Matematický sofismus
Matematický sofismus (z řeckého σόφισμα - trik, mazaný vynález, hlavolam [1] ) je chybné matematické tvrzení získané pomocí uvažování, které se zdá správné, ale ve skutečnosti obsahuje tu či onu chybu [2] . Důvody chyby mohou být různé - použití akcí zakázaných v matematice (například dělení nulou ), nepřesné použití matematických zákonů nebo použití mimo zónu jejich použitelnosti, logické chyby atd.
Matematický sofismus je zvláštním případem sofismu . Dále v tomto článku hovoříme pouze o matematických sofismech, které se pro stručnost budou nazývat jednoduše sofismy. Sofismy by neměly být zaměňovány s vědeckými paradoxy (například Zenónovy aporie , narozeninový paradox nebo Banach-Tarski paradox ), které neobsahují chyby a často mají značnou vědeckou hodnotu [2] .
Rozbory sofismů, hledání chyb v nich jsou mimořádně cenné v rámci výuky matematiky [3] , pomáhají žákům a studentům jasně porozumět matematickým a logickým zákonitostem a také varují před možnými typickými chybami v aplikaci. těchto zákonů [2] [4] .
Historie
Proclus Diadochus (5. století n. l.) ve svých komentářích k „Principiím“ Euklida řekl, že i Euklides ve 3. století př. n. l. E. sestavil sbírku matematických sofismů na pomoc studentům geometrie; sbírka se jmenovala „ Pseudariya “ a dodnes se nedochovala. Smyslem sofismů je podle Procla naučit studenty odhalovat chyby v uvažování a v budoucnu se jim vyhýbat [4] .
Naučná literatura, ale i sbírky zábavné matematiky v budoucnu až do současnosti často obsahují sofismy s úkolem „najdi chybu“, na jejichž základě se vysvětlují matematická pravidla a prověřují se znalosti čtenářů.
Klasifikace sofismů
Možností seskupování sofismů je více – někteří autoři je seskupují podle typu matematických témat, jiní podle typu chyby v uvažování a jiní oba přístupy kombinují v té či oné podobě.
Ruský učitel V. I. Obreimov navrhl rozdělit sofismy podle druhu chybného výsledku [5] :
- Rovnost nerovných.
- Nerovnost rovných.
- Méně převyšuje více.
- Geometrické nekonzistence.
- Imaginární je reálné (chyby v uvažování o komplexních číslech ).
- Neřešitelné rovnice.
Tato klasifikace byla kritizována za to, že materiál spojuje různé úseky matematiky pro stejnou chybu, což je metodologicky nesprávné, a navíc klasifikační znaky nejsou dostatečně významné [6] .
Německý matematik Hermann Schubert uvažoval o čtyřech typech sofismů ("Mathematical Entertainment and Games", 1897) [6] :
- Dělení nulou .
- Nejednoznačnost odmocniny .
- Chyby v geometrických konstrukcích.
- Nesprávná práce s nekonečnem.
Kniha V. M. Bradise a dalších si všímá zjevné neúplnosti tohoto seznamu a nabízí své vlastní [7] :
- Nesprávná řeč.
- Rozšíření na výjimečné případy (například dělení nulou).
- Přiřazování vlastností určitého druhu celému rodu. Například obě strany nerovnosti lze snížit společným kladným faktorem, ale pokud je faktor záporný, je důležité nezapomenout obrátit znaménko nerovnosti.
- Špatná aplikace principu okamžité inference konverzí. Například rovnost čísel implikuje rovnost jejich druhých mocnin, ale obráceně to neplatí.
- Náhrada exaktních definic geometrickou intuicí.
- chyby při sestavování,
- Chyby vyplývající z doslovného výkladu zkrácené (podmíněné) formulace některých geometrických tvrzení.
- Porušení smyslu podmíněných záznamů.
- Vyhýbání se diplomové práci , tedy prokázání jiného než původně uváděného nároku.
Samotný materiál sofismů v knize Bradis a dalších je prezentován přísně podle témat: aritmetika, algebra, geometrie, trigonometrie , přibližné výpočty . Tento článek se také drží tematického členění látky jako nejvhodnějšího pro učitele a studenty.
Elementární matematika
Algebra
Dělení nulou
Sofismus . Nechť jsou libovolná čísla. Jejich rozdíl označíme písmenem , tedy Tuto rovnost vynásobíme Otevřít závorky:
Dále seskupíme monočleny takto: nebo:
![a,b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8)
![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
![{\displaystyle ab=c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45123d70eb8f21af56ba12544a6b36dc82a2e63)
![{\displaystyle ab\colon \quad (ab)^{2}=c(ab).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec9d47e67e00b6a106da3bea22838451e3f98dd)
![{\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=ca-cb.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5688e9eb9110364a2656dd2bc86492b565d07c)
![{\displaystyle a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a84a88e066dc6d69cc94188a20dfca291775e58)
Zmenšením dostaneme: to znamená, že všechna čísla jsou si rovna.
![{\displaystyle abc,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a291ea0acbd6ac771834dff7c7dd8d73a42747)
![a=b,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a87d9bccbbd750d94a977aa90d98d60210d0c74)
- Důvod chyby : protože nemáme právo zmenšit, protože tento výraz je roven nule a nulou nelze zmenšit (tedy dělit) [8] .
![{\displaystyle ab=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcee035dd1510bef813a08961cfb89c853e8fbdd)
![{\displaystyle abc,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a291ea0acbd6ac771834dff7c7dd8d73a42747)
Dělení nulou je jednou z nejčastějších algebraických chyb a toto dělení lze zamaskovat například zmenšením společného činitele. Například zmenšením rovnice na ztratíme kořen . Dalším sofismem je rovnice:
![{\displaystyle 9x^{2}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd094e6fbe2a656bdd47895d74a995838d0ab723)
![X,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![x=0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Zmenšením nejen ztratíme jediný kořen rovnice, ale zároveň získáme další kořen , který není zahrnut v rozsahu přijatelných hodnot neznámé, protože radikální výraz pro se stává záporným [9] .
![{\displaystyle {\sqrt {x-5)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7e51748b52fcd8a44ea2116e0d0796073aa2b4)
![{\displaystyle x=5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1eadd7e4e3d6aa088fe6c9c5b650b877bcd922)
![{\displaystyle x=4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3892bb7feff10971d746f270c3ce5abf3be61d16)
![{\displaystyle x=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bfdd8100b6a4ce07d011900560f102e3965064)
Nerovnosti
Sofismus 1 . Nechť jsou libovolná kladná čísla a Vynásobením této nerovnosti a odečtením od obou jejích částí dostaneme: Faktoring:
![a,b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8)
![{\displaystyle a>b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f3dbc209b9e7a3f89d6b918f0f67a5fd7cc2d6)
![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
![{\displaystyle a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de86823f6a2c1491493f6c76e8cc8560469b165c)
![{\displaystyle ab-a^{2}>b^{2}-a^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488a99729c8901a82c588ff64c286c1d1c21fa0a)
Snížením o (podmínkou se nerovná nule) dostaneme nerovnost: Odečtěte výsledek od obou částí : To znamená, že každé kladné číslo je zároveň záporné.
![ba](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecca61f9c918fe1deb227ed79d4979d70c443ea4)
![{\displaystyle a>b+a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8eff9da9e6920007565d8b7364cc82e8583a0b)
![A,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
![{\displaystyle 0>b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f9b568352014fd964f8a46910b5a7675086c2b)
![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
- Příčina chyby : obě části nerovnosti lze zmenšit společným nenulovým faktorem, ale pokud je tento faktor záporný, musí se znaménko nerovnosti obrátit. To je přesně ten případ, protože po zmenšení dostaneme: chyba byla odstraněna [10] .
![{\displaystyle ba<0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9b28ed6a618e5b67978838b9a2e6975873da87)
![{\displaystyle a<b+a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f757107cd6f37ebc025dc702e0e4b27e2b7f57)
Extrahování kořene
Sofismus 1 . Správná rovnost: lze zapsat jako: Vyjmutím druhé odmocniny získáme: odkud:![{\displaystyle 1-3+{\frac {9}{4}}=4-6+{\frac {9}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0f108e9819a6f0ca665dfaa825c23fc315e273)
![{\displaystyle 1-{\frac {3}{2}}=2-{\frac {3}{2)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3edc35b65cf74acb2b9435f82eb793bae9c4f6)
- Příčina chyby : z rovnosti druhých mocnin veličin vyplývá rovnost samotných veličin, pouze pokud mají stejná znaménka. Správná extrakce odmocniny dává výsledek s absolutní hodnotou : a pak se chyba nevyskytuje [11] .
![{\displaystyle \left|1-{\frac {3}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5462999fa5bb78ceeb577b3e96c0d2a13c8d30cc)
Sofismus 2 . Na střední škole je zvýšení čísla definováno nejen na celé číslo, ale také na zlomkovou mocninu: Uvažujme sofismus dokazující, že .
![{\displaystyle a^{m/n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5850b24dcd1a20c434bc7f06aadb64de774e9791)
![{\displaystyle -1=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2383fde7a7fd3032be11209322cc55098a40be)
- Příčina chyby : zvýšení na zlomkovou mocninu je definováno pouze pro nezáporná čísla [12] .
Sofismus 3 . Při zvyšování hodnot goniometrických funkcí na zlomkovou mocninu je třeba dávat pozor . Zdá se zřejmé, že když dostaneme chybnou rovnost: Již bylo vysvětleno výše, že aritmetická odmocnina druhé mocniny čísla je rovna absolutní hodnotě čísla, takže správný zápis je následující [13] :![{\displaystyle (\cos ^{2}x)^{3/2}=\cos ^{3}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8941d39c69bd72622ad2238383f9e69bf567d3d3)
![x=\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4512a97fa6b7772825e2c887e010a99e217005)
![{\displaystyle 1^{3/2}=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07843476b1767daef33b8857d0dffce1aa45523)
Nesprávné podmínky problému
Sofismus 1 . Řešíme rovnici:
Kontrola: substituce prvního kořene v rovnici dává rovnost ; substituce druhého dává:![{\displaystyle 12=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67820def3cb9656102bf3625f1c17bd81c48d1c6)
- Příčina chyby : Původní rovnice nemá řešení. To lze vidět ze skutečnosti, že levá strana je přísně větší než nula , protože je pod kořenem). Při kvadratuře se objevily dva cizí kořeny, ale kontrola je odmítla [14] .
![{\displaystyle (x\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d27d45789eef77ad15ec2edded2eba03ce0fc44)
Sofismus 2 . Vyřešme rovnici: kde je libovolné reálné číslo .
![{\displaystyle x^{2}-ax=-{\frac {1}{3}}a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eccfcf61100eb6937cafcaf44b94471a6e7976c)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
Vynásobením obou stran rovnice a následným sečtením rovnici převedeme do tvaru: Po vyjmutí třetí odmocniny dostaneme rovnici , odkud: to znamená, že všechna čísla jsou rovna nule.
![{\displaystyle (-3a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a897d8097385026e799017d1de6d097ff2a065)
![{\displaystyle x^{3}-a^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502e680b7446448293ac214f696accd75a32d62b)
![{\displaystyle (xa)^{3}=x^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90616f40c5407695fa58169b83aad8be17d3842d)
![{\displaystyle xa=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e64fbf1306bd0f492dde1fef4d792b7b2c0f0a)
![{\displaystyle a=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b106b5e2bce95727ca9322bcc84f55059159825b)
- Důvod chyby : s neznámou jsme zacházeli jako s reálným číslem, ale jak můžete snadno vidět, původní rovnice nemá reálné kořeny (kromě případu ), protože je diskriminační Pokud rovnici uvažujeme v soustavě komplexních čísla , pak jsou všechny úvahy před extrakcí kubických odmocnin správné, ale komplexní krychlová odmocnina má tři hodnoty, takže rovnost krychlí neimplikuje rovnost samotných veličin [15] .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![a=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8)
![{\displaystyle D=-a^{2}/3\leqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68d8480be87302d34c0eefe10d50d4153fe859d)
Geometrie
Sofismus 1 . Rozřízneme trojúhelník na čtyři části, jak je znázorněno v horní části obrázku, a z těchto částí pak vytvarujeme nový trojúhelník stejné velikosti, jak je znázorněno ve spodní části obrázku. Z přeskupení dílů se celková plocha změní o jednu buňku!
- Důvod chyby : čára, která se zdá být přeponou trojúhelníku, je ve skutečnosti přerušovaná čára, to znamená, že dotyčný obrazec není trojúhelník, ale čtyřúhelník . To lze snadno odvodit z toho, že v červeném trojúhelníku je poměr nohou 3:8 a v modrém 2:5, což je o něco větší. To znamená, že přerušovaná čára horního obrázku je mírně konkávní, čára dolního obrázku je mírně konvexní a rozdíl v ploše dává pouze buňku „navíc“ [16] .
Tento sofismus má mnoho možností, z nichž jedna je znázorněna na obrázku: posunutím částí obdélníku s plochou získáme obdélník s plochou . Důvod je podobný: díra o ploše kostky buňka je protažena podél úhlopříčky druhého obdélníku.
![{\displaystyle 24\cdot 9=216,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da4ee0f5733919e1685f43b86ad1bd1eb72d3b7)
![{\displaystyle 31\cdot 7=217.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c13a3f686106977797e9cb0a3898c0499de2a)
Sofismus 2 . Budeme spoléhat na znaménko : dva trojúhelníky jsou stejné, pokud mají dvě stejné strany a jeden z úhlů. Trojúhelníky ABC a ABC' mají stejný úhel a dvě strany ( společná strana, ), a proto jsou trojúhelníky stejné, což odporuje konstrukci na obrázku (úhly a nejsou rovny 90°, takže body C a C' nejsou shodují se).
![\beta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
![C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
![{\displaystyle b=b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958ee5aa7439f8f632ce3f87359ba99b1bf379b6)
![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
![\gamma'](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e2b9e9e12e56bd62af445be6803ec4843e919a)
- Příčina chyby : nedbalá a tedy chybná formulace kritéria rovnosti trojúhelníků, správně: " dva trojúhelníky jsou si rovny, pokud mají dvě stejné strany a úhel mezi nimi ." Ve skutečnosti lze tento sofismus považovat za přesvědčivé vyvrácení chybného znamení [17] .
Sofismus 3 : „všechny trojúhelníky jsou rovnoramenné“ (často připisováno Lewisi Carrollovi [18] ) [19] . Uvažujme libovolný trojúhelník ABC (viz obrázek). Osa úhlu A a kolmice ke středu strany BC se protínají v nějakém bodě O. Pusťme kolmice OR (na stranu AB) a OQ (na stranu AC) z bodu O a také spojme O s vrcholy B a C ..
Pravoúhlé trojúhelníky RAO a QAO jsou shodné, protože mají stejnou stranu (AO) a úhel (∠RAO = ∠QAO). Pravoúhlé trojúhelníky ROB a QOC jsou si rovny, protože mají dvě stejné strany: BO = OC a RO = OQ. Ale pak AR = AQ, RB = QC a strana AB = AR + RB = AQ + QC = AC je rovnoramenný trojúhelník.
- Příčina chyby : záměrně zkreslená kresba. Pokud se to udělá opatrně, bod O nebude uvnitř, ale vně trojúhelníku (na kružnici opsané kolem trojúhelníku ). V tomto případě je jeden z bodů R a Q na straně trojúhelníku a druhý na pokračování druhé strany: pokud je strana , pak R je uvnitř, Q je venku, jinak naopak. V prvním případě - mínus místo plus; druhý případ je analyzován podobně [20] .
![{\displaystyle AB>AC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c6f726b0c94d66179bab7be3abc9bdd932132a)
![{\displaystyle AB=AR+RB;AC=AQ-QC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced80a1c8d03c5a6f6d644bea777489ac93f0a13)
Trigonometrie
Sofismus . Uvažujme dobře známou goniometrickou identitu : V každém trojúhelníku je tedy součet úhlů na jedné straně stejný podle identity a na druhé straně jsou tedy úhly také stejné: Odečtením této rovnosti od identity: dostaneme: nebo Závěr: jakýkoli trojúhelník je pravoúhlý .
![{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3029dd5b10b0cc2e40ba94a8db8b92300b5113dc)
![{\displaystyle \sin(\pi -(\alpha +\beta ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d80aea768a6eb52e2db283b3ecb56b40efbd995)
![{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d14ff9532ccca503cd4271a920864d3bd404e01)
![{\displaystyle \sin \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f157d42a10e1a1d207ffaa72b6abb94fe0dbbc7)
![{\displaystyle \alpha +\beta =\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37be2ddf983ac5c664f5355cffd9310209d8cf0d)
![{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3029dd5b10b0cc2e40ba94a8db8b92300b5113dc)
![{\displaystyle 2\gamma =\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b94b46fc1d4c6db6bb81d44aed412822af0712)
![{\displaystyle \gamma =\pi /2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c76d39a1a5a049b137026e44a11ebc4a68bf2f4)
- Důvod chyby : rovnost skutečně nastává pro jakýkoli trojúhelník, ale rovnost úhlů z ní nevyplývá - to ukazuje i vzorec Při libovolných dvou úhlech, které se doplňují k sinusu, jsou stejné [21] .
![{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89acdcd9fc2ee9e313444b5ecefbac3fa829ae11)
![{\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d5c2cb84b2e51593bfff1fb0df5e5ffec620b3)
![\pi,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47495546dd4b7607bbcb5658efe66abaf1955034)
Důkaz indukcí
Sofismus . Dokažme, že všichni koně jsou stejné barvy. Důkazem je indukce na počtu koní. Když je tvrzení triviální. Nechte všechna stáda koní stejné barvy; dokázat pro stádo koní. Odeberme jednoho koně; všechny zbývající mají stejnou barvu podle indukční hypotézy. Vrátíme koně do stáda a vezmeme dalšího koně. Pak se ukáže, že předtím oddělený kůň je stejné barvy.
![N](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
![N=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85982022b9eb1f295b44de55023687a490db0a39)
![N](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
![N+1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf2b9cbfe9051fd4e7b50c8028866d497eac35b)
- Příčina chyby : druhá část důkazu nefunguje při přechodu od do (trik s oddělením koně pak nic nedokazuje) [22] .
![N=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85982022b9eb1f295b44de55023687a490db0a39)
![{\displaystyle N=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405d64b14536deffc3465f1e81b1b7fe9358ad2a)
Tento vtipný sofismus má zajímavou variaci: důkaz tvrzení, že všechna celá čísla jsou si rovna. Dokažme indukcí na délce segmentu přirozených čísel . Když je v segmentu pouze jedno číslo a tvrzení je pravdivé. Nechť tvrzení platí pro první čísla, dokažme pro Vezměme dvě libovolná čísla Induktivním předpokladem, ale pak ■ Chyba je zde podobná jako v předchozím: pro segment délky 2 přesahuje hodnota induktivní předpoklad , ničí logiku důkazu [23] .
![N](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
![{\displaystyle 1,2,3,\tečky ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737d9f94f7070b13264303da7a4ebf6d84253853)
![N=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85982022b9eb1f295b44de55023687a490db0a39)
![N](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
![{\displaystyle N+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17ba5b28fc1d2e352a346d0f1ed4807e68409f6)
![{\displaystyle 1\leqslant a,b\leqslant N+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1245a565485e5d77023ef169402d7eac57f605ae)
![{\displaystyle a-1=b-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4346a9ac02474ddbdd16958912fb2fbd20e7c5d0)
![{\displaystyle a=1,b=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0208f1f20805b6655a7aa062349258ee1b164b)
![{\displaystyle a-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240dcbc0ddbf5932d0ea301ef5576b46ba12d26d)
Vyšší matematika
Komplexní čísla
Sofismus 1 . Pomyslná jednotka je definována jako ano Ale ukazuje se, že![{\sqrt {-1}),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e88605a956a9f2417503119963491d404c05f)
![{\displaystyle i^{2}=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ca91534578075175b2088069fb6a9a414eaa7b)
![{\displaystyle i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)))={\sqrt {1 }}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b597daf15172aa14542052224926c81f94aadda)
Sofismus 2 . Pozvedněme známou identitu na moc . Nalevo se to zjevně ukáže napravo 1. V důsledku toho: což, jak lze snadno ověřit, je špatně.
![{\displaystyle e^{2\pi i}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da4586a614d29da6632bc76b2b4417996d62e88)
![i.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffcf9ad7ad44f04fa43c5b604b4801e089981cb)
![{\displaystyle e^{-2\pi },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba7ac3cb41710676b75ad03bfe2bd7879a2320c)
![{\displaystyle e^{-2\pi }=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2934c41afa90c20658035185e1cb538feef90b)
- Příčina chyby : zvýšení na komplexní mocninu dává výsledek s více hodnotami, takže zde pravidlo neplatí, musíte použít obecnou definici (viz Komplexní mocnina ); Pečlivé použití vzorců pro stanovení komplexního stupně dává vlevo a vpravo, odtud je vidět, že kořenem chyby je záměna hodnot tohoto výrazu pro a pro
![{\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8288d4bfde7062c504daf352d1ed891d77535a)
![{\displaystyle e^{-2\pi k};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1316af9388fbbac7d977cfc242d20e31bda6fc)
![k=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b)
![{\displaystyle k=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c181a31d6fdd77204b950fc7a5fc95ab03c49921)
Limity funkcí
Sofismus 1 . Najdeme limitu výrazu , kdy Pokud nejprve aspirujeme , pak limita je (bez ohledu na hodnotu ), a pokud začneme od toho limita je Ukáže se, že libovolné číslo je rovno své inverzní.
![{\displaystyle {\frac {ax+y}{x+ay)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12de0472e063c78ec0a2728924ce35b286627ebd)
![{\displaystyle x,y\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22faaa45628ff6bf96b29ef3561538f037de508)
![{\displaystyle x\to \infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2aa80596781fa506035da37305874b17ce832c)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88)
![{\displaystyle 1/a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e2ad75a1549be9972961dcd0f70cff0ef20f07)
- Příčina chyby : ve skutečnosti je chyba pouze v konečném výstupu. Permutace řádu dílčích limit , obecně řečeno, může změnit výsledek [25] .
Akce s nekonečnými řadami
Sofismus 1 . Uvažujme nekonečnou řadu pro přirozený logaritmus , získanou z Mercatorovy řady s![\ln 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1189ffa454489f9a73b3b6aa79f83eb954bea42)
Seskupme pojmy se stejnými znaky:
Kombinací prvních dvou závorek a přidáním faktoru 2 do třetí závorky dostaneme rozdíl dvou stejných hodnot, tedy nulu, i když se nule nerovná:
![\ln 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1189ffa454489f9a73b3b6aa79f83eb954bea42)
- Příčina chyby : ne každé přeskupení členů řady je povoleno, platí pouze pro absolutně konvergentní řady . Nesprávná je zejména reprezentace konvergentní počáteční řady jako rozdílu dvou divergentních řad. Řada se nazývá „ harmonická “ a liší se, i když se od původní liší pouze ve znacích termínů [26] .
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ tečky}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339b26b854b1c488f0704406225b6a47ccc5988d)
Integrace
Neurčitý integrál
Sofismus . Integrujeme dvě identity:
Výsledek:
Odečtením druhé od první rovnice dostaneme:
zatímco právo by mělo být 1.
Určitý integrál
Sofismus 1 . Pojďme najít integrál kladné funkce pomocí Newton-Leibnizova vzorce :
Integrál pozitivní funkce se ukázal být záporný ("D'Alembertův paradox", 1768) [28] .
- Příčina chyby : integrand je nespojitý (a neomezený) na nule, takže na něj nelze použít Newtonův-Leibnizův vzorec .
Sofismus 2 . Pojďme najít integrál kladné funkce metodou změny proměnné :
Zavedeme novou proměnnou ; segment integrace pro přejde do segmentu pro :
![{\displaystyle y=x^{2};dy=xdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461ab4d9087afe247167566a2b0702f6caffedd9)
![{\displaystyle [-1;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bc389ca678dffbedd0d41ca0fecb9806c9b7cf)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![{\displaystyle [1;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389c534e2d9fe8ac900bc2b667be14981b9caf5c)
![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle I=\int \limits _{1}^{1}{\sqrt {y}}dy=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725bf649a325de588deff457dfce44d448483bbb)
Správná odpověď:
- Příčina chyby : při nahrazení proměnné musí být staré a nové proměnné v souladu jedna ku jedné , jinak není inverzní funkce definována [29] ; v sofismu je toto pravidlo porušováno.
![{\displaystyle x=x(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c76ddf48c5dde4016e45aa2cd621fc152d88aac)
Jiná sofistika
Několik dalších příkladů sofismů a paradoxních závěrů, které vyvolaly živou diskusi ve vědecké komunitě:
Poznámky
- ↑ Sofismus // Sovětský encyklopedický slovník. - 2. vyd. - M . : Sovětská encyklopedie, 1982. - S. 1241. - 1600 s.
- ↑ 1 2 3 Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 3-4.
- ↑ Sergeeva L. V. Využití matematických sofismů v hodinách matematiky . Staženo: 7. března 2020. (Ruština)
- ↑ 1 2 Bradis a kol., 1959 , str. 7-11.
- ↑ Obreimov, 1889 .
- ↑ 1 2 Bradis a kol., 1959 , str. 11-14.
- ↑ Bradis a kol., 1959 .
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 9.
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 65-66.
- ↑ Bradis a kol., 1959 , str. 89-90.
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 6.
- ↑ Mordkovich A. G. Algebra a začátek analýzy. Učebnice pro ročníky 10-11, díl 1. - ed. 4. - M .: Mněmozina, 2003. - S. 253-255. — 376 s.
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 16.
- ↑ Bradis a kol., 1959 , str. 58.
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 7-8, 66-67.
- ↑ Paradox kari trojúhelníku . Získáno 31. srpna 2019. Archivováno z originálu 31. srpna 2019. (neurčitý)
- ↑ Pro analýzu problému sestrojení trojúhelníku na dvou stranách a úhlu, který mezi nimi není, viz článek Řešení trojúhelníků nebo v referenční knize: Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics. - M .: Nauka, 1978. - S. 294.
- ↑ Ve skutečnosti byl sofismus poprvé publikován v knize: Ball WWR Mathematical Recreations and Essays (1892), ze které jej Carroll převzal.
- ↑ Robin Wilson (2008), Lewis Carroll in Numberland , Penguin Books, str. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 21-23, 81-82.
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 45-46, 66-67.
- ↑ Poya, D. Matematika a věrohodné uvažování. - Ed. 2., opraveno. - M .: Nauka, 1975. - S. 140.
- ↑ Fedin S. N. Matematici také vtipkují . - 4. vyd. — M .: URSS , 2012. — S. 274. — 216 s. - ISBN 978-5-397-02435-8 .
- ↑ Bradis a kol., 1959 , str. 81-82.
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 17, 76.
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 15, 73-75.
- ↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 39, 94.
- ↑ Markov S. N. Kurz dějin matematiky: učebnice . - Irkutsk: Irkutsk University Publishing House, 1995. - S. 167 . — 248 s. — ISBN 5-7430-0496-X .
- ↑ Schneider V. E. et al. Krátký kurz vyšší matematiky. Proč. příspěvek pro vysoké školy . - M . : Vyšší škola, 1972. - 640 s.
Literatura
- Bradis V. M. Minkovsky V. L., Kharcheva A. K. Chyby v matematickém uvažování. - 2. vyd. - M. : Uchpedgiz, 1959. - 177 s.
- 3. vydání: M.: Osvícení, 1967. - 191 s.
- Gardner, Martin . Geometrické klamy (kapitola 6) // Tic-Tac-Toe. — M .: Mir, 1988. — 325 s. — ISBN 5-03-001234-6 .
- Gardner, Martin . Matematické sofismy (kapitola 13) // Matematické hádanky a zábava. — M .: Mir, 1971. — 511 s.
- Dvoryaninov SV Výuka matematiky a sofismu // Matematické vzdělávání. - 2007. - č. 1 (41).
- Madera A. G. , Madera D. A. Matematické sofismy. Věrohodná úvaha vedoucí k chybným tvrzením / Kniha pro žáky 7.–11. - M . : Vzdělávání, 2003. - 112 s. — ISBN 5-09-010795-5 .
- Nagibin F. F., Kanin E. S. Matematické sofismy // Matematická rakev. Studentská pomůcka. — Vydání 4. - M .: Vzdělávání, 1984.
- Obreimov V. I. Matematické sofismy. - 2. vyd. - Petrohrad. : F. Pavlenkov, 1889. - 79 s.
- Perelman Ya. I. Dvakrát dva pět! (Matematické sofismy) . - L . : DZN, 1839. - 16 s.
- Furre, Emil. Geometrické hádanky a paralogismy . - Odessa: Mathesis, 1912. - 52 s.
- Parta, Bryan. Matematické bludy a paradoxy . - Dover Publications, 1997. - 240 s. — (Doverské knihy o matematice). — ISBN 978-0486296647 .
Odkazy
- Klasické bludy . Staženo: 28. března 2020.