1 }j_{2}\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{i_{k}}}{}_{{\ell k}}-\sum _{{m=1}}^{q}{ T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}}_{{j_{1}\ldots m\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{m}}{}_ {{\ell j_{m))}$

kde jsou Christoffelovy symboly vyjadřující konektivitu zakřiveného potrubí. $\Gamma ^{{k}}{}_{{ij}}$

Příklady některých typů tensorfields

Kovariantní derivace vektorového pole má ve srovnání s parciální derivací další člen, $V^{m}\$

\nabla _{\ell }V^{m}={\frac {\částečné V^{m}}{\částečné x^{\ell }}}+\Gamma ^{m}{}_{{k\ dobře }}V^{k}.\

Kovariantní derivace skalárního pole je stejná jako parciální derivace, $\varphi\$

\nabla _{i}\varphi ={\frac {\částečné \varphi }{\částečné x^{i))}\

a kovariantní derivace pole kovektoru je $\omega _{m}\$

\nabla _{\ell }\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m)){\částečné x^{\ell ))}-\Gamma ^{k}{}_{{ \ell m}}\omega _{k}.\

Pro spojení bez torze jsou Christoffelovy symboly symetrické a kovariantní deriváty skalárního pole komutují:

\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi \

Obecně platí, že kovariantní deriváty tenzorů nekomutují (viz tenzor zakřivení ).

Kovariantní derivace typového tenzorového pole je $(2.0)$ $A^{{ik}}\$

\nabla _{\ell }A^{{ik}}={\frac {\částečné A^{{ik}}}{\částečné x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_ {{m\ell }}A^{{mk}}+\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}A^{{im}},\

to je

A^{{ik}}{}_{{;\ell }}=A^{{ik}}{}_{{,\ell }}+A^{{mk}}\Gamma ^{i}{ }_{{m\ell }}+A^{{im}}\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}.\

Pro tenzorové pole s jedním horním a jedním dolním indexem je kovariantní derivace

A^{i}{}_{{k;\ell }}=A^{i}{}_{{k,\ell }}+A^{{m}}{}_{k}\Gamma ^ {i}{}_{{m\ell }}-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{{k\ell }},\

konečně pro dvojitě kovariantní tenzorové pole, tedy pole typu , $(0,2)$

A_{{ik;\ell }}=A_{{ik,\ell }}-A_{{mk}}\Gamma ^{m}{}_{{i\ell }}-A_{{im}}\ Gama ^{m}{}_{{k\ell }}.\

Viz také

Literatura

Rashevsky PK Riemann geometrie a tenzorová analýza. - Jakékoli vydání.

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata