Kruhová dráha

Kruhová dráha - dráha, jejíž všechny body jsou ve stejné vzdálenosti od centrálního bodu, vytvořená tělesem obíhajícím kolem pevné osy. Lze považovat za speciální případ eliptické dráhy s nulovou excentricitou . Ve sluneční soustavě mají Venuše (excentricita 0,0068) a Země (excentricita 0,0167) téměř kruhové dráhy .

Dále bude zvažován koncept kruhové dráhy v astrodynamice a nebeské mechanice . Dostředivá síla je gravitační síla. Výše uvedená pevná osa prochází přitahovacím středem kolmo k rovině oběžné dráhy.

Pro danou dráhu je konstantní nejen vzdálenost od středu, ale i lineární rychlost, úhlová rychlost, potenciální a kinetická energie. Neexistuje žádná periapse ani apoapse. Kruhová dráha nemá mezi radiálními trajektoriemi obdobu .

Zrychlení na kruhové dráze

Normální zrychlení (kolmé k rychlosti) mění směr vektoru rychlosti. Pokud je velikost konstantní a mění se se směrem rychlosti, máme kruhový pohyb. Platí následující rovnost:

a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r},

kde

$proti\,$ je orbitální rychlost obíhajícího tělesa,
$r\,$ je poloměr kruhové dráhy,
$\omega \$ - úhlová rychlost měřená v radiánech za jednotku času.

Pokud jsou jednotkou měření metry dělené druhou druhou mocninou, pak jednotkou měření budou metry za sekundu, - metry, - radiány za sekundu $\mathbf {a}$ $proti\,$ $r\,$ $\omega \$

Rychlost

Relativní rychlost je konstantní:

v={\sqrt {GM\!  \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}},

kde

G je gravitační konstanta ,
M je součet hmotností obou těles (M 1 + M 2 ), i když v praxi platí, že pokud hmotnost jedné ze složek výrazně převyšuje hmotnost druhé, pak se hmotnost druhého tělesa zanedbává, což výsledek příliš neovlivní,
$\scriptstyle \mu =GM\,$ je gravitační parametr .

Pohybová rovnice

Rovnice oběžné dráhy v polárních souřadnicích , ukazující v obecném případě vztah mezi r a θ , je zjednodušena do tvaru

r={{h^{2}} \over {\mu )),

kde

$h=rv$ je moment hybnosti obíhajícího tělesa na jednotku hmotnosti.

${\displaystyle \mu =rv^{2))$ .

Úhlová rychlost a oběžná doba

\omega ^{2}r^{3}=\mu ,

proto lze dobu oběhu ( ) vypočítat jako $T\,\!$

T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu ))}.

Porovnejme dvě úměrné veličiny, čas volného pádu (čas do pádu na hmotu bodu z klidové polohy)

{\displaystyle T_{ff}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2)))){\sqrt {r^{3} \over {\mu ))))

(17,7 % doby otáčení na kruhové dráze)

a čas pádu na hmotu bodu podél radiální parabolické trajektorie

T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}

(7,5 % doby rotace na kruhové dráze).

Skutečnost, že vzorce se liší pouze konstantou, lze odvodit z rozměrové analýzy .

Energie

Orbitální energie ( ) vypočtená na jednotku hmotnosti je záporná, $\epsilon\,$

{v^{2} \over {2}}=-\epsilon ,

-{\mu \over {r}}=2\epsilon .

Proto lze viriální teorém použít i bez časového průměrování:

kinetická energie systému je v absolutní hodnotě rovna celkové energii,
potenciální energie se rovná dvojnásobku hodnoty celkové energie.

Úniková rychlost se rovná kruhové rychlosti vynásobené √2: v tomto případě se součet kinetické a potenciální energie změní na nulu.

Orbitální rychlost v obecné relativitě

Ve Schwarzschildově metrice je orbitální rychlost pro kruhovou dráhu o poloměru dána následujícím výrazem: $r$

v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S)))),

kde je Schwarzschildův poloměr centrálního tělesa. ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2))))$

Odvození rovnice

Pro usnadnění budeme používat měrné jednotky, ve kterých . $\scriptstyle c=G=1$

Čtyřnásobný vektor rychlosti pro těleso na kruhové dráze je dán vztahem

u^{\mu }=({\dot {t)),0,0,{\tečka {\phi )))

( stále na kruhové dráze, souřadnice lze zvolit tak, že ). Tečka nad variabilním symbolem označuje derivaci s ohledem na správný čas . $\scriptstyle r$ $\scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2))$ $\scriptstyle \tau$

Pro masivní částici splňují složky 4-vektoru rovnici

\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\tečka {t}}^{2}-r^{2}{\tečka {\phi }}^{2} =1.

Použijeme rovnici geodetické přímky:

{\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\tečka {x}}^ {\sigma }=0.

Jediná netriviální rovnice pro : $\scriptstyle \mu=r$

{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\tečka {t}}^{2}-r\left (1-{\frac {2M}{r}}\vpravo){\tečka {\phi }}^{2}=0.

Odtud se dostáváme

{\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\tečka {t}}^{2}.

Tento výraz dosadíme do rovnice pro masivní částici:

\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\tečka {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\tečka {t}} ^{2}=1.

tudíž

{\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}.

Předpokládejme, že pozorovatel je na poloměru a nepohybuje se vzhledem k centrálnímu tělesu, to znamená, že jeho vektor 4 rychlostí je úměrný vektoru . $\scriptstyle r$ $\částečné _{t}$

v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M))},0,0,0\right)

Součin 4-rychlostních vektorů pozorovatele a obíhajícího tělesa vede k expresi

\gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r))\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M))}{\sqrt {\frac {r}{r-2M))}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M))}.

Odtud dostaneme výraz pro rychlost:

{\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M))))

nebo v jednotkách SI,

v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S)))).

Odkazy

Lissauer, Jack J. Základní planetární vědy: fyzika, chemie a obyvatelnost / Jack J. Lissauer, Imke de Pater. - New York, NY, USA: Cambridge University Press, 2019. - S. 604. - ISBN 9781108411981 .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)

Orbity

Typy

Hlavní	Krabicová orbita Zachyťte oběžnou dráhu kruhová dráha Eliptická oběžná dráha / Vysoká eliptická oběžná dráha Care Orbit Pohřební dráha Hyperbolická trajektorie Nakloněná oběžná dráha / Neskloněná oběžná dráha Oskulační oběžná dráha Parabolická trajektorie Referenční oběžná dráha (včetně nízké ) synchronní oběžné dráze ( Polosynchronní subsynchronní ) Stacionární oběžná dráha
Geocentrický	geosynchronní oběžná dráha geostacionární oběžná dráha Slunečně synchronní oběžná dráha Nízká oběžná dráha Země Střední oběžná dráha Země Vysoká oběžná dráha Země Orbit "blesk" Rovníková dráha Orbita Měsíce polární oběžná dráha Orbit "Tundra" TLE
Kolem dalších nebeských těles a bodů	Areosynchronní oběžná dráha Areostacionární dráha halo oběžná dráha Orbit Lissajous měsíční oběžné dráze Heliocentrická oběžná dráha Slunečně synchronní oběžná dráha

Možnosti

Klasický	$i\,\!$ Nálada $\Omega\,\!$ Zeměpisná délka vzestupného uzlu $E\,\!$ Excentricita $\omega\,\!$ argument periapse $A\,\!$ Hlavní osa $M_o\,\!$ Průměrná anomálie za epochu
jiný	$\nu\,\!$ Skutečná anomálie $b\,\!$ Vedlejší osa $E\,\!$ Excentrická anomálie $L\,\!$ Průměrná zeměpisná délka $l\,\!$ skutečnou zeměpisnou délku $T\,\!$ Období oběhu

Orbitální manévry
Bieliptická přenosová dráha Charakteristická rychlostní rozpětí geotransferová dráha Gravitační manévr Gravitační obrat Hohmannova oběžná dráha Nízkonákladová přechodová cesta Oberthův efekt Změna sklonu oběžné dráhy Fázování oběžné dráhy Dokování Transpozice, dokování a extrakce odtahovací manévr

Další témata astrodynamiky

Nebeský souřadnicový systém
Rovníkový souřadnicový systém
Epocha
Ephemeris
Keplerovy zákony
Problém gravitačního N-tělesa
Lagrangeovy body
Poruchy
Orbitální rovnice meziplanetární dopravní sítě
Apocentrum a periapse
Orbitální rychlost
Parametr gravitace
Orbitální stavové vektory
Speciální orbitální energie
Speciální relativní točivý moment
přímý pohyb
retrográdní pohyb
Orbitální dráha