Čtveřice

Čtveřice
Datum založení / vytvoření / výskytu	1843 [1]
Předchozí v pořadí	komplexní číslo
Další v pořadí	Cayleyova algebra
Discoverer nebo Inventor	William Rowan Hamilton [1]
datum otevření	1843
Vzorec popisující zákon nebo větu	$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$
Popsáno v odkazu	treccani.it/enciclopedia…getpocket.com/explore/it… ( anglicky )


Mediální soubory na Wikimedia Commons

Čtveřice (z lat. quaterni , po čtyřech ) - systém hyperkomplexních čísel , tvořící vektorový prostor dimenze čtyři nad polem reálných čísel . Obvykle se označuje symbolem . Navrhl William Hamilton v roce 1843 . $\mathbb {H}$

Čtveřice jsou vhodné pro popis izometrií tří- a čtyřrozměrných euklidovských prostorů , a proto jsou široce používány v mechanice . Používají se i ve výpočetní matematice – například při tvorbě trojrozměrné grafiky [2] .

Henri Poincare napsal o čtveřicích: „Jejich vzhled dal mocný impuls rozvoji algebry ; vycházejíc z nich, věda šla cestou zobecnění pojmu čísla a dospěla k pojmům matice a lineárního operátoru , které prostupují moderní matematikou. Byla to revoluce v aritmetice, podobná té, kterou udělal Lobačevskij v geometrii “ [3] .

Definice

Standardní

Kvaterniony lze definovat jako součet

q=a+bi+cj+dk

kde jsou reálná čísla $abeceda$

i,j,k

jsou imaginární jednotky s následující vlastností: , přičemž výsledek jejich párového součinu závisí na pořadí sekvence (není komutativní ): , a .

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

ij=k

ji=-k

Násobící tabulka základních čtveřic

1,i,j,k

X	jeden	i	j	k
jeden	jeden	i	j	k
i	i	-jeden	k	-j
j	j	-k	-jeden	i
k	k	j	-i	-jeden

Jako vektor a skalár

Čtveřice je pár , kde je trojrozměrný prostorový vektor a je skalární, tedy reálné číslo . $\left(a,{\vec {u}}\right),$ ${\vec {u}}$ $A$

Operace sčítání jsou definovány takto:

\left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+ {\vec {v}}\right).

Produkt je definován následovně:

\left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\ vec {v)),a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right),

kde označuje skalární součin a je vektorový součin . $\cdot$ $\krát$

Zejména,

\left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\ right)=\left(0,a{\vec {v}}\right),

\left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right),

\left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v)),{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right).

Všimněte si, že:

Algebraické operace na čtveřicích mají distributivní vlastnost ;
Antikomutativnost vektorového součinu implikuje nekomutativnost součinu čtveřic.

Prostřednictvím komplexních čísel

Libovolná čtveřice může být reprezentována jako dvojice komplexních čísel ve tvaru $\q=a+bi+cj+dk$

\ q=(a+bi)+(c+di)j

nebo ekvivalent

\ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,

kde jsou komplexní čísla, protože to platí pro komplexní čísla i čtveřice a . $\z_{1},z_{2}$ $\ i^{2}=-1$ $k=ij$

Prostřednictvím maticových reprezentací

Reálné matice

Kvaterniony lze také definovat jako reálné matice následujícího tvaru s obvyklým maticovým součinem a součtem:

{\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\; \;b&\;\;a\end{pmatrix}}.

S tímto záznamem:

konjugovaný kvaternion odpovídá transponované matici: ${\bar q}\mapsto Q^{T}$ ;
čtvrtá mocnina kvaternionového modulu je rovna determinantu odpovídající matice: $\left|q\right|^{4}=\det Q.$

Komplexní matice

Alternativně lze kvaterniony definovat jako komplexní matice následující formy s obvyklým maticovým součinem a součtem:

{\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar \beta }&{\bar \alpha }\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\;\;a+ bi&c +di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},

zde a označují komplexně sdružená čísla k a . ${\bar \alpha }$ ${\bar \beta }$ $\alpha$ $\beta$

Tato reprezentace má několik pozoruhodných vlastností:

komplexní číslo odpovídá diagonální matici;
konjugovaný kvaternion odpovídá konjugované transponované matici: ${\bar q}\mapsto {\bar Q}^{T}$ ;
druhá mocnina kvaternionového modulu se rovná determinantu odpovídající matice: $\left|q\right|^{2}=\det Q.$

Související objekty a operace

Pro čtveřici

q=a+bi+cj+dk

čtveřice se nazývá skalární část a čtveřice se nazývá vektorová část . Jestliže pak čtveřice se nazývá čistě skalární , a když - čistě vektorová . $A$ $q,$ $u=bi+cj+dk$ $u=0,$ $a=0$

Konjugace

Pro kvaternion je konjugát : $q$

{\bar {q}}=a-bi-cj-dk.

Konjugovaný produkt je produktem konjugátů v opačném pořadí:

{\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}.

Pro čtveřice, rovnost

{\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk).

Modul

Stejně jako u komplexních čísel,

\left|q\right|={\sqrt {q{\bar q}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}

nazývaný modul . If then se nazývá jednotka čtveřice . $q$ $\left|q\right|=1,$ $q$

Za normu kvaternionu se obvykle považuje jeho modul: . $\left\|z\right\|=\left|z\right|$

Na množině čtveřic lze tedy zavést metriku. Čtveřice tvoří metrický prostor izomorfní s euklidovskou metrikou. $\R^4$

Čtveřice s modulem jako jejich normou tvoří Banachovu algebru .

Obrácení násobení (dělení)

Čtveřice, inverzní k násobení na , se vypočítá takto: . $q$ $q^{{-1}}={\frac {{\bar q}}{\left|q\right|^{2}}}$

Algebraické vlastnosti

Sada čtveřic je příkladem tělesa , tedy prstence s dělením a jedna. Množina čtveřic tvoří čtyřrozměrnou asociativní algebru dělení přes pole reálných (ale ne komplexních) čísel.

Podle Frobeniovy věty jsou tělesa , , jedinými konečněrozměrnými asociativními algebrami dělení přes pole reálných čísel. ${\mathbb R}$ ${\mathbb C}$ ${\mathbb H}$

Nekomutativnost násobení čtveřicemi vede k neočekávaným důsledkům. Například počet různých kořenů polynomiální rovnice nad množinou čtveřic může být větší než stupeň rovnice. Zejména rovnice má nekonečně mnoho řešení – všechna jsou to jednotkové čistě vektorové kvaterniony. $q^{2}+1=0$

Čtyři základní čtveřice a čtyři opačné ve znaménku tvoří násobením skupinu čtveřic ( řádu 8). Určeno:

Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\}.

Čtveřice a rotace prostoru

Čtveřice, považované za algebru nad , tvoří čtyřrozměrný reálný vektorový prostor . Jakákoli rotace tohoto prostoru vzhledem k může být zapsána jako , kde a jsou dvojice jednotkových čtveřic, přičemž dvojice je určena až do znaménka, to znamená, že jedna rotace je určena právě dvěma dvojicemi - a . Z toho plyne, že Lieova grupa rotací je faktorová grupa , kde označuje multiplikativní grupu jednotkových čtveřic. $\mathbb {R}$ $0$ $q\mapsto\xi q\zeta$ $\xi$ $\zeta$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(-\xi ,-\zeta \right)$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,4\right)$ $\R^4$ $S^{3}\times S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ $S^{3}$

Čistě vektorové čtveřice tvoří trojrozměrný reálný vektorový prostor. Jakékoli otočení prostoru čistě vektorových čtveřic vzhledem k lze zapsat jako , kde je nějaká jednotková čtveřice. V souladu s tím je zejména difeomorfní k . $0$ $u\mapsto \xi u{\bar \xi }$ $\xi$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

"Celé" kvaterniony

Jako normu kvaternionu zvolíme druhou mocninu jeho modulu: . $\left\|z\right\|=\left|z\right|^{2}$

Hurwitzova celá čísla se nazývají čtveřice , takže všechna jsou celá čísla a mají stejnou paritu. $a+bi+cj+dk$ $2a, 2b, 2c, 2d$

Nazývá se celočíselná čtveřice

dokonce
zvláštní
jednoduchý

má-li jeho norma stejnou vlastnost.

Celočíselná čtveřice se nazývá primitivní , pokud není dělitelná žádným přirozeným číslem jiným než , celé číslo (jinými slovy ). $jeden$ $\gcd \left(2a,2b,2c,2d\right)\leq 2$

Celočíselné jednotky čtveřice

Existuje 24 celočíselných kvaternionů:

\pm 1

; ; ; ;

\pm i

\pmj

\pm k

{\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2)).

Tvoří skupinu násobením, leží ve vrcholech pravidelného 4-rozměrného mnohostěnu - 3-kuboktahedru (nezaměňovat s 3-rozměrným mnohostěnem- kuboktaedru ).

Rozklad na prvočinitele

Pro primitivní čtveřice platí analogie základní věty aritmetiky .

Teorém. [4] Pro jakékoli pevné pořadí faktorů při rozkladu normy čtveřice na součin kladných celých čísel existuje rozklad čtveřice na součin jednoduchých čtveřic takový, že . Toto rozšíření je navíc unikátní modulo násobení jednotkami, což znamená, že každé další rozšíření bude mít tvar $N(q)$ $N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}$ $q$ $q=q_{1}q_{2}...q_{n}$ $N(q_{i})=p_{i}$

q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar \epsilon }_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar \epsilon }_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar \epsilon }_{{n-1}}q_{n}\right)

kde , , , … jsou celočíselné jednotky čtveřice. $\epsilon_{1}$ $\epsilon_{2}$ $\epsilon _{3}$ $\epsilon_{{n-1}}$

Například primitivní čtveřice má normu 60, což znamená, že při modulovém násobení jednotkami má přesně 12 rozšíření na součin jednoduchých čtveřic, což odpovídá 12 rozšířením čísla 60 na součin prvočísel: $q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)$

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2$

$60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2$

Celkový počet expanzí takové čtveřice je $24^{3}\cdot 12=165888$

Funkce kvaternionových proměnných

Pomocné funkce

Znak čtveřice se vypočítá takto:

\operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.

Argument čtveřice je úhel ve 4D prostoru mezi čtveřicí a skutečnou jednotkou:

\arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.

V následujícím použijeme znázornění daného čtveřice ve tvaru $q$

q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \ ,q}.

Zde je skutečná část čtveřice, . Zároveň tedy prochází skutečná přímá rovina a má strukturu algebry komplexních čísel, což nám umožňuje přenést libovolné analytické funkce na případ čtveřice. Vyhovují standardním vztahům, pokud jsou všechny argumenty ve tvaru pro pevný jednotkový vektor . Pokud je požadováno uvažovat čtveřice s různými směry, vzorce se stanou mnohem komplikovanějšími kvůli nekomutativnosti čtveřice algebry. $A$ ${\mathrm {i}}=\left|{\mathbf {u}}\right|^{{-1}}{\mathbf {u}}$ ${\mathrm {i}}^{2}=-1$ $q$ $a+b{\mathrm {i}}$ ${\mathrm {i}}$

Elementární funkce

Standardní definice analytických funkcí na asociativní normované algebře je založena na rozšíření těchto funkcí do mocninných řad. Argumenty prokazující správnost definice takových funkcí jsou zcela analogické s komplexním případem a jsou založeny na výpočtu poloměru konvergence příslušné mocninné řady. Vzhledem k výše uvedenému "komplexnímu" znázornění pro daný čtveřici lze odpovídající řadu zredukovat na níže uvedenou kompaktní formu. Zde jsou jen některé z nejběžnějších analytických funkcí; podobně lze vypočítat jakoukoli analytickou funkci. Obecné pravidlo je: jestliže pro komplexní čísla, pak kde je čtveřice uvažovaná v “komplexní” reprezentaci . $f(a+b{\mathrm {i}})=c+d{\mathrm {i}}$ $f(q)=c+d{\mathbf {i))$ $q$ $q=a+b{\mathbf {i))$

Stupeň a logaritmus

\exp q=\exp a\left(\cos \left|{\mathbf {u}}\right|+\sin \left|{\mathbf {u}}\right|{\hat ({\mathbf {u } }}}}\vpravo)

\ln q=\ln \left|q\right|+\arg q\,{\hat ({\mathbf {u))))

Všimněte si, že jako obvykle v komplexní analýze se ukáže, že logaritmus je definován pouze do . $2\pi {\hat {{\mathbf {u))))$

Goniometrické funkce

\sin q=\sin a\,\jméno operátora {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|+\cos a\,\jméno operátora {sh}\left|{\mathbf {u}}\vpravo |{\hat {{\mathbf {u}}}}

\cos q=\cos a\,\jméno operátora {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|-\sin a\,\jméno operátora {sh}\left|{\mathbf {u}}\right |{\hat {{\mathbf {u}}}}

\operatorname {tg}\,q={\frac {\sin q}{\cos q))

Lineární zobrazení

Čtveřicové zobrazení algebry se nazývá lineární, pokud jsou rovnost $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(ax)=af(x)

x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R}

kde je pole reálných čísel. Jestliže je lineární zobrazení kvaternionové algebry, pak pro libovolné zobrazení $\mathbb {R}$ $F$ $a,b\in \mathbb {H}$

(afb)(x)=af(x)b

je lineární mapování. Pokud je mapování identity ( ), pak pro všechny můžeme identifikovat tenzorový součin s mapováním $F$ $f(x)=x$ $a,b\in \mathbb {H}$ $a\otimes b$

(a\otimes b)\circ x=axb

Pro jakékoli lineární zobrazení existuje tenzor , , takový, že $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H}$ ${\displaystyle a=a_{s0}\otimes a_{s1))$

{\displaystyle f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1))

Výše uvedené rovnosti předpokládají sumaci nad indexem . Můžeme tedy identifikovat lineární zobrazení a tenzor . $s$ $F$ $A$

Regulární funkce

Existují různé způsoby, jak definovat regulární funkce kvaternionové proměnné. Nejexplicitnější je uvažování o kvaternionicky diferencovatelných funkcích, zatímco lze uvažovat pravo -diferenciovatelné a levo- diferencovatelné funkce, které se neshodují kvůli nekomutativnosti kvaternionového násobení. Je zřejmé, že jejich teorie je zcela analogická. Definujeme kvaternionovou diferencovatelnou funkci jako funkci mající limitu $F$

{\frac {df}{dq}}=\lim _{{h\to 0}}\left[h^{{-1}}\left(f\left(q+h\right)-f\left (q\vpravo)\vpravo)\vpravo]

Ukazuje se, že všechny takové funkce v nějakém okolí bodu mají tvar $q$

f=a+qb

kde jsou konstantní čtveřice. Další způsob je založen na použití operátorů $a,b$

{\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x)) +{\vec j}{\frac {\částečný }{\částečný y))+{\vec k}{\frac {\částečný }{\částečný z))

{\frac {\partial }{\partial q))={\frac {\partial }{\partial t))-{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))-{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z}}

a zvážení takových kvaternionových funkcí , pro které [5] $F$

{\frac {\partial f}{\partial {\bar q))}=0

což je zcela analogické použití operátorů a ve složitém případě. V tomto případě jsou získány analogy integrální Cauchyho věty , teorie reziduí , harmonických funkcí a Laurentovy řady pro kvaternionové funkce [6] . ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}$ ${\frac {\partial }{\partial z))$

Diferenciace zobrazení

Spojité zobrazení se nazývá diferencovatelné na množině , jestliže v každém bodě lze změnu v zobrazení reprezentovat jako $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $U\subset \mathbb {H}$ $x\v U$ $F$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

kde

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

lineární mapa kvaternionové algebry a souvislá mapa taková, že $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Lineární zobrazení se nazývá derivace zobrazení . ${\frac {df(x)}{dx))$ $F$

Derivát může být reprezentován jako [7]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Podle toho má mapovací diferenciál tvar $F$

df=

{\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1} f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx} }

Zde se předpokládá sumace podle indexu . Počet členů závisí na volbě funkce . Výrazy a se nazývají komponenty derivace. $s$ $F$ ${\frac {d_{s0}df(x)}{dx))$ ${\frac {d_{s1}f(x)}{dx))$

Pro libovolnou čtveřici , rovnost $A$

{\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))

Typy násobení

Grassmannovo násobení

Toto je jiný název pro obecně přijímané násobení kvaternionů ( ). $pq$

Euklidovské násobení

Od obecně uznávaného se liší tím, že místo prvního faktoru se k němu bere konjugát: . Je také nekomutativní. ${\bar p}q$

Bodový produkt

Podobně jako stejnojmenná operace pro vektory:

p\cdot q={\frac {{\bar p}q+{\bar q}p}{2))

Tuto operaci lze použít k výběru jednoho z koeficientů, například . $\left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b$

Definici kvaternionového modulu lze upravit:

\left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}

Externí produkt

\operatorname {Vnější}\left(p,q\right)={\frac {{\bar p}q-{\bar q}p}{2))

Nepoužívaný příliš často, ale zvažován jako doplněk k tečkovanému produktu.

Vektorový produkt

Podobně jako stejnojmenná operace pro vektory. Výsledkem je také vektor:

p\times q={\frac {pq-qp}{2))

Z historie

Systém čtveřice byl poprvé publikován Hamiltonem v roce 1843 . Historici vědy také našli náčrtky na toto téma v Gaussových nepublikovaných rukopisech pocházejících z let 1819-1820 [ 9 ] . Euler také uvažoval o čtveřicích. B. O. Rodrigue (1840), když uvažoval o rotacích absolutně tuhého tělesa, odvodil pravidla pro násobení čtveřic [10] [11] .

Rychlý a mimořádně plodný rozvoj komplexní analýzy v 19. století podnítil zájem matematiků o následující problém: najít nový druh čísel, podobný ve vlastnostech komplexním číslům , ale obsahující ne jednu, ale dvě imaginární jednotky. Předpokládalo se, že takový model bude užitečný při řešení prostorových problémů matematické fyziky. Práce v tomto směru však byly neúspěšné. Hamilton [11] řešil stejný problém .

Nový druh čísel objevil irský matematik William Hamilton v roce 1843 a neobsahoval dvě, jak se očekávalo, ale tři imaginární jednotky. Hamilton nejprve pracoval s dublety (body v rovině) a snadno získal pravidla pro násobení odpovídající komplexním číslům, ale pro body v prostoru ( trojice ) nedokázal pro takové množiny získat žádný vzorec pro násobení. Nakonec jsem se rozhodl zkusit čtyřky – body ve čtyřrozměrném prostoru. Hamilton nazval tato čísla čtveřicemi [12] . Později Frobenius důsledně dokázal ( 1877 ) větu , podle níž je nemožné rozšířit komplexní pole na pole nebo těleso se dvěma imaginárními jednotkami [13] .

Vývoj kvaternionů a jejich aplikací ve fyzice sledoval tři související cesty: s algebraickým přístupem, jehož obhájci byli Cayley , Clifford , B. Pierce , C. Pierce a Frobenius; s teorií komplexních kvaternionů, jejímiž představiteli byli Clifford, Studi a Kotelnikov ; s fyzikou kvůli jménům Maxwell a Heaviside [14] . Přes neobvyklé vlastnosti nových čísel (jejich nekomutativnost) tento model rychle přinesl praktické výhody. Maxwell používal kompaktní čtveřici notaci formulovat jeho rovnice elektromagnetického pole . [15] Později byla na základě kvaternionové algebry vytvořena trojrozměrná vektorová analýza ( Gibbs , Heaviside ) [16] . Použití kvaternionů bylo nahrazeno vektorovou analýzou z rovnic elektrodynamiky. Úzká souvislost Maxwellových rovnic s kvaterniony se však neomezuje pouze na elektrodynamiku, protože formulaci SRT v termínech 4-vektorů zkonstruoval Minkowski v teorii SRT pomocí kvaternionů A. W. Conway a Silberstein [ 17] . Poválečné období používání kvaternionů ve fyzice je spojeno s rozšířeným používáním teorie grup a jejich reprezentací ve fyzice elementárních částic. Je také možné nahradit standardní Hilbertův prostor kvantové mechaniky jeho definicí nad šikmým polem kvaternionů [18] .

Moderní aplikace

Ve 20. století bylo učiněno několik pokusů o použití kvaternionových modelů v kvantové mechanice [19] a teorii relativity [20] . Kvaterniony našly skutečné uplatnění v moderní počítačové grafice a programování her [21] , stejně jako ve výpočetní mechanice [22] [23] , v inerciální navigaci a teorii řízení [24] [25] . Od roku 2003 vychází časopis Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics [26] .

V mnoha aplikacích byly nalezeny obecnější a praktičtější prostředky než kvaterniony. Například dnes se ke studiu pohybů v prostoru nejčastěji používá maticový počet [27] . Nicméně tam, kde je důležité specifikovat trojrozměrnou rotaci pomocí minimálního počtu skalárních parametrů, je často vhodnější použití Rodrigues-Hamiltonových parametrů (tj. čtyř složek rotačního quaternionu): takový popis nikdy nedegeneruje a při popisu rotací se třemi parametry (například Eulerovy úhly ) jsou vždy při degeneraci popisu kritické hodnoty těchto parametrů [22] [23] .

Jako algebra přes , čtveřice tvoří skutečný vektorový prostor vybavený tenzorem třetí pozice typu (1,2), někdy nazývaným tenzor struktury . Jako každý tenzor tohoto typu mapuje každou 1-formu na a dvojici vektorů z na reálné číslo . Pro jakoukoli pevnou 1-formu se změní na kovariantní tenzor druhé řady, který se v případě své symetrie stává vnitřním součinem na . Protože každý reálný vektorový prostor je také skutečnou lineární varietou , generuje takový vnitřní součin tenzorové pole, které se za předpokladu, že není degenerované, stává (pseudo- nebo vlastní) euklidovskou metrikou na . V případě kvaternionů je tento vnitřní součin neurčitý , jeho signatura je nezávislá na 1-formě a odpovídající pseudoeuklidovská metrika je Minkowského metrika [28] . Tato metrika je automaticky rozšířena na Lieovu skupinu nenulových čtveřic podél jejích levo invariantních vektorových polí, čímž vzniká tzv. uzavřená metrika FLRU (Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker) [29] , důležité řešení Einsteinových rovnic. . Tyto výsledky objasňují některé aspekty problému kompatibility mezi kvantovou mechanikou a obecnou teorií relativity v rámci teorie kvantové gravitace [30] . $\scriptstyle \mathbb {R}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S$ $S$ $t$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\left(a,b\right)$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S\left(t,a,b\right)$ $t$ $S$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $t$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Hazewinkel M. , Gubareni N. M. Algebry , prstence a moduly (anglicky) - Springer Science + Business Media , 2004. - S. 12. - ISBN 978-1-4020-2690-4
↑ Quaternions v programování her Archivováno 25. července 2009 na Wayback Machine ( GameDev.ru )
↑ Polak L. S. William Rowan Hamilton (u příležitosti jeho 150. narozenin) // Sborník Ústavu dějin přírodních věd. - Akademie věd SSSR, 1956. - T. 15 (Dějiny fyzikálních a matematických věd) . - S. 273 .
↑ John C. Baez. O čtveřicích a oktonionech: Jejich geometrie, aritmetika a symetrie, John H. Conway a Derek A. Smith . - Posouzení. Získáno 7. února 2009. Archivováno z originálu 22. srpna 2011.
↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, - Komentář. matematika. Helv. 8, str. 371-378, 1936.
↑ A. Sudbery Quaternionová analýza, Katedra matematiky, University of York, 1977.
↑ Výraz není zlomek a měl by být považován za jeden znak. Tato notace je navržena kvůli kompatibilitě s derivační notací. Hodnota daného výrazu je čtveřice. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $X$
↑ V dopise svému synovi Archibaldovi z 5. srpna 1865 Hamilton píše: „... Ale, samozřejmě, nápis už byl vymazán“ ( L. S. Polak Variační principy mechaniky, jejich vývoj a aplikace ve fyzice. - M .: Fizmatgiz, 1960. - str. 103-104)
↑ Bourbaki N. . Architektura matematiky. Eseje o historii matematiky. - M . : Zahraniční literatura, 1963. - S. 68.
↑ Rodrigues Olinde. Geometrické zákony, kterými se řídí pohyby pevného systému v prostoru, a změny souřadnic vyplývající z těchto pohybů, uvažované nezávisle na příčinách, které je mohou způsobit = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenience de ces déplacements considérés indépendamment des příčiny qui peuvent les produire // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1840. - T. 5 . - S. 380-440 .
↑ 1 2 Berezin, Kurochkin a Tolkachev, 2003 , s. 5.
↑ Miščenko a Solovjov, 1983 , s. 11-12.
↑ Miščenko a Solovjov, 1983 , s. patnáct.
↑ Berezin, Kurochkin a Tolkachev, 2003 , s. 6-8.
↑ A. N. Krylov Recenze díla akademika P. P. Lazareva. Archivováno 3. května 2017 na Wayback Machine
↑ Berezin, Kurochkin a Tolkachev, 2003 , s. osm.
↑ Berezin, Kurochkin a Tolkachev, 2003 , s. 9.
↑ Berezin, Kurochkin a Tolkachev, 2003 , s. deset.
↑ Kurochkin Yu.A. Kvaterniony a některé jejich aplikace ve fyzice. Předtisk disertační práce č. 109. - Fyzikální ústav Akademie věd BSSR. — 1976.
↑ Alexandrova N. V. Hamiltonův kalkulus kvaternionů // Hamilton W. R. Vybrané práce: optika, dynamika, kvaterniony. - M. : Nauka, 1994. - (Klasika vědy). - S. 519-534.
↑ Pobegailo A.P. Aplikace kvaternionů v počítačové geometrii a grafice. - Minsk: Nakladatelství BGU, 2010. - 216 s. — ISBN 978-985-518-281-9 . .
↑ 1 2 Wittenburg J. Dynamika systémů v pevné fázi. — M .: Mir, 1980. — 292 s. - S. 25-26, 34-36.
↑ 1 2 Pogorelov D. Yu Úvod do modelování dynamiky tělesných systémů. - Bryansk: Nakladatelství BSTU, 1997. - 156 s. — ISBN 5-230-02435-6 . . - S. 22-26, 31-36.
↑ Ishlinsky A. Yu Orientace, gyroskopy a inerciální navigace. — M .: Nauka, 1976. — 672 s. - S. 87-103, 593-604.
↑ Chub V. F. Rovnice inerciální navigace a kvaternionová teorie časoprostoru . Získáno 9. prosince 2013. Archivováno z originálu 13. prosince 2013. (neurčitý)
↑ Časopis "Hyperkomplexní čísla v geometrii a fyzice" . Získáno 13. března 2014. Archivováno z originálu 26. září 2016. (neurčitý)
↑ Klein F. Přednášky o vývoji matematiky v 19. století . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - S. 229-231 .. - 432 s.
↑ Vladimir Trifonov Lineární řešení problému čtyřrozměrnosti // Euruphysics Letters, - IOP Publishing, V. 32, č. 8 / 12.1995. - S. 621-626 - DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
↑ Vladimir Trifonov Přirozená geometrie nenulových kvaternionů // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Netherlands, V. 46, č. 2 / 02.2007. - str. 251-257 - ISSN 0020-7748 (Tisk) ISSN 1572-9575 (Online).
↑ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Netherlands, V. 47, č. 2 / 02.2008. - str. 492-510 - ISSN 0020-7748 (Tisk) ISSN 1572-9575 (Online).

Literatura

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. Hyperkomplexní čísla . — M .: Nauka , 1973. — 144 s.
Mishchenko A. S. , Solovyov Yu. P. Quaternions // Kvant . - 1983. - T. 9 . - S. 10-15 .
Berezin A. V., Kurochkin Yu. A., Tolkachev E. A. Kvaterniony v relativistické fyzice . - 2. - M . : Editorial URSS, 2003. - S. 12 . — 202 s. — ISBN 5-354-00403-9 .
Martin John Baker EuclideanSpace.com Archivováno 27. září 2007 na Wayback Machine - Aplikace čtveřice na 3D grafiku.
Čtveřice. Quaters.
Vatulyan A. O. Quaternions // Soros Educational Journal . - 1999. - č. 5 . - S. 117-120 .
John H. Conway , Derek A. Smith. . — M .: MTSNMO , 2009. — 184 s. — ISBN 978-5-94057-517-7 .

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX4728834 BNF : 11981947w GND : 4176653-2 J9U : 987007553303805171 LCCN : sh85109754 LNB : 000137096 NDL : 00570899 NKC : ph844096

Numerické soustavy
Počitatelné sady	Přirozená čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ celá čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ racionální ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraické ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Období Vypočitatelný Aritmetický
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplexní ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ čtveřice ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyova čísla (oktávy, osminky) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternions Dvojí Hyperkomplex Superreálné Hypermateriál nadreálný
Nástroje pro numerické rozšíření	Cayley-Dixonův postup Frobeniova věta Hurwitzova věta
Jiné číselné soustavy	kardinální čísla Řadové číslovky (překonané, řadové) p-adic Nadpřirozená čísla intervalová čísla
viz také	dvojitá čísla Iracionální čísla transcendentální čísla číselný paprsek Biquaternion

Algebra nad prstenem
Dimenze – mocnina 2	Komplexní čísla (velikost 2) $\mathbb {C}$ Čtveřice (velikost 4) $\mathbb {H}$ Cayley Numbers / Octonions / Oktávy (velikost 8) $\mathbb O$ Sedenions (velikost 16) $\mathbb S$
viz také	Frobeniova věta Hyperkomplexní číslo Algebra Tělo pomyslná jednotka