Obdélníková metoda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. května 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Metoda obdélníků je metoda numerické integrace funkce jedné proměnné, která spočívá v nahrazení integrandu polynomem nultého stupně, tedy konstantou, na každém elementárním segmentu. Pokud budeme uvažovat graf integrandu, pak bude metoda spočívat v přibližném výpočtu plochy pod grafem sečtením ploch konečného počtu obdélníků, jejichž šířka bude určena vzdáleností mezi odpovídajícími sousedními integracemi. uzly a výšku podle hodnoty integrandu v těchto uzlech. Algebraický řád přesnosti je 0. (Pro vzorec středních obdélníků je to 1).

Pokud je segment elementární a nepodléhá dalšímu dělení, lze hodnotu integrálu zjistit z $\left[a,b\right]$

Vzorec levých obdélníků : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\přibližně f(a)(ba).$
Vzorec pravých obdélníků : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\přibližně f(b)(ba).$
Vzorec obdélníků (střední): $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\cca f\left({\frac {a+b}{2}}\right)(ba).$

Složené kvadraturní vzorce

V případě rozdělení integračního segmentu na elementární segmenty jsou výše uvedené vzorce aplikovány na každý z těchto elementárních segmentů mezi dvěma sousedními uzly. Výsledkem jsou složené kvadraturní vzorce $n$

Pro levé obdélníky : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\přibližně \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f(x_{i})(x_{{i+ 1 }}-x_{i}).$
Pro pravé obdélníky : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\přibližně \sum _{{i=1}}^{n}f(x_{i})(x_{i}-x_{{i -jeden}}).$
Pro střední obdélníky : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\cca \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f\left({\frac {x_{i}+ x_{{i+1}}}{2}}\vpravo)(x_{{i+1}}-x_{i})=\součet _{{i=1}}^{n}f\vlevo( {\frac {x_{{i-1}}+x_{i}}{2}}\right)(x_{i}-x_{{i-1}}).$

Vzorec s výpočtem hodnoty ve středu mezi dvěma uzly lze použít pouze tehdy, když je integrand specifikován analyticky nebo jiným způsobem, který umožňuje výpočet hodnoty v libovolném bodě. V úlohách, kde je funkce dána tabulkou hodnot, zbývá pouze vypočítat průměrnou hodnotu mezi integrály vypočítanou vzorcem levého a pravého obdélníku, což vede ke složenému kvadraturnímu lichoběžníkovému vzorci .

Protože složené kvadraturní vzorce nejsou nic jiného než součty zahrnuté v definici Riemannova integrálu , konvergují k přesné hodnotě integrálu. V souladu s tím se s rostoucí přesností zvyšuje výsledek získaný pomocí přibližných vzorců. $n\to\infty$ $n$

Složené vzorce pro jednotné mřížky

Jednotnou mřížku lze popsat pomocí následující sady vzorců:

x_{i}=a+ih,\qquad h={\frac {ba}{n)),

kde je mřížkový krok. $h$

Pro jednotné mřížky lze vzorce obdélníku zapsat jako následující vzorce Cotes :

Složený vzorec levých obdélníků : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\přibližně h\součet _{{i=0}}^{{n-1}}f_{i}=h(f_{0}+ f_{1}+\ldots +f_{{n-1}}).$
Složený vzorec pravých obdélníků : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\přibližně h\součet _{{i=1}}^{{n}}f_{i}=h(f_{1}+f_{ 2}+\ldots +f_{{n}}).$
Složený vzorec středních obdélníků : Tj . odpovídá lichoběžníkovému vzorci. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\přibližně h({\frac {f_{0}}{2}}+f_{1}+\ldots +f_{{n-1} }+{\frac {f_{{n}}}{2}}).$

Chyba metody

U vzorců pravého a levého obdélníku je chyba

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}.

Pro vzorec obdélníků (střední)

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}.

Pro složené vzorce pravého a levého obdélníku na jednotné mřížce:

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}\cdot n={\frac {f'(\xi )}{2}}(ba) h.

Pro složený vzorec obdélníků:

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}\cdot n={\frac {f''(\xi )}{24}}( ba)h^{2}.

Příklad implementace

Vzorec středních obdélníků pro analyticky danou funkci napsaný v C

double InFunction ( double x ) { //Integrovaná funkce vrátit hřích ( x ); } double CalcIntegral ( double a , double b , int n ) { dvojitý výsledek = 0 , h = ( b - a ) / n ; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { výsledek += InFunkce ( a + h / 2 + i * h ); } výsledek *= h ; vrátit výsledek ; }

Viz také

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů