Parabolická trajektorie

Parabolická dráha je  v astrodynamice a nebeské mechanice Keplerova dráha , jejíž excentricita je rovna 1. Pokud se těleso vzdaluje od přitahujícího středu, nazývá se taková dráha úniková dráha, pokud se přiblíží, nazývá se zachycení obíhat. Někdy se taková dráha nazývá dráha C 3  = 0 (viz Charakteristická energie ).

Za standardních předpokladů se těleso pohybující se na únikové dráze bude pohybovat po parabole do nekonečna , zatímco rychlost vzhledem k centrálnímu tělesu bude inklinovat k nule. Oběhové těleso se tak nevrátí do centrálního. Parabolické trajektorie jsou minimální energetické únikové dráhy, sdílejí hyperbolické trajektorie a eliptické dráhy .

Rychlost

Za standardních předpokladů lze orbitální rychlost ( ) tělesa pohybujícího se po parabolické trajektorii vypočítat jako

kde

• je vzdálenost podél vektoru poloměru od obíhajícího tělesa k centrálnímu,
• je gravitační parametr.

V libovolném bodě parabolické trajektorie se těleso pohybuje únikovou rychlostí pro daný bod.

Pokud má těleso vůči Zemi únikovou rychlost, pak tato rychlost nebude stačit k opuštění Sluneční soustavy, proto sice dráha u Země bude mít parabolický tvar, ale ve větší vzdálenosti od Země bude dráha se změní na eliptickou dráhu kolem Slunce.

Rychlost tělesa ( ) na parabolické dráze souvisí s rychlostí na kruhové dráze , jejíž poloměr se rovná délce vektoru poloměru spojujícího těleso na oběžné dráze s centrálním tělesem:

kde je oběžná rychlost tělesa na kruhové dráze.

Pohybová rovnice

Za standardních předpokladů pro těleso pohybující se po parabolické dráze má rovnice oběžné dráhy tvar

kde

• je vzdálenost mezi oběhovým tělesem a centrálním tělesem,
• je moment hybnosti obíhajícího tělesa na jednotku hmotnosti,
• - skutečná anomálie oběhového těla,
• je gravitační parametr.

Energie

Energie tělesa na parabolické dráze ( ) na jednotku hmotnosti daného tělesa je rovna nule, takže zákon zachování energie pro danou dráhu má tvar

kde

• je orbitální rychlost obíhajícího tělesa,
• je vzdálenost mezi oběhovým tělesem a centrálním tělesem,
• je gravitační parametr.

Tato rovnost je zcela ekvivalentní nulové charakteristické energii:

Barkerova rovnice

Barkerova rovnice spojuje dobu cesty se skutečnou anomálií bodu na parabolické trajektorii: [1]

kde

• je skutečná anomálie,
• - aktuální čas v sekundách,
• je doba periapsi, vyjádřená v sekundách,
• je gravitační parametr,
• je ohniskový parametr trajektorie ( ).

V obecnějším smyslu lze časový interval mezi dvěma polohami těla na oběžné dráze vyjádřit takto:

Jiným způsobem lze rovnici zapsat pomocí pericentrické vzdálenosti, v případě parabolické trajektorie r p = p/2:

Na rozdíl od Keplerovy rovnice , používané k určení skutečné anomálie v případě eliptické nebo hyperbolické trajektorie, lze skutečnou anomálii v Barkerově rovnici nalézt okamžitě v čase t. Pokud provedeme následující substituce: [2]

pak se získá výraz pro skutečnou anomálii:

Radiální parabolická trajektorie

Radiální parabolická trajektorie je neperiodická radiální trajektorie , na které je relativní rychlost dvou objektů vždy rovna únikové rychlosti. Jsou dva případy: tělesa se od sebe vzdalují nebo se k sobě přibližují.

Závislost polohy na čase má poměrně jednoduchý tvar:

kde

• μ je gravitační parametr,
• odpovídá extrapolovanému času fiktivního začátku nebo konce pohybu ve středu přitahujícího středu.

V každém okamžiku je průměrná rychlost od okamžiku 1,5násobkem aktuální rychlosti.

Aby moment odpovídal kontaktu oběžného tělesa s povrchem centrálního tělesa, lze uplatnit časový posun; například pro Zemi (a další sféricky symetrická tělesa se stejnou průměrnou hustotou) by měl být jako centrální těleso aplikován časový posun 6 minut 20 sekund.

Poznámky

1. ↑ Bate, Roger; Mueller, Donald; Bílá, Jerry. Základy astrodynamiky. - Dover Publications, Inc., New York, 1971. - ISBN 0-486-60061-0 . str. 188
2. ↑ Montenbruck, Oliver; Pfleger, Thomas. Astronomie na osobním počítači. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009. - ISBN 978-3-540-67221-0 . str. 64