Reálné číslo

Reálné číslo ( reálné číslo [1] ) je matematický objekt , který vznikl z potřeby měřit geometrické a fyzikální veličiny světa kolem nás, stejně jako provádět takové výpočetní operace, jako je extrahování odmocniny , počítání logaritmů , řešení algebraické rovnice , studující chování funkcí [2] .

Pokud v procesu počítání vznikla přirozená čísla , čísla racionální - z potřeby pracovat s částmi celku, pak jsou reálná čísla určena k měření spojitých veličin. Rozšíření uvažované zásoby čísel tedy vedlo k množině reálných čísel, která kromě racionálních čísel zahrnuje prvky zvané iracionální čísla .

Vizuálně lze koncept reálného čísla reprezentovat pomocí číselné osy . Pokud zvolíte směr na přímce, počáteční bod a jednotku délky pro měření segmentů, pak každé reálné číslo může být přiřazeno k určitému bodu na této přímce a naopak každý bod přímky může být přiřazen s nějakým skutečným číslem a pouze jedním. Z důvodu této korespondence se termín „ číselná řada “ obvykle používá jako synonymum pro množinu reálných čísel.

Koncept reálného čísla má za sebou dlouhou cestu. Již ve starověkém Řecku , v Pythagorově škole , která za základ všeho kladla celá čísla a jejich poměry, byla objevena existence nesouměřitelných veličin (nesouměřitelnost strany a úhlopříčky čtverce), tedy v moderní terminologii. , čísla, která nejsou racionální. V návaznosti na to se Eudoxus z Cnidu pokusil sestrojit obecnou teorii čísel, která zahrnovala nesouměřitelná množství. Poté již více než dva tisíce let nikdo necítil potřebu přesné definice pojmu reálné číslo, a to i přes postupné rozšiřování tohoto pojmu [3] . Teprve ve druhé polovině 19. století, kdy si rozvoj matematické analýzy vyžádal restrukturalizaci teoriipřísnou,přísnosti úroveňvyšší,novouna jejích

Z hlediska moderní matematiky je množina reálných čísel spojitým uspořádaným polem . Tato definice nebo ekvivalentní axiomový systém přesně definuje pojem reálného čísla v tom smyslu, že existuje pouze jedno, až do izomorfismu , spojité uspořádané pole .

Sada reálných čísel má standardní zápis - R ("tučné R"), nebo , Unicode U+211D : ℝ) ( tučné na tabuli "R") z lat. realis - skutečný. $\mathbb {R}$ $\mathbf {R}$

Historie vzniku pojmu reálné číslo

Naivní teorie reálných čísel

První vyvinutý numerický systém, postavený ve starověkém Řecku , zahrnoval pouze přirozená čísla a jejich poměry ( proporce , v moderním smyslu - racionální čísla ). Brzy se však ukázalo, že to pro účely geometrie a astronomie nestačí: například poměr délky úhlopříčky čtverce k délce jeho strany nelze vyjádřit ani přirozeným, ani racionálním číslem. [4] .

Aby se z této situace dostal Eudoxus z Cnidu , zavedl kromě čísel i širší pojem geometrické veličiny , tedy délky segmentu, plochy nebo objemu. Teorie Eudoxu se k nám dostala ve výkladu Euklida (" Počátky ", kniha V). V podstatě je teorie Eudoxus geometrickým modelem reálných čísel. Z moderního pohledu je číslo u tohoto přístupu poměr dvou homogenních veličin - například zkoumané a jediného standardu. Je však třeba zdůraznit, že Eudoxus zůstal věrný staré tradici – takový poměr nepovažoval za číslo; z tohoto důvodu je v Elementech mnoho teorémů o vlastnostech čísel znovu prokázáno pro velikosti. Klasická Dedekindova teorie pro konstrukci reálných čísel je ve svých principech extrémně podobná výkladu Eudoxus. Eudoxův model je však v některých ohledech neúplný, například nezahrnuje záporná čísla.

Situace se začala měnit v prvních stoletích našeho letopočtu. E. Již Diophantus Alexandrijský , na rozdíl od předchozích tradic, považuje zlomky za přirozená čísla a ve IV. knize své „Aritmetiky“ dokonce o jednom výsledku píše: „Číslo se ukazuje jako neracionální“ [5] . Po smrti starověké vědy se do popředí dostali matematici Indie a islámských zemí , pro které byl jakýkoli výsledek měření nebo výpočtu považován za číslo. Tyto názory postupně získávaly převahu ve středověké Evropě [6] , kde se nejprve oddělovala čísla racionální a iracionální (doslova: „nerozumné“) (říkalo se jim také imaginární, absurdní, hluché atd.). Kompletní rovnice v právech iracionálních čísel je spojena se spisy Simona Stevina (konec 16. století), který prohlásil [5] :

Docházíme k závěru, že neexistují žádná absurdní, iracionální, nesprávná, nevysvětlitelná nebo hluchá čísla, ale že mezi čísly je taková dokonalost a shoda, že je třeba ve dne v noci meditovat o jejich úžasné úplnosti.

S jistými výhradami legalizoval záporná čísla a také rozvinul teorii a symboliku desetinných zlomků , které od té chvíle začínají nahrazovat nepohodlné šestinásobné .

O století později Newton ve své „ Univerzální aritmetice “ ( 1707 ) uvádí klasickou definici (skutečného) čísla jako poměr výsledku měření k jedinému standardu [7] :

Pod číslem nerozumíme ani tak množinu jednotek, jako abstraktní vztah nějaké veličiny k jiné veličině stejného druhu, brané jako jednotka.

Tato aplikovaná definice byla dlouhou dobu považována za dostatečnou, takže prakticky důležité vlastnosti reálných čísel a funkcí nebyly dokazovány, ale byly považovány za intuitivně zřejmé (z geometrických či kinematických úvah). Například se považovalo za samozřejmé, že tuto přímku protíná spojitá křivka, jejíž body jsou umístěny na opačných stranách určité přímky. Neexistovala ani striktní definice pojmu kontinuita [8] . V důsledku toho mnoho teorémů obsahovalo chyby, vágní nebo příliš široké formulace.

Dokonce i poté , co Cauchy vyvinul poměrně přísný základ pro analýzu , se situace nezměnila, protože teorie reálných čísel, na které se měla analýza spoléhat, neexistovala. Kvůli tomu Cauchy udělal mnoho chyb a spoléhal se na intuici tam, kde to vedlo k nesprávným závěrům: například věřil, že součet řady spojitých funkcí je vždy spojitý.

Vytvoření rigorózní teorie

První pokus zaplnit mezeru v základech matematiky učinil Bernard Bolzano ve svém článku „Čistě analytický důkaz teorému, že mezi jakýmikoli dvěma hodnotami, které dávají výsledky opačného znaménka, existuje alespoň jedna skutečný kořen rovnice “ ( 1817 ). Tato průkopnická práce ještě nemá ucelený systém reálných čísel, ale je již uvedena moderní definice spojitosti a ukazuje se, že na tomto základě lze rigorózně dokázat větu uvedenou v názvu [9] . Bolzano v pozdější práci [10] , podává nástin obecné teorie reálných čísel, která se myšlenkami blíží Cantorově teorii množin [11] , avšak tato jeho práce zůstala za autorova života nepublikována a vyšla pouze v roce 1851. Bolzanovy názory daleko předběhly dobu a nevzbudily pozornost matematické komunity.

Moderní teorie reálných čísel byla postavena ve druhé polovině 19. století, především prací Weierstrasse , Dedekinda a Cantora . Navrhli různé, ale ekvivalentní přístupy k teorii této nejdůležitější matematické struktury a nakonec oddělili tento koncept od geometrie a mechaniky [12] .

Konstruktivní způsoby definování reálného čísla

S konstruktivní definicí pojmu reálné číslo na základě známých matematických objektů (například množina racionálních čísel ), které jsou brány jako dané, se budují nové objekty, které v určitém smyslu odrážejí naše intuitivní pochopení pojmu reálné číslo. Podstatný rozdíl mezi reálnými čísly a těmito zkonstruovanými objekty je v tom, že ty první, na rozdíl od druhých, chápeme pouze intuitivně a nejsou ještě striktně definovaným matematickým pojmem. $\mathbb {Q}$

Tyto objekty jsou deklarovány jako reálná čísla. Pro ně jsou zavedeny základní aritmetické operace, je určena řádová relace a dokázány jejich vlastnosti.

Historicky první přesné definice reálného čísla byly právě konstruktivní definice. V roce 1872 byly současně publikovány tři práce: Cantorova teorie fundamentálních posloupností, Weierstrassova teorie (v moderní verzi - teorie nekonečných desetinných zlomků) a teorie sekcí v oblasti Dedekindových racionálních čísel [3] [ 13] .

Cantorova teorie základních posloupností

V tomto přístupu je reálné číslo považováno za limitu posloupnosti racionálních čísel. Aby posloupnost racionálních čísel konvergovala, je na ni uložena Cauchyho podmínka :

\forall \varepsilon >0\;\existuje N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n+m}-a_{n}|< \varepsilon

Smyslem této podmínky je, že členy posloupnosti počínaje určitým číslem budou ležet libovolně blízko sebe. Sekvence, které splňují Cauchyho podmínku, se nazývají základní .

Označujeme reálné číslo definované základní posloupností racionálních čísel . $\{a_{n}\}$ $[a_{n}]$

Dvě reálná čísla

$\alpha =[a_{n}]$ a , $\beta =[b_{n}]$

definované základními posloupnostmi a , se nazývají rovné if $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0

Pokud jsou dána dvě reálná čísla a , pak jejich součet a součin jsou čísla definovaná součtem a součinem sekvencí a : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{= }}[a_{n}\cdot b_{n}]

Pořadový vztah na množině reálných čísel je stanoven dohodou, podle které je číslo podle definice větší než číslo , tedy pokud $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alpha >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Metoda konstrukce množiny reálných čísel pomocí základních posloupností racionálních čísel je speciálním případem dokončovací konstrukce libovolného metrického prostoru . Stejně jako v obecném případě je množina reálných čísel získaných jako výsledek dokončení sama o sobě již úplná , to znamená, že obsahuje limity všech základních posloupností svých prvků.

Teorie nekonečných desetinných míst

Reálné číslo je definováno jako nekonečný desetinný zlomek , tedy vyjádření tvaru

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

kde je jeden ze symbolů nebo , nazývané znaménko čísla, je nezáporné celé číslo, je posloupnost desetinných míst, tedy prvky číselné množiny . $\odpoledne$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

Nekonečný desetinný zlomek je interpretován jako číslo, které leží na číselné ose mezi racionálními body formuláře

$\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ a pro všechny $\pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)$ $n=0,1,2,\ldots$

Porovnání reálných čísel ve tvaru nekonečných desetinných zlomků se provádí bit po bitu. Například zadaná dvě nezáporná čísla

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}

Pokud , pak ; pokud pak . V případě rovnosti přistoupí k porovnání další číslice. A tak dále. Jestliže , pak po konečném počtu kroků bude nalezena první číslice tak , že . Pokud , pak ; pokud pak . $a_{0}<b_{0}$ $\alpha <\beta$ $a_{0}>b_{0}$ $\alpha >\beta$ $a_{0}=b_{0}$ $\alpha \neq \beta$ $n$ $a_{n}\neq b_{n}$ $a_{n}<b_{n}$ $\alpha <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alpha >\beta$

Je však třeba vzít v úvahu, že počet Pokud je tedy záznam jednoho z porovnávaných čísel počínaje určitou číslicí periodickým desetinným zlomkem, který má v období 9, měl by být nahrazen ekvivalentním záznamem s nulou v období. $a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}$

Aritmetické operace na nekonečných desetinných zlomcích jsou definovány jako spojité rozšíření [14] odpovídajících operací s racionálními čísly. Například součet reálných čísel a nazývá se reálné číslo , které splňuje následující podmínku: $\alpha$ $\beta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Podobně definuje operaci násobení nekonečných desetinných zlomků.

Teorie řezů v oboru racionálních čísel

V Dedekindově přístupu jsou reálná čísla definována pomocí sekcí v množině racionálních čísel.

Sekce v množině racionálních čísel je jakékoli rozdělení množiny všech racionálních čísel do dvou neprázdných tříd - dolní a horní , takže každé číslo z nižší třídy je přísně menší než jakékoli číslo z horní: $\mathbb {Q}$ $A$ $A'$

$\mathbb {Q} =A\pohár A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\ ;(a<a')$

Pokud existuje číslo , které je maximální v nižší třídě nebo minimální ve vyšší třídě, pak toto číslo odděluje množiny a : čísla nižší a vyšší třídy leží na opačných stranách . Také se říká, že racionální číslo produkuje daný úsek množiny racionálních čísel. $\alpha$ $A$ $A'$ $\alpha$ $\alpha$

Pokud v nižší třídě sekce není žádný maximální prvek a v horní třídě sekce žádný minimální prvek, pak neexistuje žádné racionální číslo, které by oddělovalo množiny a . V tomto případě se podle definice předpokládá, že daný úsek určuje nějaké iracionální číslo , které je mezi nižší a vyšší třídou, a tím vytváří daný úsek. Jinými slovy, pro každý řez, který není produkován žádným racionálním číslem, je zaveden nový objekt – iracionální číslo, které je podle definice větší než jakékoli číslo z nižší třídy a menší než jakékoli číslo z vyšší třídy: $A$ $A'$ $\alpha$

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;a<\alpha <a'$

Spojení všech racionálních a všech iracionálních čísel se nazývá množina reálných čísel a jejími prvky jsou reálná čísla .

Aritmetické operace na reálných číslech jsou definovány jako spojité rozšíření odpovídajících operací na racionálních číslech. Například součet reálných čísel a nazývá se reálné číslo , které splňuje následující podmínku: $\alpha$ $\beta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Axiomatický přístup

Existuje mnoho způsobů, jak sestavit množinu reálných čísel. V Cantorově teorii jsou reálná čísla třídami ekvivalentních základních posloupností racionálních čísel, ve Weierstrassově teorii jsou to nekonečné desetinné zlomky, v Dedekindově teorii jsou to úseky v oblasti racionálních čísel. Ve všech těchto přístupech ve výsledku dostáváme určitou množinu objektů (reálných čísel), které mají určité vlastnosti: lze je sčítat, násobit, vzájemně porovnávat. Navíc, jakmile jsou vlastnosti těchto objektů stanoveny, nemůžeme se již odvolávat na konkrétní konstrukce, kterými byly postaveny.

V matematice není důležitá specifická povaha objektů, ale pouze matematické vztahy, které mezi nimi existují.

Pro člověka, který studuje matematický pojem počtu prvků , je jedno, o čem mluvit - o třech jablkách nebo třech peckách a nezáleží na jejich poživatelnosti nebo nepoživatelnosti. V procesu abstrakce od nepodstatných znaků, tedy abstrakce ( lat. abstractio - rozptýlení), dochází ke společné věci, kterou mají tři jablka a tři kameny - počet prvků. Tak vzniká abstraktní pojem přirozeného čísla . Z tohoto pohledu jsou tři jablka a tři kameny dvě konkrétní implementace modelu abstraktního pojmu „číslo tři“.

Stejně tak třídy základních posloupností racionálních čísel, nekonečné desetinné zlomky, úseky v oboru racionálních čísel jsou pouze konkrétní realizace, modely reálného čísla. A samotný pojem reálného čísla je určen existujícími matematickými vztahy pro něj. Jakmile jsou stanoveny, je také definován pojem reálného čísla.

Zde je vhodné citovat slavný výrok D. Hilberta , zakladatele systémové axiomatické metody v matematice, který s odkazem na axiomatizaci geometrie jednou poznamenal:

Mělo by být zajištěno, že se dá se stejným úspěchem mluvit místo bodů, čar a rovin o stolech, židlích a korbelech.David Gilbert [15]

Axiomatika reálných čísel

Množina se nazývá množina reálných čísel a její prvky se nazývají reálná čísla, pokud je splněna následující množina podmínek nazývaná axiomatika reálných čísel: $\mathbb {R}$

Axiomy polí

Mapování je definováno na množině ( operace sčítání ) $\mathbb {R}$

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

který přiřazuje každé uspořádané dvojici prvků z nějakého prvku ze stejné množiny , nazývaný součet a ( ekvivalentní zápis prvku množiny ). $a,b$ $\mathbb {R}$ $C$ $\mathbb {R}$ $A$ $b$ $a+b$ $C$ $\mathbb {R}$

Také je definováno mapování na množině ( operace násobení ) $\mathbb {R}$

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

který přiřazuje každé uspořádané dvojici prvků z nějakého prvku , nazývaného součin a . $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\cdot b$ $A$ $b$

V tomto případě probíhají následující vlastnosti.

{\text{I}}_{1}.

Komutativnost sčítání. Pro jakékoli

a,b\in \mathbb {R}

a+b=b+a

{\text{I}}_{2}.

Asociativita sčítání. Pro jakékoli

a,b,c\in \mathbb {R}

a+(b+c)=(a+b)+c

{\text{I}}_{3}.

Existence nuly. Existuje prvek zvaný nula takový, že pro libovolný

0\in \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a+0=a

{\text{I}}_{4}.

Existence opačného prvku. Pro jakýkoli existuje prvek nazvaný opačný k takovému

a\in \mathbb {R}

-a\in \mathbb {R}

A

a+(-a)=0

{\text{I}}_{5}.

Komutativnost násobení. Pro jakékoli

a,b\in \mathbb {R}

a\cdot b=b\cdot a

{\text{I}}_{6}.

Asociativita násobení. Pro jakékoli

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

{\text{I}}_{7}.

Existence jednotky. Existuje prvek nazvaný unit , takový, že pro any

1\in \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a\cdot 1=a

{\text{I}}_{8}.

Existence inverzního prvku. Pro všechny existuje prvek , také označovaný a nazývaný inverzní k , Takový, že

a\in \mathbb {R} ,a\neq 0

a^{-1}\in \mathbb {R}

1/a

A

a\cdot a^{-1}=1

{\text{I}}_{9}.

Distributivní zákon násobení s ohledem na sčítání. Pro jakékoli

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c

{\text{I}}_{10}.

Terénní netriviálnost. Jedna a nula jsou různé prvky :

\mathbb {R}

$1\neq 0$

Axiomy řádu

Mezi prvky je definován vztah , to znamená, že pro libovolnou uspořádanou dvojici prvků z , je stanoveno, zda je vztah splněn nebo ne. V tomto případě probíhají následující vlastnosti. $\mathbb {R}$ $\leqslant$ $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\leqslant b$

{\text{II}}_{1}.

Reflexivita. Pro každého

a\in \mathbb {R}

$a\leqslant a$

{\text{II}}_{2}.

Antisymetrie. Pro jakékoli

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)$

{\text{II}}_{3}.

Tranzitivita. Pro jakékoli

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)$

{\text{II}}_{4}.

Lineární řád. Pro jakékoli

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)$

{\text{II}}_{5}.

Vztah mezi sčítáním a objednávkou. Pro jakékoli

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\sklon b)\šipka doprava (a+c\sklon b+c)$

{\text{II}}_{6}.

Vztah mezi násobením a řádem. Pro jakékoli

a,b\in \mathbb {R}

$(0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)$

Axiomy kontinuity

{\text{III}}_{1}.

Ať už jsou neprázdné množiny a , takové, že pro libovolné dva prvky a nerovnost platí , existuje číslo takové, že pro všechny a vztah platí

A\subset \mathbb {R}

B\subset \mathbb {R}

v A

b\in B

a\leqslant b

\xi \in \mathbb {R}

v A

b\in B

a\leqslant \xi \leqslant b

Tyto axiomy jsou dostatečné pro přesné odvození všech známých vlastností reálných čísel [16] .

V jazyce moderní algebry znamenají axiomy první skupiny, že množina je pole . Axiomy druhé skupiny - že množina je lineárně uspořádaná množina ( - ), a vztah řádu je v souladu se strukturou pole - . Množiny, které splňují axiomy první a druhé skupiny, se nazývají uspořádaná pole . Konečně poslední skupina, sestávající z jednoho axiomu, uvádí, že množina reálných čísel má vlastnost spojitosti , které se také říká úplnost . Když to shrneme, můžeme dát ekvivalentní definici množiny reálných čísel. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\text{II}}_{1}$ ${\text{II}}_{4}$ ${\text{II}}_{5}$ ${\text{II}}_{6}$

Definice. Množina reálných čísel je souvislé uspořádané pole.

Jiné axiomové systémy reálných čísel

Existují i jiné způsoby axiomatizace reálných čísel. Například místo axiomu spojitosti můžete použít jakoukoli jinou ekvivalentní podmínku nebo skupinu podmínek. Například v systému axiomů navržených Hilbertem jsou axiomy grup a v podstatě stejné jako ty, které jsou uvedeny výše, a místo axiomu jsou použity následující dvě podmínky: ${\text{III}}_{1}.$ ${\text{I}}$ ${\text{II}}$ ${\text{III}}_{1}$

{\text{III}}_{1}'.

Archimédův axiom . Nechť [17] a. Pak se prvekmůže opakovat jako člen tolikrát, že výsledný součet přesáhne:

a>0

b>0

A

b

$a+a+\ldots +a>b$

{\text{III}}_{2}'.

Axiom úplnosti (ve smyslu Hilberta). Systém nelze rozšířit na žádný systém tak, že při zachování předchozích vztahů mezi prvky pro všechny axiomy - , .

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

{\text{I}}

{\text{II}}

{\text{III}}_{1}'.

Lze tedy uvést následující ekvivalentní definici:

Definice. Množina reálných čísel je maximální Archimédovo uspořádané pole

Jako další příklad axiomatizace reálných čísel lze uvést Tarského axiomatiku , která se skládá pouze z 8 nezávislých axiomů.

Vlastnosti

Spojení s racionálními čísly

Je zřejmé, že racionální čísla se na číselné ose mísí s reálnými čísly a množina reálných čísel je v jistém smyslu „hustší“ než množina racionálních. Nabízí se přirozená otázka, jak často na číselnou osu dopadají racionální a reálná čísla a zda lze některá čísla aproximovat jinými. Odpověď na tuto otázku dávají tři lemmata , vycházející především z Archimedova axiomu . [osmnáct]

Lemma 1. Pro jakékoli reálné číslo a jakoukoli kladnou racionální vzdálenost zaujatou předem existuje dvojice racionálních čísel oddělených od sebe menší než tato vzdálenost, takže reálné číslo leží na segmentu mezi těmito racionálními čísly.

\forall a\in \mathbb {R} ~\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\existuje q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{ 1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )

Toto lemma říká, že jakékoli reálné číslo lze aproximovat ze dvou stran s danou přesností racionálními čísly.

Lemma 2. Mezi libovolnými dvěma různými reálnými čísly existuje racionální číslo.

\forall a,b\in \mathbb {R} ,a<b~\existuje q\in \mathbb {Q} :a<q<b

Zřejmým důsledkem tohoto lemmatu je skutečnost, že mezi libovolnými dvěma neshodnými reálnými čísly existuje nekonečný počet racionálních čísel. Navíc je ještě zjevnější, že mezi jakýmikoli dvěma odlišnými racionálními čísly existuje reálné číslo.

Lemma 3. Racionální aproximace reálného čísla popsaná v lemmatu 1 jednoznačně identifikuje reálné číslo.

\forall a,b\in \mathbb {R} ~(\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\existuje q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~ (q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{1}\leq b\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\ Šipka vpravo a=b

Tato lemmata především říkají, že množina reálných čísel není tak "hustá" ve srovnání s množinou racionálních čísel, jak by se mohlo zdát. Zvláště názorně to ilustruje lemma 2. Všechna tři lemmata se aktivně používají k dokazování různých vět souvisejících s operacemi sčítání a násobení reálných čísel.

Vlastnosti množinově teoretické

Zpočátku byla reálná čísla přirozeným zobecněním racionálních čísel , ale poprvé objevili vlastnost nespočitatelnosti, která říká, že množinu reálných čísel nelze očíslovat, to znamená, že mezi množinami reálných a přirozených čísel neexistuje bijekce . čísla . Abychom ukázali nespočitatelnost celé množiny reálných čísel, stačí ukázat nepočitatelnost intervalu . [osmnáct] $\left(0,1\right)$

Nechť jsou všechna čísla zadaného intervalu již nějakým způsobem vyčíslena. Pak je lze zapsat v následujícím tvaru:

x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots

x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots

\cdots

x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots

\cdots

Zde je -tá číslice -tého čísla. Je zřejmé, že všechna čísla uvedeného typu skutečně patří do uvažovaného intervalu, pokud v každém čísle nejsou všechny číslice bezprostředně nuly nebo devítky . $a_{{ij}}$ $j$ $i$

Dále zvažte následující číslo:

x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots

Nechť každá číslice tohoto čísla splňuje následující tři vlastnosti: $d_{i}$

$d_{i}\neq 0$
$d_{i}\neq 9$
$d_{i}\neq a_{ii}$

Takové číslo v zadaném intervalu skutečně existuje, protože je skutečné, neshoduje se ani s nulou, ani s jedničkou a pro třetí vlastnost stačí desetinné číslice. Navíc je zajímavý tím, že se neshoduje s žádným z výše napsaných čísel, protože jinak by se -tá číslice čísla shodovala s -tou číslicí čísla . Došli jsme k rozporu, který spočívá v tom, že bez ohledu na to, jak jsou čísla uvažovaného intervalu očíslována, stále bude existovat číslo ze stejného intervalu, kterému není přiřazeno číslo. [osmnáct] $X$ $x_{j}$ $j$ $X$ $j$ $x_{j}$

To znamená, že množina reálných čísel není spočetná . Jeho síla se nazývá síla kontinua .

Rozšířená množina reálných čísel

V řadě aplikací matematické analýzy je vhodné použít rozšířenou množinu reálných čísel , kterou získáme doplněním množiny reálných čísel o bod v nekonečnu jedním z následujících způsobů [19] . ${\overline {R))$ $R$

Dvě znaménková nekonečna: , $\overline R = R \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$
Jedno nekonečno bez znaménka: . ${\overline {R}}=R\cup \{\infty \}$

Nekonečna se znaménkem a , vyskytující se v první definici, představují limitu posloupnosti příslušných kladných nebo záporných čísel, která se v modulo neomezeně zvyšují. Druhá definice používá nekonečno bez znaménka , někdy také označované jako , což je limit posloupnosti čísel (s libovolnými znaménky), jejichž absolutní hodnota se neomezeně zvyšuje. Všimněte si, že symbol může označovat jak nekonečno bez znaménka, tak kladné nekonečno . Z kontextu je většinou jasné, které nekonečno je míněno, nebo je to jedno. $+\infty$ $-\infty$ $\infty$ $\pm\infty$ $\infty$ $+\infty$

Zobecnění reálných čísel

Obor reálných čísel neustále sloužil v matematice jako zdroj zobecnění a v různých prakticky důležitých směrech. Následující varianty zobecněných numerických systémů sousedí přímo s polem . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Komplexní čísla . Zvláště plodné v algebře a analýze jsou úspěšně používány ve fyzice , elektrotechnice , kartografii , hydrodynamice atd.
Intervalová čísla . Používají se především v teorii přibližných výpočtů a v teorii pravděpodobnosti .
Nestandardní analýza , která k reálným číslům přidává nekonečně malá a nekonečně velká čísla (různých řádů).

Aplikace

Matematický model reálných čísel je široce používán ve vědě a technice k měření neustále se měnících veličin. To však není jeho hlavní uplatnění, protože skutečně měřené veličiny mají vždy konečný počet desetinných míst, tedy jde o racionální čísla. Hlavním účelem tohoto modelu je sloužit jako základ pro analytické výzkumné metody. Obrovský úspěch těchto metod za poslední tři století ukázal, že model reálných čísel ve většině případů adekvátně odráží strukturu spojitých fyzikálních veličin [20] [21] .

To, co bylo řečeno, samozřejmě neznamená, že reálná číselná osa je přesným obrazem reálné spojité veličiny. Například moderní věda ještě neví, zda jsou prostor a čas diskrétní nebo nekonečně dělitelné; i ve druhém případě je však třeba model reálných čísel pro tyto veličiny považovat za přibližný, protože pojmy bod v prostoru a okamžik v čase jsou idealizacemi , které nemají reálnou obdobu. Tato základní otázka byla ve vědě široce diskutována, počínaje Zenónovými aporiemi .

Viz také

Poznámky

↑
Názvy " reálné číslo " a " reálné číslo " jsou ekvivalentní. Historicky se termín „ skutečné číslo “ používal na Moskevské matematické škole a „ skutečné číslo “ na Leningradské škole . Jako příklad lze uvést dvě klasická díla:
- Luzin, N. N. Teorie funkcí reálné proměnné. (moskevská škola)
- Natanson, I. P. Teorie funkcí reálné proměnné. (Leningradská škola)
Moderní vysokoškolské učebnice používají oba termíny:
- Zorich V. A. Matematická analýza. ( MGU, mekhmat ) — reálné číslo
- Ilyin V. A., Poznyak V. G. Základy matematické analýzy. ( Moskevská státní univerzita, Fyzikální fakulta ) — reálné číslo
- Kudryavtsev, L. D. Kurz matematické analýzy. ( MIPT ) je reálné číslo
- Fikhtengol'ts, G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. ( St. Petersburg State University ) — skutečné číslo
↑ Viz L. D. Kudryavtsev, Kurz matematické analýzy. - T. 1. - S. 35-36. , stejně jako Bourbaki N. Eseje o historii matematiky. - S. 146.
↑ 1 2 3 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Cesty a labyrinty. Eseje o historii matematiky. - S. 287-289.
↑ Bourbaki N. . Architektura matematiky. Eseje o historii matematiky. - S. 147.
↑ 1 2 Bourbaki N. . Architektura matematiky. Eseje o historii matematiky. - S. 150-151.
↑ Historie matematiky. - T. I. - S. 190-191, 304-305.
↑ Historie matematiky. - T. II. - S. 35.
↑ Bourbaki N. . Architektura matematiky. Eseje o historii matematiky. - S. 154.
↑ Čítanka o dějinách matematiky. Matematická analýza. Teorie pravděpodobnosti / Ed. A. P. Juškevič . - M . : Vzdělávání, 1977. - S. 171-178. — 224 s.
↑ Bernard Bolzano. Paradoxy nekonečna. Archivováno 13. dubna 2014 na Wayback Machine
↑ Rychlik Karel. Teorie reálných čísel v Bolzanově rukopisném dědictví // IMI, 1958. č. 11. S. 515-532.
↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra a začátek analýzy. Učebnice pro 10-11 tříd střední školy. - M., Vzdělávání, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 162-165
↑ Rybnikov K. A. Dějiny matematiky. - T. 2. - S. 196.
↑ Protože vztah lineárního řádu již byl zaveden na množině reálných čísel, můžeme definovat topologii reálné čáry: jako otevřené množiny bereme všechny možné svazy intervalů tvaru $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Reid C. Gilbert. - S. 79.
↑ Viz L. D. Kudryavtsev, Kurz matematické analýzy. - T. 1.
↑ $(a>0)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\geqslant 0)\land (a\neq 0)$
↑ 1 2 3 V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 2. Reálná čísla // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 44-45, 63 - 64. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kudryavtsev L. D., 2005 , s. 19.
↑ Matematika, její obsah, metody a význam (ve třech dílech). - Akademie věd SSSR, 1956. - T. 1. - S. 29-31. — 296 s.
↑ Stewart, Ian . Neuvěřitelná čísla profesora Stewarta = neuvěřitelná čísla profesora Stewarta. - M . : Alpina literatura faktu, 2016. - S. 209-210. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .

Literatura

Reference

Arnold IV Teoretická aritmetika. — M .: UCHPEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Eseje o dějinách matematiky / přel. z francouzštiny I. G. Bašmaková, ed. K. A. Rybníková. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1963.

Hilbert D. Základy geometrie = Grundlagen der Geometrie / per. ze 7. německého vydání I. S. Gradshteina, ed. P. K. Raševskij. - M. - L .: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Cesty a labyrinty. Eseje o historii matematiky. — Per. z francouzštiny - M. : MIR, 1986. - 432 s.

Dedekind R. Spojitost a iracionální čísla = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. opravené vydání. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Zorich V. A. Matematická analýza. Část I. - 4. vyd., Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI. + 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Základy matematické analýzy: Za 2 hodiny Část I. - 7. vydání. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Dějiny matematiky od nejstarších dob do počátku 19. století. Ve třech svazcích / ed. Juškevič. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Pracuje na teorii množin / ed. A. N. Kolmogorov, F. A. Medveděv, A. P. Juškevič,. - M . : SCIENCE, 1985. - (Klasika vědy).

A. N. Kolmogorov. O zdůvodnění teorie reálných čísel // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , vydání. 1(11) . - S. 217-219 .
Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Kudryavtsev L. D. Krátký kurz matematické analýzy. - 3. vyd. revidováno .. - M . : FIZMATLIT, 2005. - T. 1. - 400 s. — ISBN 5-9221-0184-6 .

Reed K. Gilbert / přel. z angličtiny. I. V. Dolgačev, ed. R. V. Gamkrelidze. — M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Dějiny matematiky. - M. : Nakladatelství Moskevské univerzity, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Kurz matematické analýzy. — 3. vyd., opraveno. - M. : FIZMATLIT, 2001. - 672 s. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol'ts G.M. Základy matematické analýzy. - 7. vyd. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Doporučená četba

z historie vzniku pojmu reálné číslo:

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Cesty a labyrinty. Eseje o historii matematiky.
Dějiny matematiky, editoval A. P. Juškevič ve třech svazcích, M .: Nauka.

Svazek 1 Od starověku do počátku novověku. (1970)
2. díl Matematika 17. století. (1970)
3. díl Matematika 18. století. (1972) Archivováno 24. března 2017 na Wayback Machine

Podrobnou prezentaci teorie konstruování reálných čísel pomocí základních posloupností , stejně jako teorie konstruování reálných čísel pomocí sekcí v oblasti racionálních čísel, lze nalézt v následujícím:

Arnold IV Teoretická aritmetika . Archivováno 25. února 2010 na Wayback Machine

Ti, kteří se chtějí seznámit s původním myšlenkovým pochodem samotného R. Dedekinda, mohou doporučit brožuru, ve které v roce 1872 Dedekind nastínil svou teorii reálného čísla. Tato kniha zůstává dodnes jednou z nejlepších a nejpřístupnějších expozic na toto téma. Existuje ruský překlad:

Dedekind, R. Spojitost a iracionální čísla = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. opravené vydání. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

také je zde vynikající výklad Dedekindovy teorie v klasické učebnici:

Fikhtengol'ts, G. M. Základy matematické analýzy. - 7. vyd. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Konstrukce teorie reálného čísla pomocí nekonečných desetinných míst lze nalézt v knihách:

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Kurz matematické analýzy.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Základy matematické analýzy: Za 2 hodiny. Část I.

axiomatickou prezentaci teorie reálného čísla lze nalézt v knihách:

Kudryavtsev, L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M . : Drofa, 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Zorich, V. A. Matematická analýza. Část I. - Ed. 4., rev. - M. : "MTsNMO", 2002. - 657 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Podstatu axiomatické metody a její srovnání s konstruktivním přístupem představuje D. Hilbert na několika stranách v „Příloze VI. O pojmu čísla“ v následujícím vydání klasického díla:

Hilbert D. Základy geometrie = Grundlagen der Geometrie. - za ze 7. německého vydání I. S. Gradshteina, ed. P. K. Raševskij. - M. - L .: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1948.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNF : 11977586x GND : 4202628-3 J9U : 987007538747105171 LCCN : sh85093221 NDL : 00574870 NKC : ph125164

Numerické soustavy
Počitatelné sady	Přirozená čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ celá čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ racionální ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraické ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Období Vypočitatelný Aritmetický
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplexní ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ čtveřice ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyova čísla (oktávy, osminky) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternions Dvojí Hyperkomplex Superreálné Hypermateriál nadreálný
Nástroje pro numerické rozšíření	Cayley-Dixonův postup Frobeniova věta Hurwitzova věta
Jiné číselné soustavy	kardinální čísla Řadové číslovky (překonané, řadové) p-adic Nadpřirozená čísla intervalová čísla
viz také	dvojitá čísla Iracionální čísla transcendentální čísla číselný paprsek Biquaternion