Vrcholový vzorec

Pickův vzorec (nebo Pickova věta ) je klasickým výsledkem kombinatorické geometrie a geometrie čísel , dává výraz pro oblast mnohoúhelníku s celočíselnými vrcholy.

Pojmenováno po Georgu Pickovi , který to dokázal v roce 1899 .

Formulace

Oblast mnohoúhelníku s celočíselnými vrcholy [1] je

kde B  je počet celočíselných bodů uvnitř mnohoúhelníku a G  je počet celočíselných bodů na hranici mnohoúhelníku.

Důsledky

• Plocha trojúhelníku s vrcholy v uzlech a neobsahujícím žádné uzly uvnitř ani po stranách (kromě vrcholů) je rovna 1/2.
  • Tato skutečnost dává geometrický důkaz vzorce pro rozdíl konvergentů spojitého zlomku .

Variace a zobecnění

• Erardův polynom dává jednu z možností pro zobecnění Pickova vzorce do vyšších dimenzí .

• Pokud jsou všechny plochy celočíselného mnohostěnu středově symetrické (zejména je- li mnohostěn zónový ), lze jeho objem vypočítat podle vzorce

• Podobné tvrzení platí také v -rozměrném euklidovském prostoru

Poznámky

1. ↑ Bod v souřadnicové rovině se nazývá celé číslo, pokud jsou obě jeho souřadnice celá čísla .
2. ↑ Tabachnikov, Sergej, Pierre Deligne a Sinai Robins. The Ice Cube Proof  //  The Mathematical Intelligencer . - 2014. - Sv. 36 , č. 4 . - str. 1-3 .

Literatura

• V. V. Prasolov . Problémy v planimetrii . - M. : MTsNMO , 2001. - 584 s. - ISBN 5-900916-82-0 .
• A. Kushnirenko. Celočíselné body v mnohoúhelnících a mnohostěnech  // Kvant . - 1977. - č. 4 . - S. 13-20 .