Správná mapa (teorie grafů)

Běžná mapa je symetrický obklad uzavřené plochy . Přesněji řečeno, správná mapa je rozklad rozmanitosti (jako je koule , torus nebo skutečná projektivní rovina ) na topologické disky, takže každá vlajka (vrchol-hrana-obličej dopadá trojnásobně) lze přeložit do jakékoli jiné vlajky rozkladem transformace symetrie . Regulární mapy jsou v jistém smyslu topologickým zobecněním pravidelných mnohostěnů . Teorie map a jejich klasifikace souvisí s teoriemi Riemannových ploch , Lobačevského geometrií a Galoisovou teorií . Regulární grafy jsou klasifikovány podle jejich rodu orientovatelnosti odpovídajícího povrchu, podle podkladového grafu nebo podle skupinového automorfismu .

Přehled

Správné mapy jsou obvykle definovány a studovány třemi způsoby: topologicky, z hlediska teorie grup a teorie grafů.

Topologický přístup

Z hlediska topologie je mapa 2-buněčný rozklad uzavřeného kompaktního 2-manifoldu.

Rod g mapy M je dán Eulerovým vztahem , který se rovná , pokud je mapa orientovatelná, a , pokud je mapa neorientovatelná. Kritickou okolností je skutečnost, že existuje konečný (nenulový) počet správných map pro jakýkoli orientovatelný rod, kromě torusu. $\chi (M)=|V|-|E|+|F|$ $2-2g$ $2-g$

Přístup teorie grup

Z hlediska teorie permutačních grup jsou reprezentace regulární mapy M tranzitivní permutační grupou C na množině příznaků generovaných volnými involucemi se třemi pevnými body splňujícími podmínku . V této definici jsou plochy orbity , hrany jsou orbity a vrcholy jsou orbity . Více abstraktně, grupový automorfismus libovolného pravidelného grafu je nedegenerovaný homomorfní obraz trojúhelníkové grupy <2,m,n>. $\Omega$ ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2))$ $(r_{0}r_{2})^{2}=I$ $F=\langle r_{0},r_{1}\rangle$ $E=\langle r_{0},r_{2}\rangle$ $V=\langle r_{1},r_{2}\rangle$

Přístup teorie grafů

Z hlediska teorie grafů je mapa kubický graf s hranami zbarvenými modře, žlutě a červeně tak, že je spojena, každý vrchol je incidentní s hranami každé barvy a cykly hran nezbarvených žlutě mají délku 4. Všimněte si, že je to rovinný graf nebo grafem kódovaná mapa ( anglicky graph-encoded map , GEM) mapy, definovaná na sadě příznaků jako vrcholy a která není kostrou G=(V,E) mapa. V obecném případě . $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Omega$ $|\Omega |=4|E|$

Mapa M je správná tehdy a jen tehdy, když Aut(M) pravidelně působí na vlajky. Aut( M ) běžné mapy je tranzitivní na vrcholech, hranách a plochách M . O mapě M se říká, že je zrcadlově symetrická právě tehdy, když Aut( M ) je regulární a obsahuje automorfismus , který fixuje jak vrcholy v , tak plochy f , ale obrací směr hran. O pravidelném grafu, který není zrcadlově symetrický, se říká, že je chirální . $\phi$

Příklady

Velký dvanáctistěn je pravidelná mapa s pětiúhelníkovými plochami na orientovatelném povrchu rodu 4.
Polokrychle je pravidelná mapa typu {4,3} na projektivní rovině .
Semidodekaedr je pravidelná mapa vytvořená pětiúhelníkovým vložením Petersenova grafu do projektivní roviny.
p- Osohedr je pravidelná mapa typu {2,p}. Všimněte si, že osohedra v tomto smyslu nejsou abstraktní polyhedra . Zejména nesplňují vlastnost diamantu .
Dyckova mapa je pravidelná mapa 12 oktaedrů na povrchu rodu 3. Podkladový Dyckův graf může také tvořit pravidelnou mapu 16 šestiúhelníků na torusu.

Níže uvedená tabulka ukazuje kompletní seznam správných map na plochách s pozitivní Eulerovou charakteristikou , χ-koulí a projektivní rovinou [1] .

χ	G	Schläfli	Vrcholy	žebra	tváře	Skupina	Objednat	Graf	Poznámky
2	0	{p,2}	p	p	2	C 2 × Dihp _	4p _	Cp _	Dihedron
2	0	{2,p}	2	p	p	C 2 × Dihp	4p _	p -sklad K 2	Osohedron
2	0	{3,3}	čtyři	6	čtyři	S4 _	24	K4 _	Čtyřstěn
2	0	{4,3}	osm	12	6	C2 × S4 _	48	K4 × K2 _ _	Krychle
2	0	{3,4}	6	12	osm	C2 × S4 _	48	K 2,2,2	Osmistěn
2	0	{5,3}	dvacet	třicet	12	C2 × A5 _ _	120		dvanáctistěn
2	0	{3,5}	12	třicet	dvacet	C2 × A5 _	120	K6 × K2 _ _	dvacetistěn
jeden	n1	{2p,2}/2	p	p	jeden	Dih 2p _	4p _	Cp _	Polostěn [2]
jeden	n1	{2,2p}/2	2	p	p	Dih 2p _	4p _	p -sklad K 2	Semihosehedron [2]
jeden	n1	{4,3}/2	čtyři	6	3	S4 _	24	K4 _	Půl kostky
jeden	n1	{3,4}/2	3	6	čtyři	S4 _	24	2x K 3	Semioctahedron
jeden	n1	{5,3}/2	deset	patnáct	6	A5 _	60	hrabě z Petersenu	Semidodekaedr
jeden	n1	{3,5}/2	6	patnáct	deset	A5 _	60	K6 _	Semiicosahedron

Obrázky níže ukazují tři z 20 běžných karet v trojitém torusu s jejich symboly Schläfli .

{6,4}
{4,8}
{8,4}

Toroidní mnohostěny

Příklady mozaiky

{4,4} 1,0 (v:1, e:2, f:1)	{4.4} 1.1 (v:2, e:4, f:2)	{4.4} 2.0 (v:4, e:8, f:4)	{4.4} 2.1 (v:5, e:10, f:5)	{4.4} 2.2 (v:8, e:16, f:8)
{3,6} 1,0 (v:1, e:3, f:2)	{3.6} 1.1 (v:3, e:9, f:6)	{3.6} 2.0 (v:4, e:8, f:8)	{3.6} 2.1 (v:7, e:21, f:14)	{3.6} 2.2 (v:12, e:36, f:24)
{6.3} 1.0 (v:2, e:3, f:1)	{6.3} 1.1 (v:6, e:9, f:3)	{6.3} 2.0 (v:8, e:8, f:4)	{6.3} 2.1 (v:14, e:21, f:7)	{6.3} 2.2 (v:24, e:36, f:12)

Pravidelné mapy existují jako toroidní mnohostěny ve formě konečných částí euklidovských obkladů zabalených do povrchu dvouválce jako plochý torus . Jsou označeny jako {4,4} b , c , když jsou spojeny se čtvercovým obkladem {4,4} [3] , jako když jsou spojeny s trojúhelníkovým obkladem {3,6}, a jako {6,3 } b . c při spojení s šestihranným obkladem {6,3}. Indexy b a c jsou celá čísla [4] . Existují 2 speciální případy ( b , 0) a ( b , b ) se zrcadlovou symetrií, ačkoli obecné případy existují v chirálních párech ( b , c ) a ( c , b ). $\{3,6\}_{b,c}$

Regulární mapy tvaru {4,4} m ,0 lze znázornit jako konečné pravidelné zešikmené mnohostěny {4,4| m }, chápané jako čtvercové plochy m × m duoprismu v dimenzi 4.

Níže je příklad {4,4} 8,0 mapovaný ze šachovnicového plochého listu na válec a poté na torus. Projekce z válce na anuloid deformuje geometrii ve 3D, ale ve 4D to lze provést bez zkreslení.

Správné mapy s nulovou Eulerovou charakteristikou [5]

G	Schläfli	Vrcholy	žebra	tváře	Skupina	Objednat	Poznámky
jeden	{4,4} b ,0 n = b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b ,0)	8n _	Plochý toroidní mnohostěn Stejné jako {4,4 \| b }
jeden	{4,4} b , b n = 2 b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b , b )	8n _	Plochý toroidní mnohostěn Stejný jako plně zkrácený {4,4 \| b }
jeden	{4,4} b , c n = b 2 + c 2	n	2n _	n	[4,4]+ ( b , c )	4n _	Planární chirální toroidní mnohostěn
jeden	{3,6} b , 0 t = b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Plochý toroidní mnohostěn
jeden	{ 3,6 } b , bt = 2b2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b , b )	12 t	Plochý toroidní mnohostěn
jeden	{3,6 } b , ct = b 2 + bc + c 2	t	3 t	2 t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Planární chirální toroidní mnohostěn
jeden	{6,3} b , 0 t = b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Plochý toroidní mnohostěn
jeden	{6,3} b , bt = 2 b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b , b )	12 t	Plochý toroidní mnohostěn
jeden	{6,3 } b , ct = b 2 + bc + c 2	2 t	3 t	t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Planární chirální toroidní mnohostěn

Obecně platí, že pravidelný toroidní polytop { p , q } b , c lze definovat, pokud p nebo q jsou sudé, ačkoli pouze jeden euklidovský výše může existovat jako toroidní polytop v dimenzi 4. V případě {2 p , q } cesty ( b , c ) mohou být definovány jako plocha-hrana-plocha na přímce, zatímco v duálních { p ,2 q } formách lze cesty ( b , c ) chápat jako vrchol-hrana-vrchol.

Viz také

Poznámky

↑ Coxeter, Moser, 1980 .
↑ 1 2 Carlo Sequin. Symetrické ponoření neorientovatelných regulárních map nízkého rodu . Berkeley University . Získáno 5. března 2020. Archivováno z originálu dne 23. září 2015. (neurčitý)
↑ Coxeter a Moser 1980 , str. 8.3 Mapy typu {4,4} na torusu.
↑ Coxeter a Moser 1980 , str. 8.4 Mapy typu {3,6} na torusu.
↑ Coxeter a Moser 1980 , str. Kapitola 8, Běžné mapy , 8.3 Mapy typu {4,4} na torusu, 8.4 Mapy typu {3,6} nebo {6,3} na torusu.

Literatura

Coxeter HSM, Moser WOJ . — 4. - Springer Verlag, 1980. - Vol. 14. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-0-387-09212-6 . Překlad:
- G.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generování prvků a definování vztahů diskrétních skupin / Překlad V.A. Čurkin, editoval Yu.I. Merzlyakova .. - Moskva: "Nauka" Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1980.
Jack van Wijk. Symetrické obklady uzavřených ploch: vizualizace pravidelných map // Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics). - 2009. - T. 28 , no. 3 . - S. 12 . - doi : 10.1145/1531326.1531355 . Archivováno z originálu 9. června 2011.
Marston Conder, Peter Dobcsany. Určení všech regulárních map malého rodu // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 2001. - V. 81 , no. 2 . - S. 224-242 . - doi : 10.1006/jctb.2000.2008 .
Roman Nedela. Mapy, hypermapy a související témata . — 2007.
Andrew Vince. Mapy // Příručka teorie grafů. — 2004.
Ulrich Brehm, Egon Schulte. Polyedrální mapy // Příručka diskrétní a výpočetní geometrie. — 2004.