Paprsek (matematika)

Svazek je struktura používaná k vytvoření vztahů mezi lokálními a globálními vlastnostmi nebo charakteristikami nějakého matematického objektu. Snopy hrají významnou roli v topologii , diferenciální geometrii a algebraické geometrii , ale mají také aplikace v teorii čísel , analýze a teorii kategorií .

Intuitivní definice

Zhruba řečeno, svazek na topologickém prostoru je dán daty dvou typů se dvěma dalšími vlastnostmi. $F$ $X$

První část dat je obsažena v mapování, které mapuje každou otevřenou podmnožinu prostoru na nějakou (abstraktní) množinu . Kromě toho můžeme požadovat, aby na této sadě byla dána určitá struktura, ale prozatím se omezíme na skutečnost, že se jedná pouze o množinu. $U$ $X$ $F(U)$

Druhá část dat spočívá v tom, že pro každý pár otevřených množin je určité mapování fixní , nazývané zúžení . (Působí podobně jako operace zúžení rozsahu funkcí definovaných na ) $V\podmnožina U$ $\rho _{{VU}}:F(U)\to F(V)$ $PROTI$ $U.$

Je také nutné, aby tato data měla následující dvě vlastnosti:

Axiom normalizace : - množina jednoho prvku. $F(\varnonic)$
Lepící axiom : pokud je dán konzistentní systém prvků(konzistence znamená, že prvkyamají stejné omezení na plochu), pak jednoznačně určují prvekz(kde je spojení všech), jehož omezení na odpovídající plochu jsou všichni. $x_{i}\in F(U_{i})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $X$ $F(U)$ $U$ $U_{i}$

Příklady

Funkční balíčky

Hlavním příkladem je svazek spojitých funkcí na topologickém prostoru X. Omezení spojité funkce na otevřenou podmnožinu je spojitá funkce na této podmnožině a funkce definovaná částečně na otevřených podmnožinách může být obnovena na jejich spojení.

Přesněji řečeno, pro každou otevřenou podmnožinu prostoru označujeme množinu všech spojitých reálně hodnotných funkcí . Vzhledem k otevřené množině obsažené v a funkci z můžeme zúžit rozsah funkce na množinu a získat funkci . Omezení je spojitá funkce na , proto je prvkem množiny . Tím je definováno mapování omezení . $U$ $X$ $F(U)$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $PROTI$ $U$ $F$ $F(U)$ $F$ $PROTI$ $f|_{V}$ $f|_{V}$ $PROTI$ $F V)$ $\rho _{{VU}}:F(U)\to F(V)$

Axiom normalizace je zjevně splněn, protože z prázdné množiny v R existuje pouze jedna spojitá funkce - prázdná funkce . Abychom ukázali, že axiom lepení je také platný, předpokládáme, že máme konzistentní systém spojitých funkcí , . To znamená, že omezení funkcí a na sadě se musí shodovat. Pojďme nyní definovat funkci takto: protože je spojení všech , každý bod je pokryt množinou pro některé . Definujme hodnotu funkce v bodě rovném . Tato definice je správná: pokud také leží v , pak podle podmínky konzistence , takže nezáleží na tom, kterou z těchto funkcí použít k určení . Navíc je funkce spojitá v bodě , protože ve svém okolí se shoduje se spojitou funkcí . V důsledku toho je funkce spojitá v každém bodě od , to znamená spojitá v . Navíc je jedinou spojitou funkcí, jejíž omezení na doménu se shoduje s , protože funkce je zcela určena jejími hodnotami v bodech. V důsledku toho existuje jedna a pouze jedna funkce slepená z funkcí , a to . $f_{i}:U_{i}\to {\mathbb {R}}$ $i\v I$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $U$ $U_{i}$ $X$ $U$ $U_{i}$ $i$ $F$ $X$ $opravit)$ $X$ $U_{j}$ $f_{i}(x)=f_{j}(x)$ $f(x)$ $F$ $X$ $U_{i}$ $opravit)$ $F$ $U$ $U$ $F$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{i}$ $F$

Ve skutečnosti výsledný svazek není jen svazek sad. Vzhledem k tomu, že spojité funkce lze bodově sčítat a získat tak opět spojité funkce, je tento svazek také svazkem abelovských skupin . Protože mohou být také násobeny, je tento svazek svazkem komutativních prstenců . Protože spojité funkce na množině tvoří vektorový prostor nad R , je tento svazek svazkem algeber nad R .

Snopy řešení diferenciálních rovnic

Pro jednoduchost budeme pracovat s prostorem R . Předpokládejme , že na R je dána diferenciální rovnice a hledají se hladká řešení, tedy hladké funkce , které tuto rovnici splňují. Předchozí příklad popsal, jak je konstruován svazek spojitých funkcí na R. Podobnou konstrukci doslova se slovy „spojitý“ nahrazený slovy „hladký“ lze použít ke konstrukci svazku hladkých funkcí na R . Označme tento svazek . je sada hladkých funkcí . Některé prvky jsou řešením rovnice . Ukazuje se, že tato řešení sama o sobě tvoří svazek. $F(x,y,y',y'',...)=0$ $y:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $G$ $G(U)$ $U\to {\mathbb {R}}$ $G(U)$ $F=0$

Pro každou otevřenou množinu nechť je množina hladkých funkcí taková, že . Mapování omezení jsou stále omezení funkcí, stejně jako v . vše se také skládá z prázdné funkce. Chcete-li otestovat axiom lepení, nechť je množina otevřených sad a buďte jejich spojením. Dovolit být prvky konzistentní na křižovatkách, to je, . Definujme jej stejným způsobem jako dříve: vždy, když je definován. Abyste se ujistili, že je to stále řešení diferenciální rovnice, všimněte si, že ji splňuje v každé z množin , protože se tam shoduje s funkcí . Proto existuje řešení rovnice . Chcete-li zkontrolovat, co je jedinečné, poznamenejte si jako dříve, co je určeno jeho hodnotami v bodech a tyto hodnoty se musí shodovat s hodnotami v . Je tedy jediné lepení funkcí , takže je tam snop. $U$ $H(U)$ $y:U\to {\mathbb {R}}$ $F(x,y,y',y'',\tečky )=0$ $G$ $H(\varnonic)$ $\{U_{i}\},i\v I$ $U$ $f_{i}$ $H(U_{i})$ $f_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=f_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $F$ $f(x)=f_{i}(x)$ $opravit)$ $F$ $F$ $U_{i}$ $opravit)$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ $opravit)$ $U_{i}$ $F$ $\{f_{i}\}$ $H$

Všimněte si, že je obsaženo v pro všechny . Navíc, jestliže je prvkem , a je otevřenou množinou obsaženou v , pak výsledek použití mapy omezení na funkce v tužce bude stejný jako v tužce . V takových případech se o snopu říká , že je podsvazkem snopu . $H(U)$ $G(U)$ $U$ $F$ $H(U)$ $PROTI$ $U$ $PROTI$ $F$ $H$ $G$ $H$ $G$

V závislosti na diferenciální rovnici se může stát, že sečtením dvou řešení této rovnice opět vznikne její řešení - například lineární. V tomto případě se bude jednat o svazek skupin se skupinovou operací danou bodovým sčítáním funkcí. Nicméně v obecném případě - jen svazek sad, nikoli svazek skupin nebo prstenů. $F$ $F$ $H$ $H$

Snopy vektorových polí

Nechť je hladký rozdělovač . Vektorové pole na mapuje každý bod na vektor od tečného prostoru k bodu . Je požadováno, aby plynule záviselo na . Definujme svazek , který ponese informace o vektorových polích na . Pro každou otevřenou množinu uvažujme jako hladkou varietu a nechť je množina všech (smooth) vektorových polí na . Jinými slovy, existuje sada funkcí , které mapují bod na vektor z , hladce na něm závisí. Vzhledem k tomu, že je otevřeno, . Mapování omezení definujeme jako omezení vektorových polí. $M$ $PROTI$ $M$ $X$ $M$ $V(x)$ $T_{x}M$ $M$ $X$ $V(x)$ $X$ $\mathcal{T}$ $M$ $U$ $U$ ${\mathcal {T}} (U)$ $U$ ${\mathcal {T}} (U)$ $PROTI$ $X$ $U$ $V(x)$ $T_{x}U$ $U$ $T_{x}U=T_{x}M$

Chcete-li ukázat, že existuje svazek, nejprve si všimněte, že se skládá pouze z jedné prázdné funkce, protože v prázdné množině nejsou žádné body. Nyní zkontrolujme axiom lepení. Dovolit , být soubor otevřených souborů, a U být jejich spojení. Na každé otevřené množině vybereme vektorové pole a předpokládáme, že tato pole jsou v průsečíkech konzistentní, tedy . Nyní definujeme nové vektorové pole V na U takto: pro libovolné x z U zvolte , obsahující x . Definujme V(x) jako . Vzhledem k tomu, že pole jsou na křižovatkách konzistentní, je V dobře definováno. Navíc V(x) je vektor tečny z , plynule závisí na x , protože plynule závisí na x a „hladká závislost“ je lokální vlastnost. Konečně, V je jediné možné slepení polí , protože V je jednoznačně určeno svými hodnotami v každém bodě x a tyto hodnoty se musí shodovat s hodnotami pole na . $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}} (\varnothing)$ $\{U_{i}\}$ $i\v I$ $U_{i}$ $V_i$ $V_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=V_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $U_{i}$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $T_{x}M$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $V_i$ $U_{i}$

Jinou definici svazku lze poskytnout pomocí tečného svazku TM manifoldu M . Uvažujme přirozenou projekci , která mapuje bod x na dvojici (x, v) , kde x je bod na M av je vektor z . Vektorové pole na otevřené množině U je stejné jako úsek projekce p , tedy hladké zobrazení takové, že , kde je zobrazení identity na U . Jinými slovy, úsek s hladce spojuje bod x s dvojicí (x, v) . Zobrazení s nemůže spojit bod x s párem (y, v) s , kvůli podmínce . To nám umožňuje reprezentovat tečný svazek jako svazek sekcí tečného svazku. Jinými slovy, pro jakékoli U existuje množina všech úseků projekce p a mapy omezení jsou obvyklým omezením funkcí. Analogicky lze zkonstruovat svazek sekcí libovolného spojitého mapování topologických prostorů. $\mathcal{T}$ $p:TM\to M$ $T_{x}M$ $s:U\toTM$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ ${{\rm {id}}}_{U}$ $y\neq x$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}} (U)$

Svazek je vždy svazek skupin s operacemi bodového vektorového přidávání. Obvykle však neexistuje svazek prstenců, protože operace násobení není přirozeně definována na vektorech. $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$

Formální definice

Prvním krokem při definování pojmu svazek je definovat pojem před svazek , který zahrnuje datové prostory spojené s každou otevřenou podmnožinou topologického prostoru a operace omezení těchto dat z větších na menší podmnožiny. Ve druhém kroku jsou uložena další omezení - požadavky na splnění axiomů normalizace a lepení. Předsvazek, který splňuje tyto požadavky, je snop.

Definice presheaf

Nechť je topologický prostor a C je nějaká kategorie . Presheaf s hodnotami v kategorii C je uveden přes mezeru , pokud [1] : $X$ $X$ $F$

Každá otevřená podmnožina v je spojena s F(U) — objektem kategorie C . $U$ $X$
Každé zahrnutí otevřených množin je spojeno s morfismem objektů kategorie C : $V\podmnožina U$

\rho _{{VU}}\dvojtečka F(U)\to F(V)

Tyto morfismy se nazývají restrikční morfismy . Všechny tyto morfismy musí splňovat následující podmínky:

Pro každou otevřenou množinu je identitní morfismus objektu . $U$ $\rho _{UU}$ $F(U)$
Pro každé dvojité zahrnutí , rovnost $W\podmnožina V\podmnožina U$

\rho _{{WV}}\circ \rho _{{VU}}=\rho _{{WU}}

Poslední podmínka znamená, že by mělo být lhostejné, zda data omezíme z oblasti na oblast přímo, nebo ve dvou fázích - s předběžným omezením na , a z toho již - na . $U$ $W$ $PROTI$ $W$

Presheaves v teorii kategorií

Z hlediska teorie kategorií je získána velmi kompaktní definice presheaf. Nejprve je definována kategorie O(X) otevřených množin prostoru X , jejichž objekty jsou otevřené podmnožiny X , a množina morfismů objektu V této kategorie na objekt U v případě, že V je podmnožina. of U , sestává z jediného morfismu — zobrazení inkluze V do U , a jinak prázdného. Potom předsvazek nad prostorem X s hodnotami v kategorii C je libovolný kontravariantní funktor F z kategorie O(X) do kategorie C . Taková definice presheaf umožňuje další zobecnění, když uvažujeme funktory v C , ne nutně z kategorie tvaru O(X) (viz presheaf (teorie kategorií) ).

Pokud je před svazkem F dán prostor X s hodnotami v kategorii C a U je otevřená podmnožina X , pak se objekt F(U) nazývá prostor řezu před svazkem F nad množinou U. Jestliže C je specifická kategorie , pak každý prvek množiny F(U) se nazývá úsek svazku F nad U , analogicky s sekcemi vláknitých prostorů a etalovým prostorem svazku (viz níže ). Sekce nad X se nazývá globální sekce . Omezení sekce se obvykle označuje jako . F(U) je také často označován jako , zejména v kontextu teorie cohomologie svazku , ve kterém je doména U pevná a svazek F je proměnný. $\rho _{VU}(y)$ $s$ $s|_{V}$ $\Gamma (U,F)$

Definice svazku

Snop je presheaf, ve kterém platí 2 axiomy [2] .

$F(\varnonic)$ je koncovým objektem kategorie C .

Samozřejmě, aby axiom dával smysl, musí mít kategorie C terminální objekt. V praxi to tak obvykle je.

Důležitějším axiomem je však axiom lepení . Připomeňme, že ve výše diskutovaných příkladech tento axiom vyžadoval, aby množina dat (sekcí svazku), která jsou konzistentní v průsečíkech svých definičních domén, vždy umožňovala (navíc jednoznačně) jejich slepení – sekce přes spojení otevřených množiny, nad nimiž je tento úsek dán jakoby částečně. Pro jednoduchost formulujeme axiom lepení v případě, kdy C je konkrétní kategorie. Obecný případ viz článek " axiom lepení ".

Nechť je množina otevřených množin v prostoru X a nechť U je jejich spojení. Nad každým z nich nechť je uveden úsek (před)snopu F . Sada těchto sekcí se nazývá kompatibilní , pokud pro jakékoli i a j $U_{i}$ $s_{i}\in F(U_{i})$

\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}}(s_{i})=\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{j}} } (s_{j})

Axiom lepení pro F je splněn, pokud

každá sada konzistentních řezů definuje jedinečný řez tak, že pro každé i . $s_{i}$ $s\in F(U)$ $s_{i}=\rho _{{U_{i},U}}s$

Sekce s se nazývá lepení ( angl. lepení, zřetězení, řazení ) profilů , protože je jakoby slepeno z menších profilů. $s_{i}$

Ve výše uvedených příkladech určité funkce odpovídaly průřezům nosníků. V takových případech axiom lepení vychází z funkcí , které se shodují v průsečících a tvrdí existenci jedinečné funkce f , která současně rozšiřuje všechny funkce na množinu U , přesně to, co bylo ukázáno v těchto příkladech, aby se dokázalo, že v nich byl skutečně prezentován svazek. . $f_{i}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f_{i}$

Často se axiom lepení dělí na dvě části – axiom existence a axiom jedinečnosti. Presheaves splňující pouze axiom jedinečnosti se nazývají separovatelné ( anglicky oddělené ) presheaves.

Další příklady

Protože kladky přesně obsahují data potřebná k přechodu z lokálních do globálních situací, existuje mnoho příkladů kladek, které se vyskytují v matematice. Zde je několik dalších příkladů balíčků:

Jakékoli souvislé mapování topologických prostorů definuje svazek množin. Nechť f : Y → X je spojité zobrazení. Snop definujeme jako rovný množině všech sekcí zobrazení , tj. je množina všech zobrazení s : U → Y taková, že morfismy omezení jsou dány obvyklým omezením zobrazení na podmnožiny definičního oboru. . Tento svazek se nazývá svazek sekcí f a je zvláště důležitý, když f je průmět vláknitého prostoru do prostoru jeho základny. Je třeba poznamenat, že v případě, kdy obraz f neobsahuje celé U , je množina prázdná. Jako konkrétní příklad si můžete vzít a . Pak existuje mnoho větví logaritmu nad množinou . $\Gamma (Y/X)$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $f|_{U}:U\to Y$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $fs=id_{U}.$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $\scriptstyle X=\mathbb {C} \zpětné lomítko 0,$ $\scriptstyle Y=\mathbb {C}$ $f(z)=\exp(z)$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $U$
Nechť M je C k -varieta (varieta hladkosti k). Pro každou otevřenou podmnožinu U v M definujeme U → R jako množinu všech Ck -smooth funkcí . Restrikční morfismy jsou běžná funkční omezení. Pak je tu svazek kroužků se sčítáním a násobením daným bodovým sčítáním a násobením funkcí. Tento svazek se nazývá strukturní svazek M . ${\mathcal {O}}_{M} (U)$ ${\mathcal {O}}_{M}$
Pro každé j ≤ k je také definován svazek přes M , nazývaný svazek j - krát spojitě diferencovatelných funkcí na M . je podsvazek svazku , který na otevřené množině U definuje množinu všech Cj- funkcí na U. ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{M}$
Přes M je definován svazek funkcí bez nul . To znamená, že pro každé U existuje množina všech reálně hodnotných funkcí na U , které nezmizí. Jedná se o svazek skupin se skupinovou operací danou bodovou násobením funkcí. ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\times } (U)$
M má také kotangens svazek Ω M . Na každé otevřené množině U , Ω M ( U ) je množina diferenciálních forem 1. stupně na U. Morfismy omezení jsou obvyklá omezení diferenciálních forem. Podobně pro libovolné p > 0 je definován svazek Ω p diferenciálních p-forem.
Jestliže M je hladká varieta, pro každou otevřenou množinu U je množina množinou všech reálně oceněných distribucí ( zobecněných funkcí ) na U . Omezení jsou dána omezením funkcí. Pak se stane svazkem zobecněných funkcí . ${\mathcal {DB}} (U)$ ${\mathcal {DB}}$
Nechť X je komplexní varieta a U otevřená podmnožina X , definovaná jako množina holomorfních diferenciálních operátorů konečného řádu na U . Zadáním omezení jako běžného funkčního omezení získáme svazek nazývaný svazek holomorfních diferenciálních operátorů . ${\mathcal {D}}_{X} (U)$ ${\mathcal {D}}_{X}$
Upevníme bod x z X a nějaký objekt S kategorie C . Snop mrakodrapu nad x s vláknem S je svazek S x , definovaný následovně: Jestliže U je otevřená množina obsahující x , pak S x ( U ) = S , jinak S x ( U ) je koncový objekt kategorie C . Restrikční mapy jsou buď morfismem identity objektu S , pokud obě otevřené množiny obsahují x , nebo stejným jedinečným morfismem S do koncového objektu kategorie C .

Některé matematické struktury jsou definovány jako prostory s pevným svazkem. Například prostor se skupinou prstenců nad (na něm) se nazývá prstencový prostor . Jestliže všechna vlákna (viz níže) svazku jsou místní prstence , pak se jedná o lokálně prstencový prostor . Pokud jsou úseky svazku lokálních prstenců lokálně reprezentovatelné jako prvky nějakého komutativního prstence, dostaneme schéma .

Zde jsou 2 příklady presheaves, které nejsou snopy:

Nechť je dvoubodový topologický prostor s diskrétní topologií. Předsvazek F definujeme následovně: Mapování omezení je projekce z na první komponentu a mapování omezení je projekce na druhý komponent. je presheaf, který není oddělitelný: jakákoli globální sekce je definována třemi čísly, ale sekce přes (otevřené sady) a definují pouze dvě z nich. Přestože je možné slepit libovolné dva úseky dané přes body , neexistuje žádná jedinečnost takového lepení. $\scriptstyle X$ $\scriptstyle \{x,y\}$ $\scriptstyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},$ $\scriptstyle F(\{x\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{y\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{x,y\})=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} .$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\to F(\{x\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\to F(\{y\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle \{y\}$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle\{y\},$

Nechť X je komplexní rovina a pro její otevřené podmnožiny U položíme F ( U ) množinu omezených holomorfních funkcí na U s obvyklými restrikčními zobrazeními. Nejedná se o paprsek, protože lepení v tomto případě není vždy možné. Nechť U r je například otevřený disk | z | < r . Funkce f ( z ) = z je omezena na každém disku Ur . Získáme tedy konzistentní úseky s r na Ur ( což jsou omezení funkce f ( z ) na Ur ) . Neumožňují však lepení, protože funkce f není omezena na celou komplexní rovinu. F je tedy předsvazek, ale ne svazek. Všimněte si, že F je oddělitelný, protože je podsvazkem svazku holomorfních funkcí na X .

Snopové morfismy

Protože svazky obsahují data spojená s každou otevřenou podmnožinou X , je morfismus svazku definován jako sada zobrazení, jedno pro každou otevřenou sadu, která splňuje určité podmínky konzistence.

Snopy jsou speciálním druhem předsvazky, stejně jako jsou speciálním případem skupin abelovské skupiny (snopy tvoří kompletní podkategorii v kategorii předsvazků). Jinými slovy, morfismus snopů je stejný jako morfismus v kategorii presheaves, ale mezi objekty, které jsou snopy; axiom lepení není v definici morfismu žádným způsobem použit.

Snopové morfismy nad jednou mezerou

V této sekci jsou všechny svazky definovány přes prostor X a nabývají hodnot v pevné kategorii C (když mluvíme o jádru a kokernelu morfismů, předpokládáme, že C je abelovská kategorie ).

Budiž a dva takové svazky. Morfismus C-snopů na X se sdružuje s každou otevřenou množinou U z X a morfismus , takže všechny tyto morfismy jsou kompatibilní mezi sebou as omezením zobrazení v obou svazcích. Jinými slovy, pro každou otevřenou množinu V a její otevřenou podmnožinu U existuje komutativní diagram : ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$ $\varphi \colon {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}$ $\varphi _{U}\colon {\mathcal {G}} (U)\to {\mathcal {F}} (U),$

Tato podmínka konzistence znamená, že každá sekce s svazku G přes otevřenou množinu V je spojena s nějakou sekcí nad V svazku F a jejich omezení na otevřenou podmnožinu U množiny V souvisí morfismem . (Omezení na V -obraz sekce s je stejné jako -obraz jejího omezení na V .) $\varphi _{V}(s)$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{V}$

Prostý fakt, že morfismus svazků je izomorfismus (to znamená, že má inverzní morfismus), přesně když všechny morfismy jsou izomorfismy (reverzibilní). Totéž platí pro monomorfismy a neplatí pro epimorfismy . To je způsobeno skutečností, že jádro morfismu snopů je vždy snop, zatímco obraz a kokernel nemusí být (ale vždy budou oddělitelné presheaves). Viz článek " Kohomologie snopů ". $\varphi _{U}$

Snopové morfismy nad různými prostory

Dále kladky nabývají hodnot v pevné kategorii C , ale mohou být definovány v různých prostorech.

Nechť X a Y jsou topologické prostory , na kterých jsou definovány svazky O X a O Y. Morfismus páru ( X , O X ) na ( Y , O Y ) je dán následujícími údaji:

Spojité zobrazení f : X → Y
rodina C - morfismů φ V : O Y ( V ) → O X ( f −1 ( V )) pro každou otevřenou podmnožinu V prostoru Y , která komutuje s restrikčními zobrazeními. To znamená, že pokud V 1 ⊂ V 2 jsou dvě otevřené podmnožiny Y , následující diagram musí být komutativní (svislé šipky jsou morfismy omezení podmnožin):

Tato definice je také vhodná pro definování morfismu předřazených svazků v různých prostorech.

Svazek spojený s presheaf

Často je užitečné reprezentovat data, která tvoří přednosník, pomocí svazku. Ukazuje se, že existuje velmi pohodlný postup, který vám to umožňuje. Vezměte předsvazek a vytvořte nový svazek , nazývaný svazek spojený s předsvazkem . se nazývá asociovaný snopový funktor ( anglicky sheaving functor, sheafification functor, sdružený funktor sheaf ). Existuje přirozený presheaf morfismus s vlastností univerzálnosti, že pro jakýkoli snop a presheaf morfismus existuje jedinečný snopový morfismus takový, že . Ve skutečnosti existuje adjungovaný funktor k vnořovacímu funktoru kategorie snopů do kategorie presheaves a existuje konjugační jednotka . $F$ $aF$ $F$ $A$ $i:F\to aF$ $G$ $f:F\to G$ ${\tilda f}:aF\to G$ $f={\tilde f}\cdot i$ $A$ $i$

Zárodky profilů nosníku

Vrstva snopu umožňuje popsat vlastnosti snopu „v blízkosti“ bodu x ∈ X . Zde "blízko" znamená, že se díváme na nejmenší možné okolí bodu. Samozřejmě žádné okolí není samo o sobě dost malé, ale můžeme zvážit jejich limit (nebo přesněji colimit ). ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {F}}$

Vrstva nad bodem x je definována jako

{\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{{U\ni x}}{\mathcal {F}}(U),

přímá limita všech okolí bodu x . Jinými slovy, prvek vrstvy je úsek svazku v nějakém okolí x a dva takové úseky odpovídají jednomu prvku svazku, pokud mají stejné omezení na nějaké okolí bodu x .

Přirozený morfismus F ( U ) → F x vezme sekci s v sousedství F ( U ) k jeho zárodku . Toto zobecňuje obvyklou definici zárodku .

Historie

V roce 1936 navrhl P. S. Aleksandrov konstrukci krycího nervu , který spojuje libovolný otevřený obal se zjednodušeným komplexem .
V roce 1938 Hassler Whitney podal „moderní“ definici cohomologie, shrnující práci vykonanou od doby, kdy Alexander a Kolmogorov definovali cochainy .
V roce 1945 Jean Leray publikoval výsledky práce provedené v německém zajetí, která dala vzniknout teorii paprsků a spektrálních sekvencí .
V roce 1948 byly na Cartanově semináři poprvé plně sepsány počátky teorie snopů.
V roce 1950 byla na Cartanově semináři navržena "druhá verze" teorie snopů - používá se definice etalového prostoru snopu a struktura vrstev. Současně Kiyoshi Oka předložil myšlenku svazku ideálů.
V roce 1954 Serre napsal článek Faisceaux algébriques cohérents (publikovaný v roce 1955), který znamenal začátek použití snopů v algebraické geometrii . Jeho myšlenky byly okamžitě převzaty Hirzebruchem , který v roce 1956 napsal hlavní knihu o topologických metodách v algebraické geometrii.
V roce 1955 Grothendieck na svých přednáškách v Kansasu definuje abelovskou kategorii a presheaf a pomocí injektivních řešení umožňuje používat kohomologii svazků v libovolném topologickém prostoru jako odvozené funktory .
V roce 1957 Grothendieck rozvíjí teorii svazků v souladu s potřebami algebraické geometrie a zavádí pojmy: schémata a obecné svazky pro ni, místní kohomologie , odvozené kategorie a Grothendieck topologie .

Viz také

Teorie topoi

Poznámky

↑ Schwartz, 1964 , str. 181.
↑ Schwartz, 1964 , str. 180.

Literatura

Bredon, Glen E. (1997) Teorie svazku - sv. 170 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1481706 , ISBN 978-0-387-94905-5 (orientované na konvenční topologické aplikace) (anglicky)
Godement, Roger (1973) Topologie algébrique et théorie des faisceaux - Paříž: Hermann, MR 0345092 (fr.)
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Druhá řada , svazek 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Hirzebruch, Friedrich (1995) Topologické metody v algebraické geometrii - Classics in Mathematics, Berlín, New York: Springer-Verlag, MR 1335917 , ISBN 978-3-540-58663-0 (aktualizované vydání klasiky s použitím dostatečného množství teorie svazku k zobrazení jeho síla )
Kashiwara, Masaki & Schapira, Pierre (1990) Snopy na rozdělovačích - sv. 292, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], Berlín, New York: Springer-Verlag, MR 1074006 , ISBN 978-3-540-51861-7 (pokročilé techniky, jako jsou odvozené kategorie a mizející cykly rozumné prostory (anglicky)
Mac Lane, Saunders & Moerdijk, Ieke (1994) Snopy v geometrii a logice - Universitex, Berlín, New York: Springer-Verlag, MR 1300636 , ISBN 978-0-387-97710-2 ( zdůrazněna teorie kategorií a toposů)
Serre, Jean-Pierre (1955), Faisceaux algébriques cohérents , Annals of Mathematics (The Annals of Mathematics, sv. 61, č. 2). — T. 61(2): 197–278, ISSN 0003-486X , doi : 10.2307/1969915 , < http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf >
Swan, R. G. (1964) The Theory of Sheaves - University of Chicago Press (stručné poznámky k přednášce) (anglicky)
Tennison, BR (1975) Teorie svazku - Cambridge University Press , MR 0404390 (pedagogická léčba )
Schwartz L. Komplexní analytické variety. Eliptické rovnice s parciálními derivacemi. - M .: Mir, 1964. - 212 s.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	J9U : 987007536441005171 LCCN : sh85121203