Landauovy problémy

Na mezinárodním kongresu matematiků v roce 1912 Edmund Landau vyjmenoval čtyři hlavní problémy teorie prvočísel . Tyto problémy byly v jeho proslovu vyjádřeny jako „nedobytné v současném stavu matematiky“ a jsou nyní známé jako Landauovy problémy .

  1. Goldbachova domněnka : Může být jakékoli sudé celé číslo větší než 4 zapsáno jako součet dvou prvočísel?
  2. Dohad dvojčat : Existuje nekonečný počet prvočísel p , takže p + 2 je také prvočíslo?
  3. Legendrova domněnka : Je mezi dvěma po sobě jdoucími dokonalými čtverci vždy alespoň jedno prvočíslo ?
  4. Existuje nekonečně mnoho prvočísel p , pro která je p − 1 dokonalý čtverec? Jinými slovy, existuje nekonečný počet prvočísel ve tvaru n 2 + 1? (sekvence A002496 v OEIS ).

Všechna čtyři čísla pro rok 2022 zůstávají otevřená.

Pokrok směrem k řešení problémů

Goldbachova domněnka

Vinogradovova věta dokazuje slabou Goldbachovu domněnku pro dostatečně velké n . V roce 2013 Harald Helfgott prokázal slabý dohad pro všechna lichá čísla větší než 5 [1] . Na rozdíl od Goldbachova problému Goldbachova slabá domněnka uvádí, že jakékoli liché číslo větší než 5 lze vyjádřit jako součet tří prvočísel. Ačkoli Goldbachova silná domněnka nebyla prokázána ani vyvrácena, důkaz slabé domněnky by vyplýval z jejího důkazu.

Chenova věta dokazuje, že pro všechna dostatečně velká n , kde p je prvočíslo a q je prvočíslo nebo polojednoduché . Montgomery a Vaughan ukázali, že sudá čísla, která nelze reprezentovat jako součet dvou prvočísel, mají hustotu nula [2] .

V roce 2015 Tomohiro Yamada dokázal explicitní verzi Chenovy věty [3] : jakékoli sudé číslo větší, než je součet prvočísel a součin nejvýše dvou prvočísel.

Dohad dvojčat

Zhang Yitang [4] ukázal, že existuje nekonečně mnoho prvočíselných párů s rozsahem omezeným na 70 milionů, a tento výsledek byl vylepšen na rozsah délky 246 v kombinaci s projektem Polymath [5] . Přijetím zobecněné Elliot-Halberstamovy hypotézy se skóre zlepšuje na 6 ( Meinard [6] , Goldston, Pinz a Yildirim [7] ).

Chen ukázal, že existuje nekonečně mnoho prvočísel p (později nazývaných Chen prvočísla ), takže p +2 je prvočíslo nebo poloprvočíslo.

Legendreova domněnka

Stačí zkontrolovat, že každá mezera mezi prvočísly většími než p je menší než . Tabulka maximálních mezer mezi prvočísly ukazuje, že hypotéza je pravdivá až do 4×10 18 [8] . Protipříklad kolem 10 18 by měl rozpětí padesátimilionkrát větší než průměrné rozpětí. Matomaki ukázal, že existují nanejvýš příklady porušující domněnky následované mezerou větší než . Zejména,

[9] .

Inghamův výsledek ukazuje, že mezi a pro jakékoli dostatečně velké n existuje prvočíslo [10] .

Téměř čtvercová prvočísla

Friedlander-Ivanetsova věta ukazuje, že nekonečný počet prvočísel má tvar [11] .

Ivanets ukázal, že existuje nekonečný počet čísel tvaru s nejvýše dvěma prvočísly [12] [13] .

Ankeny dokázal, že pokud platí zobecněná Riemannova hypotéza pro L-funkce na Heckeho znacích , existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru c [14] .

Deshuilliers a Ivanets [15] , kteří zlepšili výsledek Hooleyho [16] a Todda [17] , ukázali, že existuje nekonečně mnoho čísel tvaru s větším prvočinitelem alespoň . Nahradíme-li exponent číslem 2, dostaneme výrok hypotézy.

Naopak Brunovo síto ukazuje, že existují prvočísla menší než x .

Poznámky

  1. ↑
    • Helfgott, H. A. (2013), Hlavní oblouky pro Goldbachovu větu, arΧiv : 1305,2897 [math.NT]. 
    • Helfgott, H. A. (2012), Malé oblouky pro Goldbachův problém, arΧiv : 1205,5252 [math.NT]. 
    • Helfgott, H.A. (2013), The ternary Goldbach conjecture is true, arΧiv : 1312.7748 [math.NT]. 
  2. ↑ Montgomery, Vaughan, 1975 , str. 353–370.
  3. ↑ * Yamada, Tomohiro (2015-11-11), Explicitní Chenova věta, arΧiv : 1511.03409 [math.NT]. 
  4. ↑ Zhang, 2014 , str. 1121–1174.
  5. ↑ Polymath, 2014 , str. 12.
  6. ↑ Maynard .
  7. ↑ Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım, 2006 , s. 61–65.
  8. ↑ Andersen .
  9. ↑ Matomäki, 2007 , s. 489–518.
  10. ↑ Ingham, 1937 , s. 255–266.
  11. ↑ Friedlander, Iwaniec, 1997 , str. 1054–1058.
  12. ↑ Iwaniec, 1978 , str. 178–188.
  13. ↑ Oliver, 2012 , str. 241–261.
  14. ↑ Ankeny, 1952 , str. 913–919.
  15. ↑ Deshouillers, Iwaniec, 1982 , s. 1–11.
  16. ↑ Hooley, 1967 , str. 281-299.
  17. ↑ Todd, 1949 , str. 517–528.

Literatura

Odkazy

 Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy