Pí věta

Pi-teorém ( -teorem , -theorem ) je základní teorém rozměrové analýzy . Věta říká, že existuje-li mezi fyzikálními veličinami závislost, která při změně měřítek jednotek v určité třídě soustav jednotek nemění svůj tvar, pak je ekvivalentní závislosti mezi, obecně řečeno, menším počtem bezrozměrných jednotek. veličin, kde je největší počet veličin s nezávislými rozměry mezi počátečními veličinami . Pi-teorém umožňuje stanovit obecnou strukturu závislosti, která vyplývá pouze z požadavku, aby fyzická závislost byla invariantní, když se mění stupnice jednotek, i když konkrétní forma závislosti mezi počátečními hodnotami není známa. . $\Pí$ $\pi$ $n$ $p=nk$ $k$ $n$

Variace názvu

V ruskojazyčné literatuře o teorii dimenzí a modelování se obvykle používá název pí-teorém ( -teorem , -teorem ) [1] [2] [3] [4] , který pochází z tradičního označení bezrozměrných kombinací pomocí (velké nebo malé) řecké písmeno " pi ". V anglicky psané literatuře je věta obvykle spojována se jménem Edgara Buckinghama a ve francouzsky psané literatuře se jménem Aimé Vashí . $\Pí$ $\pi$

Historické pozadí

Pi-teorém byl zřejmě poprvé prokázán J. Bertrandem [5] v roce 1878. Bertrand uvažuje o konkrétních příkladech problémů z elektrodynamiky a teorie vedení tepla, ale jeho prezentace jasně obsahuje všechny hlavní myšlenky moderního důkazu pí-teorému, stejně jako jasný náznak použití pí-teorému pro modelování. fyzikální jevy. Metoda aplikace pí věty ( metoda dimenzí ) se stala široce známou díky Rayleighovým pracím (první aplikace pí věty v obecné formě [6] na závislost tlakové ztráty v potrubí na definování parametrů pravděpodobně pochází z roku 1892 [7] , heuristický důkaz pomocí rozšíření mocninné řady do roku 1894 [8] ).

Formální zobecnění pí-teorému na případ libovolného počtu veličin poprvé formuloval Vashí v roce 1892 [9] , později a zřejmě nezávisle A. Federman [10] , D. Ryabushinsky [11] v roce 1911 a Buckingham [12] v roce 1914. Následně je pí-věta zobecněna od Hermanna Weila v roce 1926 .

Prohlášení věty

Pro zjednodušení je níže uvedena formulace pro kladné hodnoty . $Qi}$

Předpokládejme, že existuje vztah mezi fyzikálními veličinami , , , : $n$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,

jehož podoba se nemění při změně měřítka jednotek ve vybrané třídě podílových soustav (např. pokud je použita třída podílových soustav LMT, pak se při žádných změnách standardů forma funkce nemění délky, času a hmotnosti, řekněme při přechodu z měření v kilogramech, metrech a sekundách na měření v librách, palcích a hodinách). $F$

Zvolme mezi argumenty funkce největší množinu veličin s nezávislými dimenzemi (takovou volbu lze obecně říci různými způsoby). Pokud je pak uveden počet veličin s nezávislými rozměry a jsou očíslovány indexy , , , (jinak je lze přečíslovat), pak je počáteční závislost ekvivalentní závislosti mezi bezrozměrnými veličinami , , , : $k$ $jeden$ $2$ $\ldots$ $k$ $F$ $p=nk$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,

kde jsou bezrozměrné kombinace získané ze zbývajících počátečních hodnot , , , dělením vybranými hodnotami v příslušných mocninách: $\pi _{p}$ $q_{{k+1}}$ $q_{{k+2}}$ $\ldots$ $q_{n}$

\pi _{1}={\frac {q_{k+1}}{q_{1}^{a}\cdot q_{2}^{b}\cdot \ldots \cdot q_{k} ^{z}}},

\vtečky

\pi _{p}={\frac {q_{n}}{q_{1}^{A}\cdot q_{2}^{B}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{ Z}}}

(bezrozměrné kombinace vždy existují, protože , , , je sbírka rozměrově nezávislých veličin největší velikosti, a když se k nim přidá ještě jedna veličina, získá se kolekce se závislými rozměry). $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$

Důkaz

Důkaz pí-věty je velmi jednoduchý [13] . Počáteční závislost mezi , , , lze považovat za nějakou závislost mezi , , , a , , , : $F$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

\Phi (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k},\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0 ,

Navíc se tvar funkce nemění ani při změně měřítka jednotek. Zbývá poznamenat, že vzhledem k rozměrové nezávislosti veličin , , , je vždy možné zvolit takovou škálu jednotek, aby se tyto veličiny rovnaly jedné, zatímco , , , , jsouce bezrozměrnými kombinacemi, nemění své hodnoty tedy s takto zvolenou stupnicí jednotek, což znamená, že díky invarianci a v jakékoli soustavě jednotek funkce vlastně závisí pouze na : $\Phi$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$ $\Phi$ $\pi _{p}$

\Phi (1,1,\ldots ,1,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})\equiv H(\pi _{1}, \pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0.

Speciální případy

Aplikace na rovnici řešenou s ohledem na jednu veličinu

Varianta pí-věty se často používá pro funkční závislost jedné fyzikální veličiny na několika dalších , , , : $q$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}).

V tomto případě pí-teorém říká, že závislost je ekvivalentní spojení

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p}),

kde

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ,

a jsou definovány stejným způsobem jako výše. $\pi _{i}$

Případ, kdy pí-věta dává tvar závislosti až faktoru

V jednom důležitém konkrétním případě, kdy závisí na

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})

všechny argumenty mají nezávislé rozměry, použití pí-teorém dává

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ={\text{const)),

to znamená, že typ funkční závislosti je určen až do konstanty. Hodnota konstanty není metodami teorie rozměrů určena a k jejímu nalezení je nutné použít experimentální nebo jiné teoretické metody.

Poznámky k aplikaci pí věty

Volba argumentů s nezávislými dimenzemi, obecně řečeno, může být provedena různými způsoby, v důsledku čehož lze při aplikaci pí-teorému získat formálně odlišné výrazy. Ve skutečnosti jsou však výsledné výsledky ekvivalentní a z jedné formy zápisu lze přechodem na kombinace bezrozměrných parametrů získat jinou.
Při formulaci pí-věty je důležitý požadavek invariance závislosti. Pokud například při práci v mezinárodní soustavě jednotek (SI) v experimentu byla získána závislost dráhy, kterou urazí padající těleso na čase $s$ $t$

s={\frac {9{,}81\cdot t^{2}}{2}},

pak v této podobě nesplňuje podmínky pí-věty.

Aplikace pí věty pro fyzikální modelování

Pi-teorém se používá pro fyzikální modelování různých jevů v aerodynamice , hydrodynamice , teorii pružnosti , teorii vibrací . Modelování je založeno na tom, že pokud pro dva přirozené procesy („model“ a „přirozený“, například pro proudění vzduchu kolem modelu letadla v aerodynamickém tunelu a proudění vzduchu kolem skutečného letadla), bezrozměrné argumenty (ty se nazývají kritéria podobnosti ) v závislosti na

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})

se shodují, což lze provést speciální volbou parametrů „modelového“ objektu, pak se shodují i bezrozměrné hodnoty funkce. To umožňuje „přepočítat“ rozměrové experimentální hodnoty parametrů z „modelového“ objektu na „přirozený“, i když forma funkce je neznámá. Pokud není možné dosáhnout shody všech kritérií podobnosti pro „modelové“ a „přírodní“ objekty, pak se často uchýlí k přibližnému modelování, kdy podobnosti je dosaženo pouze podle kritérií, která odrážejí vliv nejvýznamnějších faktorů, přičemž vliv sekundárních faktorů je zohledněn přibližně na základě dalších úvah (nevyplývajících z teorie dimenzí). $\pi$ $F$

Příklady aplikací pí-teorému

Frekvence kmitání zvonu

K emisi zvuku zvonu dochází v důsledku jeho vlastních kmitů , které lze popsat v rámci lineární teorie pružnosti . Frekvence vydávaného zvuku závisí na hustotě , Youngově modulu a Poissonově poměru kovu, ze kterého je zvon vyroben, a na konečném počtu geometrických rozměrů , , , zvonu: $F$ $\rho$ $E$ $\nu$ $l_{1}$ $l_{2}$ $\ldots$ $l_{N}$

f=F(\rho ,E,\nu ,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{N}).

Pokud je použita třída soustav jednotek LMT, pak například , a lze zvolit jako veličiny s nezávislými rozměry (vybrané veličiny zahrnuté v maximálním rozměrově nezávislém subsystému jsou podtrženy): $\rho$ $E$ $l_{1}$

f=F({\underline {\rho )),{\underline {E_{\!}}},\nu ,{\underline {l_{1}}},l_{2},\ldots , l_{N}),

a použití pí teorému dává

{\frac {fl_{1}}{\sqrt {E/\rho }}}}=G\left(\nu ,{\frac {l_{2}}{l_{1}}},{ \ frac {l_{3}}{l_{1}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{1}}}\right).

Pokud existují dva geometricky podobné zvony vyrobené ze stejného materiálu, pak jsou pro ně argumenty funkce stejné, takže poměr jejich frekvencí je nepřímo úměrný poměru jejich velikostí (nebo nepřímo úměrný třetí odmocnině poměr jejich hmotností). Tento vzorec je potvrzen experimentálně [14] . $G$

Všimněte si, že pokud by jiné veličiny, například , , a , byly vybrány jako veličiny s nezávislými rozměry, pak by aplikace pí-teorému formálně poskytla jiný výsledek: $\rho$ $E$ $l_{2}$

{\frac {fl_{2}}{\sqrt {E/\rho }}}=H\left(\nu ,{\frac {l_{1}}{l_{2}}},{\ frac {l_{3}}{l_{2}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{2}}}\right),

ale vyvozené závěry by přirozeně zůstaly stejné.

Odpor při pomalém pohybu koule ve viskózní kapalině

Při pomalém (při nízkých Reynoldsových číslech ) stacionárním pohybu koule ve viskózní kapalině závisí odporová síla na viskozitě kapaliny a také na rychlosti a poloměru koule (hustota kapaliny nepatří mezi určující parametry, jelikož při nízkých otáčkách je vliv setrvačnosti kapaliny zanedbatelný) . Aplikace na závislost $F$ $\mu$ $PROTI$ $R$

F=f(\mu ,V,R)

pí-teorém, dostáváme

{\frac {F}{\mu VR}}={\text{const)),

tj. v tomto problému je odporová síla zjištěna až do konstantní. Hodnotu konstanty nezjistíme z rozměrových úvah (řešení příslušné hydrodynamické úlohy dává hodnotu konstanty , která je potvrzena experimentálně). $6\pi$

Viz také

Odkazy

Některé přehledové články a primární zdroje o historii pí věty a teorie podobnosti Archivováno 13. dubna 2021 na Wayback Machine

Poznámky

↑ Barenblatt G. I. Podobnost, sebepodobnost, střední asymptotika. Teorie a aplikace na geofyzikální hydrodynamiku. - L . : Gidrometeoizdat , 1978. - S. 25. - 208 s.
↑ Sedov L. I. Metody podobnosti a dimenze v mechanice . - M .: Nauka , 1981. - S. 31. - 448 s.
↑ Bridgman P. Rozměrová analýza . - Iževsk: RHD, 2001. - S. 45. - 148 s.
↑ Huntley G. Rozměrová analýza . - M .: Mir , 1970. - S. 6. - 176 s. (předmluva k ruskému vydání)
↑ Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formules de physique // Comptes rendus. - 1878. - T. 86 , č. 15 . - S. 916-920 .
↑ Když po aplikaci pí-věty vznikne z bezrozměrných kombinací libovolná funkce .
↑ Rayleigh. K otázce stability proudění kapalin // Filosofický časopis. - 1892. - T. 34 . - S. 59-70 .
↑ Strett J.W. (Lord Rayleigh). Teorie zvuku . - M. : GITTL, 1955. - T. 2. - S. 348. - 476 s.
↑ Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Telegraphiques. - 1892. - T. 19 . — S. 25–28 . Citace z Vashova článku s formulací pí-teorému jsou uvedeny v článku: Macagno E. O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute. - 1971. - T. 292 , čís. 6 . - S. 391-402 .
↑ Federman A. K některým obecným metodám integrace parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu // Sborník Petrohradského polytechnického institutu císaře Petra Velikého. Ústav technologie, přírodních věd a matematiky. - 1911. - T. 16 , č.p. 1 . - S. 97-155 .
↑ Riabouchinsky D. Metoda proměnných rozměrů nula et son application en aérodynamique // L'Aérophile. - 1911. - S. 407-408 .
↑ Buckingham E. O fyzikálně podobných systémech: ilustrace použití rozměrových rovnic // Physical Review. - 1914. - V. 4 , č. 4 . - S. 345-376 .
↑ Sena L. A. Jednotky fyzikálních veličin a jejich rozměry. - M.: Science , 1977. - S. 91-92.
↑ Puchnachev Y. Rozptyl, útlum, lom - tři klíče k rozluštění paradoxu // Věda a život. - 1983. - č. 2 . - S. 117-118 .

Bezrozměrné veličiny ve fyzice
Koncepty	Dimenze fyzikální veličiny Bezrozměrné množství π - Věta kritérium podobnosti
kritéria podobnosti	Alfvénovo číslo (Al) Archimédovo číslo (Ar) Atwoodovo číslo (A) Bagnoldovo číslo (Ba) Burstow číslo (Be) Bio číslo (Bi) Boltzmannovo číslo (Bo) Bond/Eötvös číslo (Bo, Bd nebo Eo) Brinkmannovo číslo (Br) Bulygin číslo (Bu) Weisenbergovo číslo (Wi nebo We) Weberovo číslo (My) Galileovské číslo (Ga) Hartmannovo číslo (Ha) Gay-Lussac číslo (Gc nebo GaL) Homochronní číslo (Ho) Grashofovo číslo (Gr) Graetzovo číslo (Gz) Gouche číslo (Go) Damköhlerovo číslo (Da) číslo Deborah (De) Deryaginovo číslo (Dg nebo De) Dean číslo (Dn nebo D ) Číslo kapoty (Co) Kapilaritní číslo (Cp nebo Ca) Karmanovo číslo (Ka) Keleghan-Carpenter číslo ( K C ) Kibel číslo (Ki) Kirpičovovo číslo (Ki) Clausiovo číslo (Cl) Knudsenovo číslo (Kn) Kossovičovo číslo (Ko) Cauchyho číslo (Ca) Laplaceovo číslo (La) Lundquistovo číslo (Lu nebo S) Lykov číslo (Lk nebo Lu) Lewisovo číslo (Le) Ljaščenkovo číslo (Ly) Marangoni číslo (Mg) Machovo číslo (M) Mortonovo číslo (po) Nusseltovo číslo (Nu) Newtonové číslo (Ne nebo Nt) Onesorge číslo (Oh) Číslo pecletu (Pe) Posnov číslo (Pn) Prandtlovo číslo (Pr) Magnetické Prandtlovo číslo (Pr m ) Turbulentní Prandtlovo číslo (Pr t ) Poiseuille číslo (Po) Reynoldsovo číslo (Re) Akustické Reynoldsovo číslo (Re a ) Magnetické Reynoldsovo číslo (Re m ) Richardsonovo číslo (Ri) Rossbyho číslo (Ro) Růžové číslo (Rs) Číslo Roshko (Rk nebo Ro) Ruarkovo číslo (Ru) Rayleighovo číslo (Ra) Soret číslo (Sr) Stantonovo číslo (St) Stokesovo číslo (Sk nebo Stk) Strouhalovo číslo (S, Sh nebo St) Stewartovo číslo (St nebo N ) Suratmanovo číslo (Su) Taylorovo číslo (Ta) Womersleyho číslo (Wo nebo α) Fedorovovo číslo v hydrodynamice v teorii sušení (Fe) Froude číslo (Fr) Fourierovo číslo (Fo) Hagenovo číslo (Hg) Číslo Chandrasekhar (Ch nebo Q ) Schmidtovo číslo (Sc) Sherwoodovo číslo (Sh) Eulerovo číslo (Eu) Eckertovo číslo (Ec nebo E ) Ekmanovo číslo (Ek) Elsasserovo číslo (El nebo Λ) Eriksenovo číslo (Er) Jacobovo číslo (Ja)
Ostatní bezrozměrné veličiny	Abbe číslo kvantová čísla