Bernoulliho zákon

Bernoulliho zákon [1] (také Bernoulliho rovnice [2] [3] , Bernoulliho věta [4] [5] nebo Bernoulliho integrál [2] [6] [7] ) stanoví vztah mezi rychlostí stacionárního proudění tekutiny a jeho tlak . Podle tohoto zákona, pokud se tlak kapaliny zvyšuje podél proudnice , pak se rychlost proudění snižuje a naopak. Kvantitativní vyjádření zákona ve formě Bernoulliho integrálu je výsledkem integrace hydrodynamických rovnic ideální tekutiny [2] (tedy bez viskozity a tepelné vodivosti ).

Historie

Pro případ nestlačitelné tekutiny byl výsledek ekvivalentní moderní Bernoulliho rovnici publikován v roce 1738 Daniilem Bernoullim [K 1] . Ve své moderní podobě publikoval integrál Johann Bernoulli v roce 1743 [11] pro případ nestlačitelné tekutiny a pro některé případy proudění stlačitelné tekutiny Eulerem v roce 1757 [12] .

Bernoulliho integrál v nestlačitelné tekutině

Plný tlak
Dimenze	$L^{-1}MT^{-2}$
Jednotky
SI	J / m 3 \u003d Pa
GHS	erg / cm 3
Poznámky
Neustále podél proudnice stálého toku nestlačitelné tekutiny .

Pro ustálený tok nestlačitelné tekutiny lze odvodit Bernoulliho rovnici jako důsledek zákona zachování energie . Bernoulliho zákon říká, že množství zůstává konstantní podél proudnice: $\rho v^{2}/2+\rho gh+p$

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.

Tady

\rho

je hustota kapaliny;

proti

— průtok ;

h

- výška;

p

- tlak ;

G

je zrychlení volného pádu . Elementární odvození Bernoulliho rovnice ze zákona zachování energie

Elementární odvození Bernoulliho rovnice ze zákona zachování energie je uvedeno např. v učebnici D. V. Sivukhina [13] . Uvažuje se stacionární pohyb tekutiny podél proudnice, znázorněný na obrázku. Vlevo je objem tekutiny, původně uzavřené mezi dvěma sekcemi a , ovlivněn silou , vpravo silou opačného směru . Rychlost a tlak v úsecích 1 a 2, stejně jako jejich plochy, jsou označeny indexy 1 a 2. V nekonečně malém čase se levá hranice tohoto objemu kapaliny posunula o malou vzdálenost a pravá hranice o vzdálenost . Práce vykonaná tlakovými silami se rovná: $A_{1}$ $A_{2}$ $F_{1}=p_{1}A_{1}$ $F_{2}=-p_{2}A_{2}$ $proti$ $p$ $\Delta t$ $s_{1}=v_{1}\Delta t$ $s_{2}=v_{2}\Delta t$

W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2} p_{2}\vpravo).

Na začátku časového intervalu je objem tekutiny uzavřený mezi dvěma povrchy a skládá se z levého modrého prvku a střední modré části, na konci tohoto intervalu se vytlačený objem skládá ze střední modré části a pravé modré části. živel. Vzhledem k tomu, že proudění je stacionární, příspěvek modrého fragmentu k energii a hmotnosti diskutovaného objemu kapaliny se nemění a zachování hmotnosti nám umožňuje dospět k závěru, že hmotnost levého modrého prvku je rovna hmotnosti pravý modrý prvek: Proto je práce sil, jejíž výraz lze převést do tvaru: rovna změně energie , která se zase rovná rozdílu energie mezi pravým modrým prvkem a levým modrým prvkem . $\Delta t$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.$ $\Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}} \že jo),$ $\Delta E_{2}$ $\Delta E_{1}$

Pro nestlačitelnou tekutinu za prvé ve výrazu pro práci můžeme dát a za druhé se ve výrazu pro energii tekutého prvku můžeme omezit na kinetickou a potenciální energii: Poté rovnost dává: , popř. . $\rho _{1}=\rho _{2}=\rho$ $\Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),$ $\Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).$ ${\displaystyle \Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1))$ $p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}$ $p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}$

Konstanta na pravé straně (může se lišit pro různé proudnice) se někdy nazývá celkový tlak [2] . Mohou být také použity výrazy "hmotnostní tlak" , "statický tlak" a "dynamický tlak" . Podle DV Sivukhina [13] si iracionality těchto konceptů všimlo mnoho fyziků. $\rho gh$ $p$ $\rho v^{2}/2$

Dimenzí všech členů je jednotka energie na jednotku objemu. První a druhý člen v Bernoulliho integrálu mají význam kinetické a potenciální energie na jednotku objemu kapaliny. Třetí člen ve svém původu je práce tlakových sil (viz výše uvedené odvození Bernoulliho rovnice), ale v hydraulice jej lze nazvat „energií tlaku“ a částí potenciální energie [14] ).

Odvození Torricelliho vzorce z Bernoulliho zákona

Při aplikaci na výtok ideální nestlačitelné tekutiny malým otvorem v boční stěně nebo dně široké nádoby dává Bernoulliho zákon rovnost celkových tlaků na volném povrchu tekutiny a na výstupu z otvoru:

\rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},

kde

h

je výška sloupce kapaliny v nádobě, měřená od úrovně otvoru,

proti

je rychlost proudění tekutiny,

p_{0}

- atmosférický tlak .

Odtud: . Toto je Torricelliho vzorec . Ukazuje, že při vytékání kapalina nabývá rychlosti, kterou by těleso dostalo, kdyby volně padalo z výšky . Nebo, pokud proud proudící z malého otvoru v nádobě směřuje nahoru, dosáhne proud v horním bodě (bez ohledu na ztráty) úrovně volné hladiny v nádobě [15] . $v={\sqrt {2gh}}$ $h$

Další projevy a aplikace Bernoulliho zákona

Aproximace nestlačitelné tekutiny a s ní Bernoulliho zákon platí i pro laminární proudění plynu, pokud jsou pouze rychlosti proudění malé ve srovnání s rychlostí zvuku [16] .

Podél vodorovného potrubí je souřadnice konstantní a Bernoulliho rovnice má tvar . Z toho vyplývá, že jak se průtokový průřez zmenšuje v důsledku zvýšení rychlosti, tlak klesá. Vliv snižování tlaku se zvyšujícím se průtokem je základem činnosti Venturiho průtokoměru [17] a proudového čerpadla [1] . $z$ ${\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}$

Bernoulliho zákon vysvětluje, proč se lodě pohybující se v paralelním kurzu mohou vzájemně přitahovat (například k takovému incidentu došlo u olympijského parníku ) [18] .

Aplikace v hydraulice

Důsledné uplatňování Bernoulliho zákona vedlo ke vzniku technické hydromechanické disciplíny - hydrauliky . Pro technické aplikace se často Bernoulliho rovnice zapisuje tak, že má všechny členy dělené „ měrnou hmotností “ : $\rho g$

H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}}),

kde členy délky v této rovnici mohou mít následující názvy:

Tlak [19]
Dimenze	$L$
Jednotky
SI	Metr
Poznámky
Celkový tlak dělený měrnou hmotností .

H

— hydraulická výška [4] nebo hlava [19] ,

h

— výška vyrovnání [4] ,

{\frac {p}{\rho g))

- piezometrická výška [4] nebo (spolu s nivelační výškou) hydrostatická hlavice [19] ,

{\frac {v^{2}}{2g}}

— výška rychlosti [4] nebo výška rychlosti [19] .

Bernoulliho zákon platí pouze pro ideální kapaliny, ve kterých nedochází ke ztrátám viskózním třením . Pro popis proudění reálných kapalin v technické hydromechanice (hydraulice) se používá Bernoulliho integrál s doplněním termínů, které přibližně zohledňují různé „ hydraulické tlakové ztráty “ [19] .

Bernoulliho integrál v barotropních tocích

Bernoulliho rovnici lze také odvodit z pohybové rovnice tekutiny [K 2] [K 3] . V tomto případě se předpokládá, že proudění je stacionární a barotropní . To druhé znamená, že hustota kapaliny nebo plynu není nutně konstantní (jako u dříve předpokládané nestlačitelné kapaliny), ale je funkcí pouze tlaku: , což nám umožňuje zavést funkci tlaku [22] Za těchto předpokladů je Množství $\rho =\rho (p)$ ${\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p))).$

{\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}

je konstantní podél jakékoli proudnice a jakékoli linie víru . Poměr platí pro proudění v jakémkoli potenciálním poli a je nahrazen potenciálem síly těla . $gh$ $\varphi$

Odvození Bernoulliho integrálu pro barotropní proudění

Gromeka-Lambova rovnice [23] [24] (hranaté závorky označují vektorový součin ) má tvar:

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\jméno operátora {grad} \left({\frac {v^{2)){2))\right)+ \left[\mathrm {rot} \,{\vec {v)),{\vec {v}}\right]=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\vec {F}}

Na základě provedených předpokladů a (v konkrétním případě homogenní gravitační síly je její potenciál ), takže Gromeka-Lambova rovnice má tvar: ${\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))=0,$ ${\frac {\operatorname {grad} p}{\rho }}=\operatorname {grad} {\cal {P}}$ ${\vec {F}}=-\operatorname {grad} \varphi$ $\varphi =g\,h$

\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)+\left[\mathrm {rot} \, {\vec {v)],{\vec {v}}\right]=0

Skalární součin této rovnice a jednotkový vektor tečný k proudnici dává: ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v)),$

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)=0

protože součin gradientu jednotkovým vektorem dává derivaci ve směru a vektorový součin je kolmý ke směru rychlosti. V důsledku toho podél proudnice Tento vztah platí také pro vírovou čáru, vektor tečny, ke kterému v každém bodě směřuje podél ${\frac {\partial }{\partial l))$ ${\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .$ $\mathrm {rot} \,{\vec {v}}.$

Pro irotační barotropní proudění, jehož rychlost lze vyjádřit jako gradient rychlostního potenciálu , je Bernoulliho integrál ve tvaru [K 4] zachován i v nestacionárním proudění a konstanta na pravé straně má stejnou hodnotu pro proudění. celý tok [25] . ${\vec {v}}=\jméno operátora {grad} \psi$ ${\frac {\partial \psi }{\partial t))+{\frac {\left(\operatorname {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const}$

Vzorec Saint-Venant-Wanzel

Je-li adiabatický zákon splněn při proudění dokonalého plynu [26]

p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0 }}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}} {\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1) /\gama }\right],

pak je Bernoulliho rovnice vyjádřena následovně [27] (příspěvek gravitace lze obvykle zanedbat):

{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}} \left[1-\left({\frac {p}{p_{0))}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const}

podél proudnice nebo vírové linie. Tady

\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}

je adiabatický index plynu vyjádřený jako tepelná kapacita při konstantním tlaku a při konstantním objemu,

p,\ \rho

jsou tlak a hustota plynu,

p_{0},\ \rho _{0}

jsou podmíněně zvoleny konstantní (stejné pro celý průtok) hodnoty tlaku a hustoty.

Tento vzorec se používá k nalezení rychlosti plynu proudícího z vysokotlaké nádoby malým otvorem. Je vhodné vzít tlak a hustotu plynu v nádobě, ve které je rychlost plynu rovna nule, jako pak výstupní rychlost je vyjádřena jako vnější tlak podle Saint-Venant-Wanzela. vzorec [ 28] : $p_{0},\ \rho _{0},$ $p$

v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left( {\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right].

Termodynamika Bernoulliho zákona

Z termodynamiky vyplývá , že podél proudnice jakéhokoli stacionárního proudění ideální tekutiny

{\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const)),\quad s={\text{const)),

kde je entalpie jednotky hmotnosti , je gravitační potenciál (rovný pro rovnoměrnou gravitaci), je entropie jednotky hmotnosti. $w$ $\varphi$ $gz$ $s$

Odvození Bernoulliho zákona z Eulerovy rovnice a termodynamických vztahů

1. Eulerova rovnice pro stacionární ( ) pohyb ideální tekutiny v gravitačním poli [29] má tvar $\partial {\vec {v}}/\partial t=0$

({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g)),

kde lze gravitační zrychlení vyjádřit pomocí gravitačního potenciálu (pro rovnoměrné pole ), tečka mezi vektory v závorce znamená jejich skalární součin . ${\vec {g}}=-\nabla \varphi$ $\varphi =gh$

2. Skalární součin této rovnice a jednotkový vektor tečna k proudnici dává ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v)),$

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho )){\frac {\částečné p}{\částečné l)),

protože součin gradientu a jednotkového vektoru dává derivaci ve směru ${\frac {\partial }{\partial l)).$

3. Termodynamický diferenciální vztah

\mathrm {d} w={\frac {1}{\rho }}\mathrm {d} p+T\mathrm {d} s,

kde je entalpie jednotky hmotnosti , je teplota a je entropie jednotky hmotnosti, dává $w$ $T$ $s$

{\frac {\partial w}{\partial l))={\frac {1}{\rho )){\frac {\partial p}{\partial l))+T{\frac {\ částečné s}{\částečné l)),\quad

tak

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=T{\frac {\partial s} {\částečné l)).

Ve stacionárním proudění ideální tekutiny mají všechny částice pohybující se podél dané proudnice stejnou entropii [30] ( ), tedy podél proudnice: $\partial s/\partial l=0$

s={\text{const)),\quad {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}}.

Bernoulliho integrál se používá v technických výpočtech, a to i pro média, která jsou svými vlastnostmi velmi vzdálená ideálnímu plynu, například pro vodní páru používanou jako chladivo v parních turbínách. V tomto případě lze použít tzv. Mollierovy diagramy , které představují specifickou entalpii (podél osy y ) jako funkci specifické entropie (podél úsečky ) a například tlak (nebo teplotu) ve tvaru rodina izobar ( izotermy ). V tomto případě posloupnost stavů podél proudnice leží na nějaké svislé čáře ( ). Délka úseku této čáry, odříznutá dvěma izobarami odpovídajícími počátečnímu a konečnému tlaku chladiva, se rovná polovině změny druhé mocniny rychlosti [31] . $s={\text{const))$

Zobecnění Bernoulliho integrálu

Bernoulliho integrál je také zachován, když proudění prochází přední částí rázové vlny, v referenčním rámci, ve kterém je rázová vlna v klidu [32] . Během takového přechodu však entropie média nezůstává konstantní (zvyšuje se), proto je Bernoulliho vztah pouze jedním ze tří Hugoniotových vztahů , spolu se zákony zachování hmoty a hybnosti, vztahujícími se ke stavu střední za předkem do stavu média před předkem as rychlostí rázové vlny.

Jsou známá zobecnění Bernoulliho integrálu pro některé třídy viskózních proudění tekutin (například pro rovinně paralelní proudění [33] ), v magnetohydrodynamice [34] , ferohydrodynamice [35] . V relativistické hydrodynamice, kdy jsou rychlosti proudění srovnatelné s rychlostí světla , je integrál formulován jako relativisticky invariantní [36] specifická entalpie a specifická entropie [37] . $C$

Komentáře

↑ V záznamu D. Bernoulliho se vnitřní tlak v kapalině explicitně neobjevil [8] [9] [10] .
↑ "...[Odvození Bernoulliho věty z energetické rovnice] ochuzuje obsah Bernoulliho věty... Bernoulliho integrál obecně na energetické rovnici nezávisí, i když se s ní shoduje pro izoentropické resp. adiabatický pohyb dokonalého plynu“ [20] .
↑ „Dva ... způsoby, jak získat Bernoulliho rovnici, nejsou ekvivalentní. Při derivaci energie není třeba předpokládat, že proudění je izoentropické. Při integraci pohybové rovnice se Bernoulliho integrály získávají nejen podél proudnic, ale také podél vírových čar“ [21] .
↑ V ruské literatuře je Bernoulliho integrál pro potenciální toky nestlačitelné nebo barotropní tekutiny znám jako Cauchy-Lagrangeův integrál [25]

Poznámky

↑ 1 2 Landsbergův zákon G. S. Bernoulliho, 1985 .
↑ 1 2 3 4 Vishnevetsky S. L. Bernoulliho rovnice, 1988 .
↑ Titjens O., Prandtl L. Hydro- and Aeromechanics, 1933 .
↑ 1 2 3 4 5 Loitsyansky L. G. Mechanika kapalin a plynů, 2003 , §24. Bernoulliho věta.
↑ Milne-Thomson L. M. Theoretical hydrodynamics, 1964 .
↑ Sedov L.I. Mechanika kontinua, 1970 .
↑ Cherny G. G. Dynamika plynu, 1988 .
↑ Truesdell K. Essays in the History of Mechanics, 2002 .
↑ Michajlov G. K. , 1999 , s. 17.
↑ Darrigol O. Historie hydrodynamiky, 2005 , s. 9.
↑ Truesdell K. Eseje z historie mechaniky, 2002 , str. 255, 257.
^ Euler L. Continuation des recherches, 1755 (1757) , s. 331.
↑ 1 2 Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §94. Stacionární pohyb ideální tekutiny. Bernoulliho rovnice.
↑ Chugaev R. R. Hydraulika. - L . : Energie , 1975. - 600 s.
↑ Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §95. Příklady aplikace Bernoulliho rovnice. Torricelliho vzorec.
↑ Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §94, vzorec (94.6).
↑ Molokanov Yu.K. Procesy a zařízení pro zpracování ropy a plynu . - M .: Chemie, 1980. - S. 60. - 408 s.
↑ Ano, I. Perelman . Proč jsou lodě přitahovány? . Získáno 27. prosince 2018. Archivováno z originálu 11. května 2012. (Ruština)
↑ 1 2 3 4 5 Napor, 1992 .
↑ Batchelor J. Introduction to Fluid Dynamics, 1973 , Poznámka G. Yu. Stepanova, str. 208.
↑ Goldstein R. V., Gorodtsov V. A. Mechanika spojitých médií, 2000 , s. 104.
↑ Loitsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §23, rovnice (9).
↑ Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §23, rovnice (7).
↑ Sedov L.I. Mechanika kontinua, 1970 , kapitola VIII. §2, rovnice (2.1).
↑ 1 2 Loitsyansky L. G. Mechanika kapalin a plynů, 2003 , §42. Lagrangeův-Cauchyho integrál.
↑ Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §24, rovnice (29).
↑ Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §24, rovnice (30).
↑ Loitsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §24, rovnice (31).
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , Rovnice (2.4).
↑ Sedov L.I. Mechanika kontinua, 1970 , kapitola VII. §2. tlaková funkce.
↑ Paul R.V. , Mechanika, akustika a nauka o teple, 2013 , s. 446.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , §85.
↑ Golubkin V. N., Sizykh G. B. K některým obecným vlastnostem planparalelních proudění viskózní tekutiny // Sborník Akademie věd SSSR, řada Mechanika tekutin a plynů: časopis. - 1987. - č. 3 . — S. 176–178 . - doi : 10.1007/BF01051932 .
↑ Kulikovskiy A. G. , Lyubimov G. A. Magnetická hydrodynamika . - M .: Fizmatlit , 1962. - S. 54 . — 248 s.
↑ Rosenzweig R. Ferrohydrodynamika / Per. z angličtiny. vyd. V. V. Gogošov. - M .: Mir , 1989. - S. 136. - 359 s. — ISBN 5-03-000997-3 .
↑ Zubarev D. N. , Relativistická termodynamika, 1994 .
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , rovnice (134.11).

Literatura

Batchelor J. Úvod do dynamiky tekutin / Per. z angličtiny. vyd. G. Yu Stepanova . — M .: Mir , 1973. — 760 s.
Vishnevetsky S. L. Bernoulliho rovnice // Fyzikální encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Sovětská encyklopedie , 1988. - T. 1: Aharonov-Bohmův efekt - Dlouhé čáry. - S. 187. - 704 s.
Gol'dshtein R. V. , Gorodtsov V. A. Mechanika kontinua. Část 1. - M . : Fizmatlit , 2000. - 256 s. — ISBN 5-02-015555-1 .
Zubarev, D.N. Relativistická termodynamika // Fyzikální encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Velká ruská encyklopedie , 1994. - V. 4: Poynting-Robertsonův efekt - Streamers. - S. 333-334. - 704 s. - ISBN 5-85270-087-8 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamika. - 5. vydání, stereotypní. - M. : Fizmatlit, 2001. - 736 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek VI). — ISBN 5-9221-0121-8 .
Loytsyansky L.G. Mechanika kapaliny a plynu. - M .: Drop, 2003. - 842 s. — ISBN 5-7107-6327-6 .
Milne-Thomson L. M. Teoretická hydrodynamika. — M .: Mir , 1964. — 656 s.
Michajlov G.K. Formování hydrauliky a hydrodynamiky v dílech petrohradských akademiků (XVIII) // Sborník Akademie věd, řada Mechanika tekutin a plynů: časopis. - 1999. - Vydání. 6 . — S. 7–25 .
Tlak // Fyzikální encyklopedie / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Velká ruská encyklopedie , 1992. - T. 3: Magnetoplasmový kompresor - Poyntingova věta. - S. 242. - 672 s. — ISBN 5-85270-019-3 .
Paul R. V. Mechanika, akustika a nauka o teple . - Ripol Classic, 2013. - 490 s. — ISBN 5458431251 , 9785458431255.
Sedov LI mechanika kontinua . - M . : Nauka , 1970. - T. 2. - 568 s.
Sivukhin DV Obecný kurz fyziky . - 3. vydání, přepracované a rozšířené. - M .: Nauka , 1989. - T. I. Mechanika. — 576 s. — ISBN 5-02-014054-6 .
Titjens O., Prandtl L. Hydro- a aeromechanika. - M. - L. : GTTI , 1933. - T. 1. - 224 s.
Truesdell K. Eseje z historie mechaniky . - M. - Iževsk: Ústav počítačového výzkumu, 2002. - 316 s. — ISBN 5-93972-192-3 .
Faber T. E. Hydroaerodynamika / Per. z angličtiny. vyd. A. A. Paveleva. - M .: Postmarket, 2001. - 560 s. - ISBN 5-901095-04-9 .
Cherny G. G. Dynamika plynu. — M .: Nauka , 1988. — 424 s. — ISBN 5-02-013814-2 .
§182. Bernoulliho zákon // Elementární učebnice fyziky / Ed. G. S. Landsberg . - M . : Science , 1985. - T. 1. Mechanika. Teplo. Molekulární fyzika.
Darrigol O. Světy proudění. Historie hydrodynamiky od Bernoullis po Prandtl . - Oxford: Oxford University Press, 2005. - 356 s. — ISBN 978-0-19-856843-8 .
Euler L. Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlín, 1755 (1757). - T. 11 . - S. 316-361 .
Truesdell, Clifford Ambrose. Racionální mechanika tekutin, 1687-1765. Úvod editora k Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. - Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. - V. 12. - C. I-CXXV. — (II).

Odkazy

Ruský překlad pojednání Daniela Bernoulliho, ve kterém se poprvé objevuje Bernoulliho integrál (zákon).

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština velká čínština Britannica (online)