Matematický sofismus

Matematický sofismus (z řeckého σόφισμα - trik, mazaný vynález, hlavolam [1] ) je chybné matematické tvrzení získané pomocí uvažování, které se zdá správné, ale ve skutečnosti obsahuje tu či onu chybu [2] . Důvody chyby mohou být různé - použití akcí zakázaných v matematice (například dělení nulou ), nepřesné použití matematických zákonů nebo použití mimo zónu jejich použitelnosti, logické chyby atd.

Matematický sofismus je zvláštním případem sofismu . Dále v tomto článku hovoříme pouze o matematických sofismech, které se pro stručnost budou nazývat jednoduše sofismy. Sofismy by neměly být zaměňovány s vědeckými paradoxy (například Zenónovy aporie , narozeninový paradox nebo Banach-Tarski paradox ), které neobsahují chyby a často mají značnou vědeckou hodnotu [2] .

Rozbory sofismů, hledání chyb v nich jsou mimořádně cenné v rámci výuky matematiky [3] , pomáhají žákům a studentům jasně porozumět matematickým a logickým zákonitostem a také varují před možnými typickými chybami v aplikaci. těchto zákonů [2] [4] .

Historie

Proclus Diadochus (5. století n. l.) ve svých komentářích k „Principiím“ Euklida řekl, že i Euklides ve 3. století př. n. l. E. sestavil sbírku matematických sofismů na pomoc studentům geometrie; sbírka se jmenovala „ Pseudariya “ a dodnes se nedochovala. Smyslem sofismů je podle Procla naučit studenty odhalovat chyby v uvažování a v budoucnu se jim vyhýbat [4] .

Naučná literatura, ale i sbírky zábavné matematiky v budoucnu až do současnosti často obsahují sofismy s úkolem „najdi chybu“, na jejichž základě se vysvětlují matematická pravidla a prověřují se znalosti čtenářů.

Klasifikace sofismů

Možností seskupování sofismů je více – někteří autoři je seskupují podle typu matematických témat, jiní podle typu chyby v uvažování a jiní oba přístupy kombinují v té či oné podobě.

Ruský učitel V. I. Obreimov navrhl rozdělit sofismy podle druhu chybného výsledku [5] :

Rovnost nerovných.
Nerovnost rovných.
Méně převyšuje více.
Geometrické nekonzistence.
Imaginární je reálné (chyby v uvažování o komplexních číslech ).
Neřešitelné rovnice.

Tato klasifikace byla kritizována za to, že materiál spojuje různé úseky matematiky pro stejnou chybu, což je metodologicky nesprávné, a navíc klasifikační znaky nejsou dostatečně významné [6] .

Německý matematik Hermann Schubert uvažoval o čtyřech typech sofismů ("Mathematical Entertainment and Games", 1897) [6] :

Dělení nulou .
Nejednoznačnost odmocniny .
Chyby v geometrických konstrukcích.
Nesprávná práce s nekonečnem.

Kniha V. M. Bradise a dalších si všímá zjevné neúplnosti tohoto seznamu a nabízí své vlastní [7] :

Nesprávná řeč.
Rozšíření na výjimečné případy (například dělení nulou).
Přiřazování vlastností určitého druhu celému rodu. Například obě strany nerovnosti lze snížit společným kladným faktorem, ale pokud je faktor záporný, je důležité nezapomenout obrátit znaménko nerovnosti.
Špatná aplikace principu okamžité inference konverzí. Například rovnost čísel implikuje rovnost jejich druhých mocnin, ale obráceně to neplatí.
Náhrada exaktních definic geometrickou intuicí.
chyby při sestavování,
Chyby vyplývající z doslovného výkladu zkrácené (podmíněné) formulace některých geometrických tvrzení.
Porušení smyslu podmíněných záznamů.
Vyhýbání se diplomové práci , tedy prokázání jiného než původně uváděného nároku.

Samotný materiál sofismů v knize Bradis a dalších je prezentován přísně podle témat: aritmetika, algebra, geometrie, trigonometrie , přibližné výpočty . Tento článek se také drží tematického členění látky jako nejvhodnějšího pro učitele a studenty.

Elementární matematika

Algebra

Dělení nulou

Sofismus . Nechť jsou libovolná čísla. Jejich rozdíl označíme písmenem , tedy Tuto rovnost vynásobíme Otevřít závorky: Dále seskupíme monočleny takto: nebo: $a,b$ $c,$ $ab=c.$ $ab\colon \quad (ab)^{2}=c(ab).$ $a^{2}-2ab+b^{2}=ca-cb.$ $a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc,$

a(abc)=b(abc).

Zmenšením dostaneme: to znamená, že všechna čísla jsou si rovna. $abc,$ $a=b,$

Důvod chyby : protože nemáme právo zmenšit, protože tento výraz je roven nule a nulou nelze zmenšit (tedy dělit) [8] . $ab=c,$ $abc,$

Dělení nulou je jednou z nejčastějších algebraických chyb a toto dělení lze zamaskovat například zmenšením společného činitele. Například zmenšením rovnice na ztratíme kořen . Dalším sofismem je rovnice: $9x^{2}=x$ $X,$ $x=0.$

{\sqrt {x-5}}\cdot x=4{\sqrt {x-5}}.

Zmenšením nejen ztratíme jediný kořen rovnice, ale zároveň získáme další kořen , který není zahrnut v rozsahu přijatelných hodnot neznámé, protože radikální výraz pro se stává záporným [9] . ${\sqrt {x-5)),$ $x=5,$ $x=4,$ $x=4$

Nerovnosti

Sofismus 1 . Nechť jsou libovolná kladná čísla a Vynásobením této nerovnosti a odečtením od obou jejích částí dostaneme: Faktoring: $a,b$ $a>b.$ $b$ $a^{2},$ $ab-a^{2}>b^{2}-a^{2}.$

a(ba)>(b+a)(ba)

Snížením o (podmínkou se nerovná nule) dostaneme nerovnost: Odečtěte výsledek od obou částí : To znamená, že každé kladné číslo je zároveň záporné. $ba$ $a>b+a.$ $A,$ $0>b.$ $b$

Příčina chyby : obě části nerovnosti lze zmenšit společným nenulovým faktorem, ale pokud je tento faktor záporný, musí se znaménko nerovnosti obrátit. To je přesně ten případ, protože po zmenšení dostaneme: chyba byla odstraněna [10] . $ba<0.$ $a<b+a,$

Extrahování kořene

Sofismus 1 . Správná rovnost: lze zapsat jako: Vyjmutím druhé odmocniny získáme: odkud: $1-3+{\frac {9}{4}}=4-6+{\frac {9}{4}}$ $\left(1-{\frac {3}{2}}\right)^{2}=\left(2-{\frac {3}{2}}\right)^{2}.$ $1-{\frac {3}{2}}=2-{\frac {3}{2)),$ $1=2.$

Příčina chyby : z rovnosti druhých mocnin veličin vyplývá rovnost samotných veličin, pouze pokud mají stejná znaménka. Správná extrakce odmocniny dává výsledek s absolutní hodnotou : a pak se chyba nevyskytuje [11] . $\left|1-{\frac {3}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|,$

Sofismus 2 . Na střední škole je zvýšení čísla definováno nejen na celé číslo, ale také na zlomkovou mocninu: Uvažujme sofismus dokazující, že . $a^{m/n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m}.$ $-1=1$

-1=(-1)^{\frac {2}{2}}=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({( -1)^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}={\color {modrá}{\sqrt {\barva {černá }1}}}=1

Příčina chyby : zvýšení na zlomkovou mocninu je definováno pouze pro nezáporná čísla [12] .

Sofismus 3 . Při zvyšování hodnot goniometrických funkcí na zlomkovou mocninu je třeba dávat pozor . Zdá se zřejmé, že když dostaneme chybnou rovnost: Již bylo vysvětleno výše, že aritmetická odmocnina druhé mocniny čísla je rovna absolutní hodnotě čísla, takže správný zápis je následující [13] : $(\cos ^{2}x)^{3/2}=\cos ^{3}x,$ $x=\pi$ $1^{3/2}=-1.$ $(\cos ^{2}x)^{3/2}=|\cos x|^{3}.$

Nesprávné podmínky problému

Sofismus 1 . Řešíme rovnici: $3{\sqrt {x}}+x+2=0.$

3{\sqrt {x}}=-(x+2);\quad 9x=x^{2}+4x+4;\quad x^{2}-5x+4=0

x_{1}=4;\quad x_{2}=1

Kontrola: substituce prvního kořene v rovnici dává rovnost ; substituce druhého dává: $12=0,$ $6=0.$

Příčina chyby : Původní rovnice nemá řešení. To lze vidět ze skutečnosti, že levá strana je přísně větší než nula , protože je pod kořenem). Při kvadratuře se objevily dva cizí kořeny, ale kontrola je odmítla [14] . $(x\geqslant 0,$

Sofismus 2 . Vyřešme rovnici: kde je libovolné reálné číslo . $x^{2}-ax=-{\frac {1}{3}}a^{2},$ $A$

Vynásobením obou stran rovnice a následným sečtením rovnici převedeme do tvaru: Po vyjmutí třetí odmocniny dostaneme rovnici , odkud: to znamená, že všechna čísla jsou rovna nule. $(-3a)$ $x^{3}-a^{3},$ $(xa)^{3}=x^{3}.$ $xa=x,$ $a=0,$

Důvod chyby : s neznámou jsme zacházeli jako s reálným číslem, ale jak můžete snadno vidět, původní rovnice nemá reálné kořeny (kromě případu ), protože je diskriminační Pokud rovnici uvažujeme v soustavě komplexních čísla , pak jsou všechny úvahy před extrakcí kubických odmocnin správné, ale komplexní krychlová odmocnina má tři hodnoty, takže rovnost krychlí neimplikuje rovnost samotných veličin [15] . $X$ $a=0$ $D=-a^{2}/3\leqslant 0.$

Geometrie

Sofismus 1 . Rozřízneme trojúhelník na čtyři části, jak je znázorněno v horní části obrázku, a z těchto částí pak vytvarujeme nový trojúhelník stejné velikosti, jak je znázorněno ve spodní části obrázku. Z přeskupení dílů se celková plocha změní o jednu buňku!

Důvod chyby : čára, která se zdá být přeponou trojúhelníku, je ve skutečnosti přerušovaná čára, to znamená, že dotyčný obrazec není trojúhelník, ale čtyřúhelník . To lze snadno odvodit z toho, že v červeném trojúhelníku je poměr nohou 3:8 a v modrém 2:5, což je o něco větší. To znamená, že přerušovaná čára horního obrázku je mírně konkávní, čára dolního obrázku je mírně konvexní a rozdíl v ploše dává pouze buňku „navíc“ [16] .

Tento sofismus má mnoho možností, z nichž jedna je znázorněna na obrázku: posunutím částí obdélníku s plochou získáme obdélník s plochou . Důvod je podobný: díra o ploše kostky buňka je protažena podél úhlopříčky druhého obdélníku. $24\cdot 9=216,$ $31\cdot 7=217.$

Sofismus 2 . Budeme spoléhat na znaménko : dva trojúhelníky jsou stejné, pokud mají dvě stejné strany a jeden z úhlů. Trojúhelníky ABC a ABC' mají stejný úhel a dvě strany ( společná strana, ), a proto jsou trojúhelníky stejné, což odporuje konstrukci na obrázku (úhly a nejsou rovny 90°, takže body C a C' nejsou shodují se). $\beta$ $C$ $b=b'$ $\gamma$ $\gamma'$

Příčina chyby : nedbalá a tedy chybná formulace kritéria rovnosti trojúhelníků, správně: " dva trojúhelníky jsou si rovny, pokud mají dvě stejné strany a úhel mezi nimi ." Ve skutečnosti lze tento sofismus považovat za přesvědčivé vyvrácení chybného znamení [17] .

Sofismus 3 : „všechny trojúhelníky jsou rovnoramenné“ (často připisováno Lewisi Carrollovi [18] ) [19] . Uvažujme libovolný trojúhelník ABC (viz obrázek). Osa úhlu A a kolmice ke středu strany BC se protínají v nějakém bodě O. Pusťme kolmice OR (na stranu AB) a OQ (na stranu AC) z bodu O a také spojme O s vrcholy B a C ..

Pravoúhlé trojúhelníky RAO a QAO jsou shodné, protože mají stejnou stranu (AO) a úhel (∠RAO = ∠QAO). Pravoúhlé trojúhelníky ROB a QOC jsou si rovny, protože mají dvě stejné strany: BO = OC a RO = OQ. Ale pak AR = AQ, RB = QC a strana AB = AR + RB = AQ + QC = AC je rovnoramenný trojúhelník.

Příčina chyby : záměrně zkreslená kresba. Pokud se to udělá opatrně, bod O nebude uvnitř, ale vně trojúhelníku (na kružnici opsané kolem trojúhelníku ). V tomto případě je jeden z bodů R a Q na straně trojúhelníku a druhý na pokračování druhé strany: pokud je strana , pak R je uvnitř, Q je venku, jinak naopak. V prvním případě - mínus místo plus; druhý případ je analyzován podobně [20] . $AB>AC$ $AB=AR+RB;AC=AQ-QC$

Trigonometrie

Sofismus . Uvažujme dobře známou goniometrickou identitu : V každém trojúhelníku je tedy součet úhlů na jedné straně stejný podle identity a na druhé straně jsou tedy úhly také stejné: Odečtením této rovnosti od identity: dostaneme: nebo Závěr: jakýkoli trojúhelník je pravoúhlý . $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $\sin(\pi -(\alpha +\beta ))$ $\sin(\alpha +\beta )$ $\sin \gamma .$ $\alpha +\beta =\gamma .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $2\gamma =\pi ,$ $\gamma =\pi /2.$

Důvod chyby : rovnost skutečně nastává pro jakýkoli trojúhelník, ale rovnost úhlů z ní nevyplývá - to ukazuje i vzorec Při libovolných dvou úhlech, které se doplňují k sinusu, jsou stejné [21] . $\sin(\alpha +\beta )=\sin \gamma$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\pi,$

Důkaz indukcí

Sofismus . Dokažme, že všichni koně jsou stejné barvy. Důkazem je indukce na počtu koní. Když je tvrzení triviální. Nechte všechna stáda koní stejné barvy; dokázat pro stádo koní. Odeberme jednoho koně; všechny zbývající mají stejnou barvu podle indukční hypotézy. Vrátíme koně do stáda a vezmeme dalšího koně. Pak se ukáže, že předtím oddělený kůň je stejné barvy. $N$ $N=1$ $N$ $N+1$

Příčina chyby : druhá část důkazu nefunguje při přechodu od do (trik s oddělením koně pak nic nedokazuje) [22] . $N=1$ $N=2$

Tento vtipný sofismus má zajímavou variaci: důkaz tvrzení, že všechna celá čísla jsou si rovna. Dokažme indukcí na délce segmentu přirozených čísel . Když je v segmentu pouze jedno číslo a tvrzení je pravdivé. Nechť tvrzení platí pro první čísla, dokažme pro Vezměme dvě libovolná čísla Induktivním předpokladem, ale pak ■ Chyba je zde podobná jako v předchozím: pro segment délky 2 přesahuje hodnota induktivní předpoklad , ničí logiku důkazu [23] . $N$ $1,2,3,\tečky ,N$ $N=1$ $N$ $N+1.$ $1\leqslant a,b\leqslant N+1.$ $a-1=b-1,$ $a=b$ $a=1,b=2$ $a-1$

Vyšší matematika

Komplexní čísla

Sofismus 1 . Pomyslná jednotka je definována jako ano Ale ukazuje se, že ${\sqrt {-1}),$ $i^{2}=-1.$ $i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)))={\sqrt {1 }}=1.$ $1=-1.$

Příčina chyby : v systému komplexních čísel musíte být opatrní s kořeny. Aritmetický kořen , označený radikálem , je definován pouze pro kladná reálná čísla a komplexní odmocniny záporných čísel jsou dvouhodnotové. Rovnost by tedy měla být nahrazena a pak nedochází k chybě [24] . ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=\pm 1,$

Sofismus 2 . Pozvedněme známou identitu na moc . Nalevo se to zjevně ukáže napravo 1. V důsledku toho: což, jak lze snadno ověřit, je špatně. $e^{2\pi i}=1$ $i.$ $e^{-2\pi },$ $e^{-2\pi }=1,$

Příčina chyby : zvýšení na komplexní mocninu dává výsledek s více hodnotami, takže zde pravidlo neplatí, musíte použít obecnou definici (viz Komplexní mocnina ); Pečlivé použití vzorců pro stanovení komplexního stupně dává vlevo a vpravo, odtud je vidět, že kořenem chyby je záměna hodnot tohoto výrazu pro a pro ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pi k};$ $k=0$ $k=1.$

Limity funkcí

Sofismus 1 . Najdeme limitu výrazu , kdy Pokud nejprve aspirujeme , pak limita je (bez ohledu na hodnotu ), a pokud začneme od toho limita je Ukáže se, že libovolné číslo je rovno své inverzní. ${\frac {ax+y}{x+ay)),$ $x,y\to \infty .$ $x\to \infty ,$ $A$ $y$ $y,$ $1/a.$

Příčina chyby : ve skutečnosti je chyba pouze v konečném výstupu. Permutace řádu dílčích limit , obecně řečeno, může změnit výsledek [25] .

Akce s nekonečnými řadami

Sofismus 1 . Uvažujme nekonečnou řadu pro přirozený logaritmus , získanou z Mercatorovy řady s $\ln 2$ $x=1\colon$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5 }}-{\frac {1}{6}}\tečky

Seskupme pojmy se stejnými znaky:

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\tečky \right)-\left({\frac {1}{2 }}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac { 1}{5}}\tečky \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\tečky \ vpravo)-2\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\tečky \right)

Kombinací prvních dvou závorek a přidáním faktoru 2 do třetí závorky dostaneme rozdíl dvou stejných hodnot, tedy nulu, i když se nule nerovná: $\ln 2$

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)- \left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\tečky \right)=0

Příčina chyby : ne každé přeskupení členů řady je povoleno, platí pouze pro absolutně konvergentní řady . Nesprávná je zejména reprezentace konvergentní počáteční řady jako rozdílu dvou divergentních řad. Řada se nazývá „ harmonická “ a liší se, i když se od původní liší pouze ve znacích termínů [26] . $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ tečky$

Integrace

Neurčitý integrál

Sofismus . Integrujeme dvě identity:

{\frac {d}{dx}}\sin ^{2}x=2\sin x\cos x;\quad {\frac {d}{dx}}\cos ^{2}x=- 2\sin x\cos x.

Výsledek:

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x;\quad \int {\sin x\cos xdx}=-{\frac { 1}{2}}\cos ^{2}x

Odečtením druhé od první rovnice dostaneme:

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=0,

zatímco právo by mělo být 1.

Důvod chyby : zapomněli zahrnout integrační konstanty do hodnot neurčitých integrálů [27] :

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x+C_{1};\quad \int {\sin x\cos xdx}= -{\frac {1}{2}}\cos ^{2}x+C_{2}

Určitý integrál

Sofismus 1 . Pojďme najít integrál kladné funkce pomocí Newton-Leibnizova vzorce :

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2.

Integrál pozitivní funkce se ukázal být záporný ("D'Alembertův paradox", 1768) [28] .

Příčina chyby : integrand je nespojitý (a neomezený) na nule, takže na něj nelze použít Newtonův-Leibnizův vzorec .

Sofismus 2 . Pojďme najít integrál kladné funkce metodou změny proměnné :

I=\int \limits _{-1}^{1}x^{2}dx

Zavedeme novou proměnnou ; segment integrace pro přejde do segmentu pro : $y=x^{2};dy=xdx$ $[-1;1]$ $X$ $[1;1]$ $y$

I=\int \limits _{1}^{1}{\sqrt {y}}dy=0.

Správná odpověď:

I={\frac {2}{3)).

Příčina chyby : při nahrazení proměnné musí být staré a nové proměnné v souladu jedna ku jedné , jinak není inverzní funkce definována [29] ; v sofismu je toto pravidlo porušováno. $x=x(y)$

Jiná sofistika

Několik dalších příkladů sofismů a paradoxních závěrů, které vyvolaly živou diskusi ve vědecké komunitě:

Poznámky

↑ Sofismus // Sovětský encyklopedický slovník. - 2. vyd. - M . : Sovětská encyklopedie, 1982. - S. 1241. - 1600 s.
↑ 1 2 3 Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 3-4.
↑ Sergeeva L. V. Využití matematických sofismů v hodinách matematiky . Staženo: 7. března 2020. (Ruština)
↑ 1 2 Bradis a kol., 1959 , str. 7-11.
↑ Obreimov, 1889 .
↑ 1 2 Bradis a kol., 1959 , str. 11-14.
↑ Bradis a kol., 1959 .
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 9.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 65-66.
↑ Bradis a kol., 1959 , str. 89-90.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 6.
↑ Mordkovich A. G. Algebra a začátek analýzy. Učebnice pro ročníky 10-11, díl 1. - ed. 4. - M .: Mněmozina, 2003. - S. 253-255. — 376 s.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 16.
↑ Bradis a kol., 1959 , str. 58.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 7-8, 66-67.
↑ Paradox kari trojúhelníku . Získáno 31. srpna 2019. Archivováno z originálu 31. srpna 2019. (neurčitý)
↑ Pro analýzu problému sestrojení trojúhelníku na dvou stranách a úhlu, který mezi nimi není, viz článek Řešení trojúhelníků nebo v referenční knize: Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics. - M .: Nauka, 1978. - S. 294.
↑ Ve skutečnosti byl sofismus poprvé publikován v knize: Ball WWR Mathematical Recreations and Essays (1892), ze které jej Carroll převzal.
↑ Robin Wilson (2008), Lewis Carroll in Numberland , Penguin Books, str. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 21-23, 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 45-46, 66-67.
↑ Poya, D. Matematika a věrohodné uvažování. - Ed. 2., opraveno. - M .: Nauka, 1975. - S. 140.
↑ Fedin S. N. Matematici také vtipkují . - 4. vyd. — M .: URSS , 2012. — S. 274. — 216 s. - ISBN 978-5-397-02435-8 .
↑ Bradis a kol., 1959 , str. 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 17, 76.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 15, 73-75.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 39, 94.
↑ Markov S. N. Kurz dějin matematiky: učebnice . - Irkutsk: Irkutsk University Publishing House, 1995. - S. 167 . — 248 s. — ISBN 5-7430-0496-X .
↑ Schneider V. E. et al. Krátký kurz vyšší matematiky. Proč. příspěvek pro vysoké školy . - M . : Vyšší škola, 1972. - 640 s.

Literatura

Bradis V. M. Minkovsky V. L., Kharcheva A. K. Chyby v matematickém uvažování. - 2. vyd. - M. : Uchpedgiz, 1959. - 177 s.
- 3. vydání: M.: Osvícení, 1967. - 191 s.
Gardner, Martin . Geometrické klamy (kapitola 6) // Tic-Tac-Toe. — M .: Mir, 1988. — 325 s. — ISBN 5-03-001234-6 .
Gardner, Martin . Matematické sofismy (kapitola 13) // Matematické hádanky a zábava. — M .: Mir, 1971. — 511 s.
Dvoryaninov SV Výuka matematiky a sofismu // Matematické vzdělávání. - 2007. - č. 1 (41).
Madera A. G. , Madera D. A. Matematické sofismy. Věrohodná úvaha vedoucí k chybným tvrzením / Kniha pro žáky 7.–11. - M . : Vzdělávání, 2003. - 112 s. — ISBN 5-09-010795-5 .
Nagibin F. F., Kanin E. S. Matematické sofismy // Matematická rakev. Studentská pomůcka. — Vydání 4. - M .: Vzdělávání, 1984.
Obreimov V. I. Matematické sofismy. - 2. vyd. - Petrohrad. : F. Pavlenkov, 1889. - 79 s.
Perelman Ya. I. Dvakrát dva pět! (Matematické sofismy) . - L . : DZN, 1839. - 16 s.
Furre, Emil. Geometrické hádanky a paralogismy . - Odessa: Mathesis, 1912. - 52 s.
Parta, Bryan. Matematické bludy a paradoxy . - Dover Publications, 1997. - 240 s. — (Doverské knihy o matematice). — ISBN 978-0486296647 .

Odkazy

Klasické bludy . Staženo: 28. března 2020.