Série recipročních prvočísel

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. června 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Množství vzájemných prvočísel se liší . to je:

\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{ \frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{ 17}}+\cdots=\infty

Tuto skutečnost prokázal Leonhard Euler v roce 1737 [1] , čímž posílil výsledek Eukleida (3. století př. n. l.), že prvočísel je nekonečně mnoho .

Existuje řada důkazů Eulerova výsledku, včetně odhadu pro spodní hranici dílčích součtů, který uvádí, že

\sum _{\scriptstyle p{\text{prime)) \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p))\geqslant \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}

pro všechna přirozená čísla n . Dvojitý přirozený logaritmus (ln ln) ukazuje, že divergence řady je velmi pomalá. Viz článek "Meissel-Mertensova konstanta" .

Harmonická řada

Divergenci této řady dokázal Euler. K tomu zvažoval harmonickou řadu :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty$

A také následující "identitu" , se kterou také ukázal, že množina prvočísel je nekonečná:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{ \frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$

Zde se součin přebírá všechna prvočísla. Takové nekonečné produkty se dnes nazývají Eulerovy produkty . Produkt nahoře je odrazem základního teorému aritmetiky . Euler si všiml, že pokud by byl počet prvočísel konečný, pak by součin napravo musel konvergovat, což je v rozporu s divergenci harmonické řady.

Důkazy

Eulerův důkaz

Euler pokračoval ve výše popsané úvaze a vzal přirozený logaritmus každé strany. Poté použil rozšíření Taylorovy řady a také konvergenci inverzních mocninných řad: ${\textstyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 4}}{4}}+\tečky }$

{\begin{aligned}\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\ln \left(\ prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1))}\right)=-\sum _{p}\ln \left(1-{\frac {1}{p)) \right)\\&{}=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1} {3p^{3}}}+\cdots \right)\\&{}=\součet _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\součet _ {p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{ \frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\&{}=A+{\frac {1}{2}}B+ {\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\&{}=A+K\end{aligned}}

s pevnou konstantou K < 1 . Poté nemovitost užíval

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))=\ln \infty ,

jehož odvození vysvětlil například v pozdějším článku z roku 1748 [2] , přiřazením x = 1 v Taylorově expanzi

\ln \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n} }.

To mu umožnilo učinit závěr

A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{ \frac {1}{11}}+\cdots =\ln \ln \infty .

Euler měl pravděpodobně na mysli, že součet převrácených čísel prvočísel menších než n roste asymptoticky, protože ln ln n má sklon k nekonečnu. Ukázalo se, že tomu tak skutečně je, a přesnější verzi této skutečnosti rigorózně doložil Franz Mertens v roce 1874 [3] . Euler na druhé straně získal správný výsledek pomocí nerigorózních metod.

Erdősův důkaz horní a dolní hranicí

Následující důkaz rozporu je kvůli Palu Erdősovi .

Nechť p i označuje i -té prvočíslo. Představte si, že součet reciprokých prvočísel konverguje . Tito.

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i))}<\infty

Pak existuje nejmenší kladné celé číslo k takové, že

\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)

Pro kladné celé číslo x označme Mx množinu n z množiny { 1 , 2 , …, x } , které nejsou dělitelné žádným prvočíslem větším než p k (nebo ekvivalentně všemi , které jsou součinem mocnin prvočísla ). Nyní můžeme vypsat horní a dolní mez pro počet prvků v . Pro velké x vedou tyto meze k rozporu. $n\leqslant x$ ${\displaystyle p_{i}\leqslant p_{k))$ $|M_{x}|$ $M_{x}$

Nejlepší skóre:

Jakékoli n v M x lze zapsat jako m a r s kladnými celými čísly , kde r je číslo bez čtverců . Protože při rozkladu na prvočíslo r může být pouze k prvočísel (s exponentem 1) , existuje nanejvýš 2k různých možností pro r . Navíc existuje nejvíce možných hodnot pro m . To dává horní hranici

n=m^{2}r

{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k))

\sqrt{x}

|M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)

Spodní skóre:

Zbývající čísla v rozdílu množin {1, 2, …, x } \ M x jsou všechna dělitelná prvočísly většími než . Označme množinu takových n z {1, 2, …, x } , které jsou dělitelné i -tým prvočíslem . Pak

x-|M_{x}|

p_{k}

{\displaystyle N_{i,x))

p_{i}

{\displaystyle \{1,2,\ldots ,x\}\smallsetminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x))

Protože počet celých čísel nepřesahuje (ve skutečnosti je roven nule pro ), dostáváme

{\displaystyle N_{i,x))

{\displaystyle {\tfrac {x}{p_{i))))

p_{i}>x

{\displaystyle x-|M_{x}|\leqslant \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\ infty }{\frac {x}{p_{i))))

Pomocí (1) odtud dostaneme

{\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)

Dostaneme rozpor — jestliže , odhady (2) a (3) nelze provést současně, protože . $x\geqslant 2^{2k+2}$ ${\tfrac {x}{2}}\geqslant 2^{k}{\sqrt {x}}$

Důkaz, že řada roste rychlostí log-log

Existuje další důkaz, který u dílčích součtů uvádí nižší odhad. Zejména to ukazuje, že tyto částky rostou minimálně stejně jako ln ln n . Důkazem je varianta myšlenky Eulerova produktového rozšíření . Níže jsou součty nebo součiny nad p vždy součty nebo součiny nad určitými sadami prvočísel.

Důkaz je založen na následujících čtyřech nerovnostech:

Jakékoli kladné celé číslo i může být jednoznačně reprezentováno jako součin čísel bez čtverců a čtverce. To dává nerovnost

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leqslant \prod _{p\leq n}{\left(1+{\frac {1}{p }}\right)}\součet _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))

, kde pro libovolné i mezi 1 a n (rozložený) součin odpovídá druhé mocnině části i a součet odpovídá druhé mocnině i (viz článek „ Základní věta aritmetiky “).

Horní mez pro přirozený logaritmus

{\begin{aligned}\ln(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i= 1}^{n}\underbrace {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i} }}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}

Dolní mez 1 + x < exp( x ) pro exponenciální funkci platí pro všechna x > 0 .
Nechte _ Horní mez (pomocí teleskopické řady ) pro dílčí součty $n \geqslant 2$

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n }\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2))))-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2))))\ right)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4))))\,>\,{\frac {1}{k^{2} ))}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3} }\end{aligned}}

Kombinací všech těchto nerovností dostaneme

{\begin{aligned}\ln(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p \leq n}{\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}} \\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}{\exp \left({\frac {1}{p}}\right)}\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aligned}}

Po vydělení a převzetí přirozeného logaritmu obou částí dostaneme ${\tfrac {5}{3}}$

\ln \ln(n+1)-\ln {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}

Q.E.D. ∎

Použitím

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

(viz "Basilejský problém" ), výše uvedenou konstantu lze vylepšit na . Ve skutečnosti se ukazuje, že $\ln {\tfrac {5}{3}}=0{,}51082\ldots$ $\ln {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=0{,}4977\ldots$

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n\right)=M

kde je Meissel-Mertensova konstanta (něco podobného známější Euler-Mascheroniho konstantě ). $M=0{,}261497\ldots$

Důkaz z Dusarovy nerovnosti

Z Dusarovy nerovnosti máme

p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n\quad

pro

n\geqslant 6

Pak

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n+n\ln \ln n }}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\ln n}}=\infty \end{aligned}}

podle Cauchy-Maclaurinova testu integrální konvergence . To ukazuje, že řada nalevo se rozchází.

Dílčí součty

Zatímco částečné součty reciprokých čísel pro prvočísla nakonec dosáhnou jakékoli celočíselné hodnoty, nikdy se nemohou rovnat celému číslu.

Jeden z důkazů [4] je toho proveden indukcí - první dílčí součet je roven a má tvar (tedy lichý / sudý). Pokud má n-tý částečný součet (pro ) tvar , pak se tý součet rovná ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {odd}{even}}$ $n\geqslant 1$ ${\tfrac {odd}{even}}$ $(n+1)$

{\frac {\text{odd}}{\text{even}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}\ cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text {even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}

protože první číslo je liché. Protože součet je opět ve tvaru , nemůže být částečný součet celé číslo (2 dělí jmenovatel, ale nedělí čitatele), což dokazuje tvrzení. $(n+1)$ $p_{n+1}$ ${\tfrac {odd}{even}}$

Další důkaz přepisuje výraz pro součet prvních n převrácených čísel prvočísel (nebo součet převrácených čísel libovolné množiny prvočísel) ve smyslu společného jmenovatele , který je součinem všech těchto prvočísel. Potom každé z těchto prvočísel dělí všechny členy čitatele kromě jednoho, a proto nedělí čitatel jako celek. Ale každé prvočíslo dělí jmenovatele. Zlomek je tedy neredukovatelný a není celým číslem.

Viz také

Euklidova věta , která říká, že prvočísel je nekonečně mnoho.
Brunova věta o konvergenci součtu reciprokých dvojčísel k Brunově konstantě .

Poznámky

↑ Euler, 1737 , str. 160–188.
↑ Euler, 1748 , str. 228, býv. jeden.
↑ Mertens, 1874 , s. 46–62.
↑ Pane, 2015 , str. 128–130.

Literatura

William Dunham. Euler, pán nás všech. - MAA , 1999. - S. 61-79. — ISBN 0-88385-328-0 .
Leonhard Euler . Různá pozorování týkající se nekonečných řad = Variae viewses circa series infinitas // Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Leonhard Euler . Úvod do analysin infinitorum . Tomus Primus. — Lausanne: Bousquet, 1748.
Mertens F. Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie // J. Reine Angew. Matematika.. - 1874. - T. 78 .
Nick Lord. Rychlé důkazy, že určité součty zlomků nejsou celá čísla // The Mathematical Gazette. - 2015. - T. 99 . - doi : 10.1017/mag.2014.16 .

Odkazy

Caldwell, Chris K. Prvočísel je nekonečně mnoho, ale jak velké nekonečno? . (neurčitý)

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux