Stochastický integrál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. ledna 2022; kontroly vyžadují 8 úprav .

Stochastický integrál je integrál tvaru , kde je náhodný proces s nezávislými normálními přírůstky. Stochastické integrály jsou široce používány ve stochastických diferenciálních rovnicích . Stochastický integrál nelze vypočítat jako obvyklý Stieltjesův integrál [1] . $\int f(t)dy(t)$ ${y(t),t\in T}$

Stochastický integrál deterministické funkce

Představme si Hilbertův prostor náhodných veličin , , se skalárním součinem a normou odmocnina . Zde - označuje očekávanou hodnotu. V rámci Hilbertova prostoru lze popsat nejdůležitější charakteristiky náhodných veličin, jako jsou podmíněná matematická očekávání, podmíněné pravděpodobnosti atd. [2] $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$ ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2))))$ ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2))$ ${\mathbb {E}}$

Nechť je konečný nebo nekonečný segment reálné čáry a na jeho polovičních intervalech tvaru je dána stochastická aditivní funkce s ortogonálními hodnotami z Hilbertova prostoru náhodných proměnných , která má vlastnosti: $T$ $\Delta =\left(s,t\right]\subseteq T$ $\eta (\Delta )$ $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$

Pro všechny disjunktní , , jsou veličiny , ortogonální, to znamená, že jejich skalární součin v Hilbertově prostoru je roven nule: ${\displaystyle \Delta _{1))$ $\Delta _{2}$ $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0$
Jestliže , jsou neprotínající se polointervaly a tvoří polointerval, pak $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})$
$\left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|$ . Zde je norma v Hilbertově prostoru pro . $\left\|\right\|$ $\left|\Delta \right|=ts$ $\Delta =\left(s,t\right]$

Nechť deterministickou funkci, která splňuje podmínku . Uvažujme posloupnost po částech konstantních funkcí , které aproximují funkci takovým způsobem, že , $\varphi (t)$ $\int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty$ $\varphi _{n}(t)$ $\varphi (t)$ $\lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0$

Stochastický integrál deterministické funkce je limita [3] $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)$ $\varphi (t)$ $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)$

Stochastický integrál stochastického procesu

Zvažte integrál

\int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),

kde je Wienerův proces s parametrem jednotkové disperze. Interval rozdělíme po bodech na podintervaly. Pomocí předchozí definice integrálu pro deterministickou funkci lze stochastický integrál definovat jedním ze dvou výrazů [4] : ${\omega (t),t\in T}$ $[0; T]$ $0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{{N+1}}=T$ $N$

I_{0}=\lim \sum _{{i=1}}^{{N}}\omega (t_{i})[\omega (t_{{i+1}})-\omega (t_{ i})]

nebo

I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i })].

Tyto integrály nejsou stejné, protože podle definice Wienerova procesu [5]

I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{ 2}=t.

Zobecněný stochastický integrál lze definovat jako parametricky vážený součet integrálů a následující vzorec [5] : $\lambda$ $I_0$ $I_1$

I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],

v . Integrál odpovídá Itô integrálu a shoduje se se Stratonovičovým integrálem. $0\leqslant \lambda \leqslant 1$ $I_0$ $já_{{0,5}}$

Stratonovičův integrál

Stratonovičův integrál má tvar [6]

I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{ i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].

Itô integrální

Itôův integrál má tvar [5]

\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+ 1 })-y(t_{i})].

Jeho hlavní vlastnosti [5] :

$E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).$
$cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$

Zde je funkce střední hodnoty a kovarianční funkce. $m(t)$ $r(t)$

Wienerův integrál

Přiřaďme každé trajektorii jednorozměrného Wienerova procesu určité číslo . Potom lze tuto trajektorii popsat pomocí stochastické funkce . Integrál formuláře $\alpha$ $x(t,\alpha)$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )

se nazývá Wienerův stochastický integrál. Tento integrál se vypočítá integrací po částech , přičemž se bere v úvahu rovnost [7] : $x(0,\alpha )=0$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1 }f'(t)x(t,\alpha )dt.

Jeho hlavní vlastnosti:

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0

[8] .

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2 }=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt

[9] .

Viz také

Poznámky

↑ Ostrom, 1973 , str. 68.
↑ Rozanov, 1982 , s. 57.
↑ Rozanov, 1982 , s. 64.
↑ Ostrom, 1973 , str. 70.
↑ 1 2 3 4 Ostrom, 1973 , str. 71.
↑ Ostrom, 1973 , str. 72.
↑ Wiener, 1961 , s. dvacet.
↑ Wiener, 1961 , s. 21.
↑ Wiener, 1961 , s. 24.

Literatura

Ostrom, K. Yu Úvod do teorie stochastického řízení / přel. z angličtiny. S. A. Anisismov, N. E. Arutyunova, A. L. Bunich; vyd. N. S. Raibman. — M .: Mir , 1973.
Wiener, N. Nelineární problémy v teorii náhodných procesů. -M.:Nakladatelství zahraniční literatury, 1961.
Yu.A. Rožanov . Úvod do teorie náhodných procesů. — M .: Nauka, 1982. — 128 s.

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů