Přidání

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Sčítání ( sčítání [2] ) je jedna ze základních binárních matematických operací ( aritmetických operací) dvou argumentů (členů), jejímž výsledkem je nové číslo ( součet ), získané zvýšením hodnoty prvního argumentu o hodnotu druhého argumentu. To znamená, že každé dvojici prvků z množiny je přiřazen prvek zvaný součet a . Toto je jedna ze čtyř základních matematických operací aritmetiky . Jeho priorita v normálním pořadí operací je rovna prioritě odečítání $(a,b)$ $A$ $c=a+b$ $A$ $b$ , ale nižší než umocňování , extrakce odmocnin , násobení a dělení [3] . Písemně se sčítání obvykle označuje znaménkem plus : . Sčítání je možné pouze v případě, že oba argumenty patří do stejné sady prvků (mají stejný typ ). Na obrázku vpravo tedy zápis znamená tři jablka a dvě jablka dohromady, což dává dohromady pět jablek. Nemůžete ale přidat například 3 jablka a 2 hrušky. $a+b=c$
$3+2$

Pomocí systematických zobecnění lze sčítání definovat pro abstraktní veličiny, jako jsou celá čísla , racionální čísla , reálná čísla a komplexní čísla , a pro jiné abstraktní objekty, jako jsou vektory a matice .

Sčítání má několik důležitých vlastností (například pro ) (viz Součet ): $A=$ $\mathbb {R}$

Komutativnost : $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A;$
Asociativita : $(a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A;$
Distributivita : a $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b)$ $(a+b)\cdot x=(a\cdot x)+(b\cdot x),\quad \forall a,b\in \ A;$
Přidáním (nulový prvek) získáte číslo rovné původnímu: $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Sčítání malých čísel je jednou z prvních dovedností, které se děti učí na základní škole.

Jsou známa různá sčítací zařízení, od starověkých počítadel až po moderní počítače .

Formuláře a terminologie

Sčítání se zapisuje pomocí znaménka plus "+" mezi pojmy; tato forma notace se nazývá infixová notace . Výsledek se zapisuje pomocí znaménka rovná se . Například,

$a+b=c$ („a plus se rovná ce“)
$1+1=2$ ("jedna plus jedna se rovná dvěma")
$2+2=4$ ("dva plus dva se rovná čtyřem")
$5+4+2=11$ (viz "asociativita" níže )
$3+3+3+3=12$ (viz "násobení" níže )

V řadě situací je sčítání implikováno, ale symboly sčítání se nepoužívají:

V zápisu čísel v pozičních číselných soustavách: zápis čísla implikuje sčítání řady [4] . $a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,$ $a_{n-1}\cdot P^{n-1}+a_{n-2}\cdot P^{n-2}+\ldots +a_{1}\cdot P^{1}+ a_{0}\cdot P^{0}$
Pokud existuje sloupec čísel, ve kterém je poslední (spodní) číslo podtrženo , pak se obvykle rozumí, že všechna čísla v tomto sloupci se sčítají a výsledný součet se zapíše pod podtržené číslo.
Pokud existuje záznam, kdy je před zlomkem celé číslo , pak tento záznam znamená součet dvou členů - celého čísla a zlomku, kterému se říká smíšené číslo [5] . Například
3½ = 3 + ½ = 3,5.
Tento zápis může způsobit zmatek, protože ve většině ostatních případů takový zápis znamená násobení , nikoli sčítání [6] .

Součet řady souvisejících čísel lze zapsat pomocí symbolu Σ, což umožňuje kompaktní zápis iterace . Například,

\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.

Sčítačky jsou čísla nebo objekty sčítané dohromady [7] .

Znaménko plus „+“ ( Unicode :U+002B; ASCII : +) je zjednodušením latinského slova „et“ s významem „a“ [8] . Poprvé se tento symbol vyskytuje v knihách od roku 1489 [9]

Výklady

Sčítání se používá k modelování bezpočtu fyzikálních procesů. I pro jednoduché sčítání přirozených čísel existuje mnoho různých výkladů a ještě více způsobů vizuálního znázornění.

Kombinace sad

Snad nejzásadnějším výkladem sčítání je kombinace množin:

Pokud jsou dvě nebo více nepřekrývajících se sad prvků sloučeny do jedné sady, pak se počet prvků ve výsledné sadě rovná součtu počtu prvků v původních sadách.

Tento výklad je snadno vizualizovatelný a riziko nejednoznačnosti je minimální. Není však jasné, jak vysvětlit sčítání zlomkových nebo záporných čísel pomocí této interpretace sčítání [10] .

Jedním z možných řešení by bylo odkázat na sadu předmětů, které lze snadno oddělit, jako jsou koláče nebo tyče se segmenty [11] . Namísto kombinování sad segmentů mohou být tyče na koncích připojeny k sobě, což ilustruje jiný koncept přidávání: nejsou to tyče, které se sčítají, ale jejich délky.

Prodloužení délky

Druhou interpretací sčítání je rozšíření počáteční délky o velikost přidané délky:

Když se počáteční délka prodlouží o přidanou délku, pak se výsledná délka rovná součtu počáteční délky a délky, která k ní byla přidána [12] .

Součet a + b lze interpretovat jako binární sjednocení a a b v algebraickém smyslu a lze jej také interpretovat jako přičítání b jedniček k číslu a . V druhé interpretaci hrají části součtu a + b asymetrické role a operace a + b je považována za aplikaci unární operace + b na číslo a [13] . Unární přístup vám umožňuje přejít k odčítání , protože každá operace unárního sčítání má inverzní unární operaci odčítání a naopak.

Vlastnosti

Operace sčítání na číselných množinách má následující hlavní vlastnosti: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Komutativnost

Sčítání je komutativní - součet se nemění změnou místa členů (tato vlastnost je také známá jako komutativní zákon sčítání ): Existují další zákony komutativnosti: například existuje komutativní zákon násobení. Mnoho binárních operací , jako je odčítání a dělení, však není komutativních. $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A.$

Asociativita

Sčítání je asociativní - když se postupně sčítá tři nebo více čísel, nezáleží na pořadí operací ( asociativní zákon sčítání ): $(a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A.$

Distributivita

Sčítání je distributivní , jedná se o vlastnost konzistence dvou binárních operací definovaných na stejné množině ( distributivní zákon ) [14] : $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.$

Neutrální prvek

Pokud jde o sčítání, v množině je pouze jeden neutrální prvek , přidání čísla s (nula nebo neutrální prvek) dává číslo rovné původnímu: $A$ $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Tento zákon byl poprvé popsán v Revidovaném pojednání o Brahmovi , který napsal Brahmagupta v roce 628. Napsal tento zákon ve formě tří samostatných zákonů: pro záporné, kladné a nulové číslo a a k popisu těchto zákonů používal slova a ne algebraické symboly. Později indičtí matematici tyto pojmy zdokonalili; kolem roku 840 Mahavira napsal, že „nula se stává stejnou jako to, co je k ní přidáno“, což odpovídalo zápisu 0 + a = a . Ve 12. století Bhaskara II napsal: „Pokud se nic nepřidává nebo nic neodečítá, pak množství, kladné nebo záporné, zůstává stejné, jak bylo,“ což odpovídá zápisu a + 0 = a [15] .

Inverzní prvek

Přidání s opačným prvkem dává : [16] $0$ $a+(-a)=0,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.$

Navíc sčítání nepřebírá výsledek mimo danou množinu čísel, proto jsou uzavřena pod operací sčítání. Tyto množiny s operacemi a tvoří kruhy ( komutativní kruhy s identitou) [17] . V jazyce obecné algebry , výše uvedené vlastnosti sčítání říkají, že jsou abelovské grupy s ohledem na operaci sčítání. $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+$ $\cdot$ $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Provádím sčítání

Operaci sčítání lze znázornit jako jakousi " černou skříňku " se dvěma členy na vstupu a jedním na výstupu - součet: [18] [19]

Při praktickém řešení problému sčítání dvou čísel je nutné jej zredukovat na posloupnost jednodušších operací: "jednoduché sčítání" , přenos, porovnávání atd. K tomu byly vyvinuty různé metody sčítání, např. pro čísla, zlomky, vektory atd. Na číselných množinách se používá algoritmus bitového sčítání [20] . V tomto případě by se přidání mělo považovat za postup (na rozdíl od operace).

Ukázkový algoritmus pro proceduru bitového sčítání dvou čísel [21]

Jak vidíte, postup je poměrně složitý, skládá se z poměrně velkého počtu kroků a při sčítání velkých čísel to může trvat dlouho.

"Jednoduché sčítání" - v tomto kontextu znamená operaci sčítání jednociferných čísel, které lze snadno redukovat na inkrementaci . Je přírůstkový hyperoperátor :

$a+b=\operatorname {hyper1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b.$

$a{^{(1)}}b=a+b=\pod závorkou {1+1+\tečky +1} _{a}+\pod závorkou {1+1+\tečky +1} _{b }.$

kde je posloupnost prováděných inkrementačních operací a časy. $1+1+\tečky +1$ $A$ $b$

Vrozená schopnost

Výzkum matematického vývoje, který začal v 80. letech 20. století, se zabýval fenoménem habituace : děti se déle dívají na situace, které jsou neočekávané [22] . Experiment Karen Winn z roku 1992 použil panenky Mickey Mouse , se kterými se za zástěnou různě manipulovalo Tento experiment ukázal, že 5měsíční miminka očekávají 1 + 1 jako 2 a jsou překvapeni, když 1 + 1 je 1 nebo 3. Tento výsledek byl později potvrzen v jiných laboratořích za použití různých metod [23] . Další experiment v roce 1992 se staršími batolaty ve věku 18 až 35 měsíců využíval rozvoj motorických dovedností dětí a umožňoval jim vytahovat pingpongové míčky z krabičky; mladší kluci si dobře poradili s malým počtem míčků, starší se naučili počítat součet do 5 [24] .

Dokonce i některá zvířata vykazují schopnost skládání, zejména primáti . Experiment z roku 1995 byl podobný Winnovu experimentu z roku 1992, ale místo panenek byly použity lilky . Ukázalo se, že opice rhesus a tamaríni oidipští vykazují schopnosti podobné lidským mláďatům. Navíc jeden šimpanz poté, co se naučil rozlišovat a chápat význam arabských číslic od 0 do 4, byl schopen vypočítat součet dvou čísel bez jakéhokoli tréninku [25] . Později se zjistilo, že asijští sloni jsou schopni zvládnout základní aritmetické operace [26] .

Zvládnutí sčítání dětmi

Děti se zpravidla nejprve učí počítat . Když malé děti dostanou úkol, který vyžaduje zkombinovat dva předměty a tři předměty, obrátí se na pomoc konkrétních předmětů, jako je počítání prstů nebo nápověda při kreslení. Jak získávají zkušenosti, učí se nebo objevují strategii „počítání“: když je potřeba zjistit, kolik bude dvě plus tři, děti vypíší dvě čísla, která následují po čísle tři, a řeknou: „tři, čtyři, pět “ (obvykle ohýbají prsty) a v důsledku toho dostanou pět. Tato strategie se zdá téměř univerzální; děti se to mohou snadno naučit od svých vrstevníků nebo učitelů [27] . Mnoho dětí na to přichází samo. Po nashromáždění určitých zkušeností se děti naučí sčítat rychleji pomocí komutativnosti sčítání, začínají vypisovat čísla od největšího čísla v součtu, jako ve výše popsaném případě, počínaje třemi a vypisovat: „čtyři, pět “. Nakonec děti začnou používat některá fakta o sčítání („ příklady sčítání zpaměti “), a to buď tím, že se je naučí na základě zkušeností, nebo si je zapamatují. Když se některá fakta usadí v paměti, začnou děti odvozovat neznámá fakta ze známých. Například dítě sčítající šest a sedm může vědět, že 6 + 6 = 12, a že tedy 6 + 7 je o jedničku více, tedy 13 [28] . Tento druh vyvozování přichází poměrně rychle a většina žáků základních škol se spoléhá na směs všeho, co si pamatují a co dokážou odvodit, což jim nakonec umožňuje plynule sčítat [29] .

V různých zemích se se studiem celých čísel a aritmetiky začíná v různém věku, zejména sčítání se vyučuje v předškolních vzdělávacích institucích [30] . Na celém světě se přitom žáci do konce prvního ročníku základní školy učí sčítání [31] .

Sčítací tabulka

Dětem se často ukazuje tabulka pro sčítání dvojic čísel od 1 do 10 pro lepší zapamatování.[ plovoucí výraz ] . Znáte-li tuto tabulku, můžete provést jakékoli přidání.

desítková sčítací tabulka

+	0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
0	0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
jeden	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset
2	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct
3	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12
čtyři	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13
5	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct
6	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct	patnáct
7	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct	patnáct	16
osm	osm	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct	patnáct	16	17
9	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct	patnáct	16	17	osmnáct

Desetinná soustava

Pro úspěšné sčítání v desítkové soustavě si musíte zapamatovat nebo být schopni rychle zobrazit 100 „faktů (příkladů) sčítání“ pro jednociferná čísla. Všechny tyto skutečnosti si lze zapamatovat tím, že si je zapamatujete, ale strategie pro učení sčítání pomocí vzorů jsou pro většinu lidí informativnější a efektivnější: [32]

Komutativní vlastnost : Použití vzoru snižuje počet „sčítacích faktů“ k zapamatování ze 100 na 55. $a + b = b + a$
Ještě jeden nebo dva : sčítání 1 nebo 2 je základní problém a lze jej vyřešit výčtem (počítáním) nebo nakonec spoléháním se na intuici [32] .
Nula : protože nula je neutrální prvek pro operaci sčítání (aditivní jednotka), přidání nuly je snadné. Během studia aritmetiky je však sčítání některým studentům představováno jako proces, během něhož se termíny stále zvyšují; důraz na verbální formulaci problému může pomoci pochopit „exkluzivitu“ nuly [32] .
Zdvojnásobení : Sečtení čísla k sobě samému souvisí s úkolem zdvojnásobit (pře)počítat a násobit . Zdvojení faktů je základem pro mnoho souvisejících faktů a je pro studenty poměrně snadno pochopitelné [32] .
Téměř zdvojnásobení (součty blízké dvojnásobku) : součet 6 + 7 = 13 lze rychle odvodit ze skutečnosti, že zdvojnásobíte 6 + 6 = 12 a přidáte jedničku, nebo ze skutečnosti 7 + 7 = 14 a odečtete jedničku [32 ] .
Pět a deset : součty tvaru 5 + x a 10 + x jsou obvykle zapamatovány brzy a lze je použít k odvození dalších skutečností. Například výsledek součtu 6 + 7 = 13 lze odvodit pomocí skutečnosti 5 + 7 = 12 přičtením jedničky k poslední [32] .
Získání deseti (vytvoření až deseti) : existuje strategie, ve které se 10 používá jako mezivýsledek v přítomnosti výrazů 8 nebo 9; například 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 [32] .

Jak studenti stárnou, zapamatují si stále více faktů a učí se z nich rychle odvodit další fakta. Mnoho studentů si nepamatuje všechna fakta, ale dokáže rychle odvodit požadované [29] .

Převod

Ve standardním vícemístném sčítacím algoritmu[ zjednodušený výraz ] číslice, které tvoří položky přidaných čísel, jsou umístěny pod sebou. Proveďte sčítání čísel samostatně v každém sloupci, počínaje zprava. Pokud součet číslic ve sloupci přesáhne 10, další číslice se " přenese " do dalšího sloupce (vlevo). Například celkem 27 + 59

¹ 27 +59 ———— 86

7 + 9 = 16 a číslo 1 se přenese do dalšího sloupce. V alternativní metodě začněte přidávat od nejvýznamnější číslice vlevo; v této strategii je převod poněkud hrubší, ale přibližná částka se získá rychleji. Existuje mnoho dalších způsobů přenosu.

Přidání desetinných míst

Metoda desítkového sčítání je jednoduchou modifikací vícemístného sčítání popsaného výše [33] . Při přidávání sloupce jsou zlomky uspořádány tak, že čárky[ styl ] byly přesně pod sebou. V případě potřeby lze vpravo a vlevo od kratšího zlomku přidat nuly (viz koncová nula a úvodní nuly ), aby se délka srovnala s delším zlomkem. Sčítání se tedy provádí stejným způsobem jako u výše popsaného způsobu sčítání víceciferných čísel, pouze čárka se v odpovědi nachází přesně tam, kde se u výrazů nacházela.

Například součet 45,1 + 4,34 lze vypočítat takto:

4 5, 1 0 + 0 4, 3 4 ——————————————— 4 9, 4 4 Exponenciální zápis

V exponenciálním zápisu se čísla zapisují jako , kde je mantisa , je charakteristika čísla a je základem číselné soustavy. Chcete-li sečíst dvě čísla, která jsou zapsána v exponenciálním tvaru, je nutné, aby měla stejné vlastnosti: podle distributivní vlastnosti. ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $X$ $P^{n}$ $P$ $a\cdot P^{n}+b\cdot P^{n}=(a+b)\cdot P^{n},$

Například:

2.34\cdot 10^{-5}+5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}+0.567\cdot 10^{-5}=(2.34+0.567)\cdot 10^{-5}=2,907\cdot 10^{-5}

Speciálním případem je sčítání čísel, která se liší o několik řádů , s postupným zaokrouhlováním. Jestliže , pak budou chyby těchto čísel nesrovnatelné ( ), a když se provede sčítání, větší chyba pohltí menší. Tak může být narušena vlastnost asociativnosti. $a\gg b$ $\Delta a\gg \Delta b$

Vezměme si například výraz : pokud provedeme nejprve , po zaokrouhlení výsledku dostaneme , sčítání dále, máme , a pokud se sčítání provádí v jiném pořadí, pak: . Nepřesné zaokrouhlení tedy může vést k různým hodnotám stejného výrazu. $5.6\cdot 10^{8}+7.2+(-5.6\cdot 10^{8})$ $5.6\cdot 10^{8}+7.2$ ${\displaystyle \approx 5.6\cdot 10^{8))$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5.6\cdot 10^{8})=0$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5.6\cdot 10^{8})+7.2=0+7.2=7.2$

Sčítání v jiných číselných soustavách

Sčítání pro čísla s jinými základy je shodné se sčítáním v desítkové soustavě

Jako příklad uvažujme sčítání ve dvojkové soustavě [34] . Přidání dvou jednociferných binárních čísel pomocí carry je poměrně jednoduché:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, 1 se přenese (protože 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1 ))

Součet dvou '1' se rovná '0' a 1 musí být přidána do dalšího sloupce. Tato situace je analogická tomu, co se stane v desítkové soustavě, když se sečtou jistá jednociferná čísla; pokud je výsledek roven nebo větší než hodnota základu (10), číslice nalevo se zvětší:

5 + 5 → 0, nos 1 (protože 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1 )) 7 + 9 → 6, nos 1 (protože 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1 ))

Tato operace je známá jako "přenos" [35] . Když výsledek sčítání překročí rozsah hodnot a místa , musíte přebytek dělený základem systému (tj. 10 v desítkové soustavě) "převést" doleva a přidat jej do hodnotu na dalším místě. To je způsobeno skutečností, že hodnota na další číslici je krát větší (v -té číselné soustavě) než hodnota na aktuální číslici. Přenos v binární soustavě funguje stejně jako v desítkové soustavě: $N$ $N$

1 1 1 1 1 (převod) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ———————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

Tento příklad sčítá dvě čísla: 01101 2 (13 10 ) a 10111 2 (23 10 ). Horní řádek označuje přítomnost přenosu. Začneme sčítat od pravého sloupce: 1 + 1 = 10 2 . Zde je 1 nesena doleva a 0 je napsána na spodním řádku. Nyní se sečtou čísla ve druhém sloupci zprava: 1 + 0 + 1 = 10 2 ; 1 se přenese a 0 se napíše na spodní řádek. Třetí sloupec: 1 + 1 + 1 = 11 2 . V tomto případě je 1 nesena na spodním řádku. Výsledkem je 100100 2 (nebo 36 v desítkové soustavě).

Počítače

Analogové počítače pracují přímo s fyzikálními veličinami, takže jejich mechanismus sčítání závisí na typu termínů. Mechanická sčítačka může představovat dva pojmy jako polohy posuvných bloků, v takovém případě je lze sčítat pomocí páky průměrování . Pokud jsou pojmy uvedeny ve formě rychlostí otáčení dvou hřídelů , lze je sčítat pomocí diferenciálu . Hydraulická sčítačka může přidat tlaky ve dvou komorách pomocí druhého Newtonova zákona k vyrovnání sil na sestavu pístu . Nejtypičtější aplikací analogového počítače je přidání dvou napětí (vzhledem k zemi ); toto může být hrubě realizováno s odporovým obvodem a pokročilá verze používá operační zesilovač [36] .

Operace sčítání je základní v osobním počítači . Výkon operace sčítání a zejména omezení spojená s přenosovým mechanismem ovlivňují celkový výkon počítače.

Počítadlo , také nazývané počítací deska, je počítací zařízení, které bylo používáno mnoho století před přijetím moderního číselného systému a je stále široce používáno obchodníky, obchodníky a úředníky v Asii , Africe a dalších kontinentech; předpokládá se, že počítadlo vzniklo nejpozději v letech 2700-2300 před naším letopočtem. e., pak to bylo používáno Sumery [37] .

Blaise Pascal vynalezl mechanickou kalkulačku v roce 1642 [38] [39] ; byl to první provozní sčítací stroj . V této kalkulačce byl přenosový mechanismus proveden gravitací. Byl to jediný fungující kalkulátor v 17. století [40] a vůbec první automatický digitální počítač. Pascalův sčítací stroj byl limitován přemisťovacím mechanismem, který umožňoval otáčení kol pouze jedním směrem a tím i stohování. K odečítání musel uživatel použít druhou sadu číslic k vyjádření výsledku a metody sčítání , které zahrnovaly stejný počet kroků jako sčítání. Giovanni Poleni pokračoval v Pascalově práci tím, že v roce 1709 postavil druhou funkční mechanickou kalkulačku. Číselník této kalkulačky byl vyroben ze dřeva a po instalaci uměl automaticky násobit dvě čísla dohromady.

Sčítače provádějí sčítání celého čísla v elektronických digitálních počítačích, obvykle používající binární aritmetiku . Nejjednodušší struktura používá vlnovou sčítačku (provedení předchozí sčítačky v řetězci sčítačky je přenesením pro další sčítačku), která umožňuje sčítání pro vícebitová čísla. Mírné zlepšení poskytuje skip-carry adder , který funguje podobně jako lidská intuice; neudělá všechny přenosy v součtu 999 + 1, obejde skupinu devítek a skočí přímo na odpověď [41] .

V praxi lze sčítání provádět pomocí sčítání modulo dva a operace AND v kombinaci s dalšími bitovými operacemi, jak je uvedeno níže. Obě tyto operace se snadno implementují v řetězcích sčítaček , které lze naopak kombinovat do složitějších logických operací . V moderních digitálních počítačích patří celočíselné sčítání, stejně jako další celočíselné aritmetické instrukce, k nejrychlejším operacím, ale zároveň mají obrovský dopad na celkový výkon počítače, protože celočíselné operace tvoří významnou část všech operací. výpočty. Sčítání celých čísel se používá například v takových úlohách, jako je generování adres během přístupu do paměti a načítání instrukcí během určitého pořadí provádění . Pro zvýšení rychlosti moderní počítače počítají hodnoty v číslicích paralelně ; taková schémata se nazývají carry sampling, carry anticipation a pseudo-transfer v Ling sčítačce . Ve většině případů je implementace sčítání na počítači hybridem posledních tří konstrukcí [42] [43] . Na rozdíl od sčítání papíru, přidání počítače často mění podmínky. Na starověkém počítadle a sčítací desce byly během operace sčítání oba termíny zničeny a zůstal pouze součet. Vliv počítadla na matematické myšlení byl tak velký, že v raných latinských textech se často uvádělo, že v procesu přidávání „čísla k číslu“ obě čísla mizí [44] . Vrátíme-li se do současnosti, podotýkáme, že instrukce ADD mikroprocesoru nahrazuje hodnotu prvního členu součtem, druhý člen zůstává nezměněn [45] . V programovacím jazyce vysoké úrovně se vyhodnocením a + b nezmění ani a ani b ; pokud je úkolem zapsat součet do a , pak to musí být výslovně uvedeno, obvykle výrazem a = a + b . V některých programovacích jazycích , jako je C nebo C++ , je toto zkráceno na a += b .

// Iterační algoritmus int add ( int x , int y ){ int carry = 0 ; while ( y != 0 ){ carry = AND ( x , y ); // Logické AND x = XOR ( x , y ); // Logické XOR y = carry << 1 ; // levý bitshift přenést o jednu } return x ; } // Rekurzivní algoritmus int add ( int x , int y ){ return x if ( y == 0 ) else add ( XOR ( x , y ) , AND ( x , y ) << 1 ); }

Pokud je v počítači výsledek sčítání příliš velký na uložení, dojde k aritmetickému přetečení , což má za následek nesprávnou odpověď nebo výjimku během provádění programu. Neočekávané aritmetické přetečení je poměrně častou příčinou programovacích chyb . Takové chyby přetečení může být obtížné odhalit a diagnostikovat, protože se mohou vyskytnout pouze u velmi velkých souborů vstupních dat, které se v testech často nepoužívají [46] . Přidávání reálných čísel na moderních počítačích, stejně jako všechny výpočty s pohyblivou řádovou čárkou , je implementováno v hardwaru ve speciálním modulu zvaném matematický koprocesor (název je podmíněný, protože v moderních počítačích je fyzicky integrován do centrálního procesoru ). Sčítání s plovoucí desetinnou čárkou může také přetéct, ale vždy vyvolá výjimku a nezůstane bez povšimnutí.

Další důležitou vlastností výpočtů s plovoucí desetinnou čárkou je omezená přesnost reprezentace reálného čísla , v souvislosti s níž se výpočty s plovoucí desetinnou čárkou na počítači obecně provádějí přibližně a operace zaokrouhlování se aplikuje na výsledky výpočtů (včetně mezilehlých) . Zaokrouhlování se zpravidla aplikuje i na ta čísla, která jsou v desítkové soustavě reprezentována konečným zlomkem, tedy přesně (protože nejběžnější počítače používají binární číselnou soustavu ). V tomto ohledu při sčítání čísel s pohyblivou řádovou čárkou na počítači součet zpravidla závisí na pořadí sčítání členů - někdy výrazně, pokud se pořadí členů výrazně liší. S ohledem na tuto okolnost se při psaní programů, které používají sčítání velkého počtu termínů, musí uchýlit ke speciálním opatřením zaměřeným na snížení chyby. Jednou z nejúčinnějších metod pro snížení chyby součtu je Kahanův algoritmus .

Přidání čísla

Chcete-li reprezentovat základní vlastnosti sčítání, musíte nejprve rozhodnout o kontextu. Sčítání bylo původně definováno pro přirozená čísla . Sčítání je definováno pro větší a větší množiny, včetně přirozených čísel: celá čísla , racionální čísla a reálná čísla [47] . (V matematickém vzdělávání [48] předchází sčítání kladných zlomků sčítání záporných čísel [49] .)

Přirozená čísla

Použijme definici přirozených čísel jako tříd ekvivalence konečných množin. Označme třídy ekvivalence konečných množin generovaných bijekcemi pomocí závorek: . Potom je aritmetická operace "sčítání" definována takto: $\mathbb {N}$ $C,A,B$ $[C],[A],[B]$

[C]=[A]+[B]=[A\sqcup B];

kde je disjunktní spojení množin . Tato operace s třídami je zavedena správně, to znamená, že nezávisí na volbě prvků třídy a shoduje se s induktivní definicí. $A \sqcup B$

Zobrazení 1:1 konečné množiny na segment lze chápat jako výčet prvků množiny . Tento proces číslování se nazývá " počítání " [50] [ zkontrolovat odkaz (již 506 dní) ] . „Účet“ je tedy vytvořením vzájemné korespondence mezi prvky množiny a segmentem přirozené řady čísel [51] . $A$ ${\displaystyle N_{a))$ ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a))$

Pro sčítání přirozených čísel v pozičním zápisu čísel se používá algoritmus bitového sčítání. Jsou dána dvě přirozená čísla a taková, že: $A$ $b$

a=a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\tečky b_{0},\quad \ forall a_{k},b_{k}\in \{P\}\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;

kde: ; ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k))$

n

- počet číslic v čísle ;

n\in \{1,2,\tečky ,n\}

k

- pořadové číslo kategorie (pozice), ;

k\in \{0,1,\tečky ,n-1\}

P

- základ číselné soustavy;

\{P\}

sada číselných znaků (číslic), specifická číselná soustava:

\{P_{2}\}=\{0,1\}

\{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

{\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\))

;

pak:

c=a+b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\tečky c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{0}+b_ {n-1}b_{n-2}\tečky b_{0};

přidáváním kousek po kousku dostaneme:

$c_{0}={\begin{cases}a_{0}+b_{0},\quad c_{1}=0&{\text{if }}a_{0}+b_{0}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{0}+b_{0}-P,\quad c_{1}=1&{\text{if }}a_{0}+b_{0}>P- 1{\text{ }}\end{cases}}$
$c_{1}={\begin{cases}a_{1}+b_{1}+c_{1},\quad c_{2}=0&{\text{if }}a_{1}+b_ {1}+c_{1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{1}+b_{1}+c_{1}-P,\quad c_{2}=1&{\text{ if }}a_{1}+b_{1}+c_{1}>P-1{\text{ }}\end{cases}}$
$...\quad \quad ...\quad \quad ...$
$c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\quad c_{n}=0&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{n-1}+b_{n-1}+c_ {n-1}-P,\quad c_{n}=1&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}>P-1{\text { }}\end{cases}}$

Operace sčítání je tedy redukována na postup sekvenčního jednoduchého sčítání jednociferných čísel , s případným vytvořením převodní jednotky, které se provádí buď tabulkovou metodou, nebo inkrementací (počítáním). $a_{k}+b_{k}$

Aritmetické operace s čísly v libovolné poziční číselné soustavě se provádějí podle stejných pravidel jako v desítkové soustavě , protože všechny jsou založeny na pravidlech pro provádění operací s odpovídajícími polynomy [52] . V tomto případě je třeba použít sčítací tabulku odpovídající danému základu číselné soustavy. $P$

Příklad sčítání přirozených čísel v binárních, desítkových a hexadecimálních číselných soustavách, pro usnadnění jsou čísla psána pod sebou podle číslic, nosná jednotka je napsána nahoře, chybějící číslice jsou doplněny nulami:

{\begin{array}{cccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&0&1&0&1&1&0\\+&1&1&1&1&0&1\\\hline 1&0&1&0&0&1&1\end{array));\begin \quad {array}{ccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&3&4&5&6&7\\+&8&7&5&4&1\\\hline 1&2&2&1&0&8\end{array));\quad \quad {\begin{array}{cccccc} &_{1}&&_{1}&_{1}&_{1}\\&C&5&6&D&E&4\\+&0&F&2&A&1&F\\\hline &D&4&9&8&0&3\end{array}}.

Další slavná definice je rekurzivně:

Nechť n + je přirozené číslo následující za po n , například 0 + =1, 1 + =2. Nechť a + 0 = a . Potom se celkový součet určí rekurzivně: a + ( b + ) = ( a + b ) + . Proto 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2 [53] .

V literatuře existují různé verze této definice. Ve větě o rekurzi[ neznámý termín ] na posetu N 2 je použita přesně ta definice uvedená výše. [54] . Na druhou stranu některé zdroje dávají přednost použití omezené věty o rekurzi, která platí pouze pro množinu přirozených čísel. Někteří navrhují dočasně "opravit" a tím, že se vrátíme na b , aby se definovala funkce " a +", a vložením těchto unárních operací pro všechna a vznikla úplná binární operace [55] .

Tuto rekurzivní definici sčítání podal Dedekind již v roce 1854 a v následujících desetiletích ji rozšířil [56] . Pomocí matematické indukce Dedekind dokázal vlastnosti asociativnosti a komutativnosti.

Celá čísla

Množina celých čísel je rozšířením množiny přirozených čísel , získaných sečtením záporných čísel [57] tvaru . Množina celých čísel se značí Aritmetické operace na celých číslech jsou definovány jako spojité pokračování odpovídajících operací s přirozenými čísly. Rozdíl od přirozených čísel je v tom, že záporná čísla na číselné ose směřují opačným směrem, což poněkud mění postup sčítání. Je třeba vzít v úvahu vzájemný směr čísel, zde je možných několik případů: $\mathbb {N}$ $-n$ $\mathbb{Z}.$

Pokud jsou oba termíny kladné, pak: $c=a+b;$
Pokud je jeden z členů záporný, je nutné odečíst člen s menší hodnotou modulu od členu s větší hodnotou modulu a před výsledné číslo umístit znaménko členu, jehož modul je větší: $c=-a+b=b+(-a)=ba;$
Pokud jsou oba členy záporné, pak: [58] . $c=(-a)+(-b)=-(|a|+|b|)$

Další konstrukce množiny celých čísel je založena na Grothendieckových grupách . Hlavní myšlenkou je, že každé celé číslo může být reprezentováno (více než jedním způsobem) jako rozdíl dvou přirozených čísel, takže můžeme definovat celé číslo jako rozdíl dvou přirozených čísel. Potom je sčítání definováno takto:

Nechť existují dvě celá čísla a − b a c − d , kde a , b , c a d jsou přirozená čísla, pak ( a − b ) + ( c − d ) = ( a + c ) − ( b + d ) [ 59] .

Racionální čísla

Množina racionálních čísel se označuje (z anglického kvocientu „soukromá“) a lze ji zapsat v tomto tvaru: $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}=\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in {\mathbb {Z}},n\in {\mathbb {N}}\right\}.$

Chcete-li sečíst racionální čísla ve formě obyčejných (nebo jednoduchých) zlomků ve tvaru: , měla by být převedena (přenesena) na společného (identického) jmenovatele . Vezměme například součin jmenovatelů, zatímco čitatele vynásobíme odpovídajícími jmenovateli. Poté přidejte výsledné čitatele a součin jmenovatelů se stane společným. $\pm {\frac {m}{n}}$

Jsou-li dána dvě racionální čísla a taková, že: (neredukovatelné zlomky), pak: $A$ $b$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_ {a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$

c=a+b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a }\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}+{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}} ={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.

[60]

Nebo můžete najít nejmenší společný násobek (LCM) jmenovatelů. Postup:

Najděte nejmenší společný násobek jmenovatelů: . $M=[n_{a},n_{b}]$
Vynásobte čitatele a jmenovatele prvního zlomku číslem . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a))))$
Vynásobte čitatele a jmenovatele druhého zlomku číslem . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b))))$

Poté jsou jmenovatelé obou zlomků stejní (rovní se ). V řadě jednoduchých případů to zjednodušuje výpočty, ale v případě velkých čísel se výpočty výrazně zkomplikují. Můžete vzít jako jakýkoli jiný společný násobek. $M$ $M$

Příklad doplnění:

{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}+{\frac {3\cdot 1 }{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10+3}{15}}={\frac {13} {patnáct}}.

Pokud jsou jmenovatelé obou zlomků stejní, pak:

{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}.

Pokud jsou jmenovatelé násobky libovolného čísla, převedeme pouze jeden zlomek:

{\frac {3}{8}}+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}+{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2 }}={\frac {3+1\cdot 2}{8}}={\frac {5}{8}}.

Aritmetická operace "sčítání" nad racionálními čísly odkazuje na uzavřené operace. Komutativnost a asociativita sčítání racionálních čísel je důsledkem zákonů celočíselné aritmetiky [61] . Přesnější a obecnější definici naleznete v článku pole zlomků .

Fyzikální veličiny se sčítají podobným způsobem: vyjadřují se v běžných měrných jednotkách [62] . Chcete-li například přidat 50 mililitrů a 1,5 litru, musíte převést mililitry na litry a uvést zlomky na společného jmenovatele: litry. ${\frac {50}{1000}}+{\frac {1500}{1000}}={\frac {1550}{1000}}=1{,}55$

Reálná čísla

Aritmetické operace na reálných číslech , reprezentovatelné jako nekonečné desetinné zlomky, jsou definovány jako spojité pokračování [63] odpovídajících operací na racionálních číslech.

Jsou dána dvě reálná čísla, která mohou být reprezentována jako nekonečná desetinná místa :

{\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\))

{\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\))

definované základními posloupnostmi racionálních čísel (splňující Cauchyho podmínku ), označenými jako: a , pak jejich součet je číslo definované součtem posloupností a : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]+[b_{n}]=[a_{n}+b_{n}]

;

reálné číslo , splňuje následující podmínku: $\gamma =\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Šipka doprava (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')\Šipka doprava (a'+b'\leqslant \gamma \leqslant a''+b'' )

Tedy součet dvou reálných čísel a je takové reálné číslo , které je obsaženo mezi všemi součty tvaru na jedné straně a všemi součty tvaru na straně druhé [64] . $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $a'+b'$ $a''+b''$

V praxi je pro sečtení dvou čísel a nutné je s požadovanou přesností nahradit přibližnými racionálními čísly a . Pro přibližnou hodnotu součtu čísel vezměte součet zadaných racionálních čísel . Je přitom jedno, z jaké strany (nedostatkem nebo nadbytkem) se převzatá racionální čísla aproximují a . Sčítání se provádí podle algoritmu bitového sčítání. $\alpha$ $\beta$ $A$ $b$ $\alpha +\beta$ $a+b$ $\alpha$ $\beta$

Při sčítání přibližných čísel se jejich absolutní chyby sčítají , absolutní chyba čísla je rovna polovině poslední číslice tohoto čísla. Relativní chyba součtu je mezi největší a nejmenší hodnotou relativních chyb výrazů; v praxi se bere největší hodnota . Získaný výsledek se zaokrouhlí nahoru na první správnou platnou číslici, platná číslice přibližného čísla je správná, pokud absolutní chyba čísla nepřesahuje polovinu jednotky číslice odpovídající této číslici. $\Delta (a+b)=\Delta a+\Delta b$ $\delta (a+b)=max(\delta a,\delta b)$

Příklad sčítání , až na 3 desetinná místa: $\gamma =\pi +e$

Tato čísla zaokrouhlíme na 4 desetinné místo (pro zlepšení přesnosti výpočtů);
Dostáváme: ; $\pi \cca 3,1416,\quad e\cca 2,7183$
Přidejte kousek po kousku: ; $\gamma =\pi +e\cca 3,1416+2,7183\cca 5,8599$
Zaokrouhlování na 3. desetinné místo: . $\gamma \cca 5,860$

Rozvrh

Na množině reálných čísel má graf sčítací funkce tvar roviny procházející počátkem souřadnic a skloněné k osám o 45° úhlových stupňů . Od , pak pro tyto sady budou hodnoty sčítací funkce patřit do této roviny. [65] $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Komplexní čísla

Komplexní čísla se sčítají sčítáním reálné a imaginární části [66] . Znamená to, že:

c+fi=(a+di)+(b+ei)=(a+b)+(d+e)i.\

Kde:, je imaginární jednotka Pomocí znázornění komplexních čísel jako bodů v komplexní rovině můžeme dát sčítání komplexních čísel následující geometrickou interpretaci : součet komplexních čísel a , reprezentovaný body v komplexní rovině, je bod Vytvořeno sestrojením rovnoběžníku , jehož tři vrcholy jsou umístěny v bodech O , A a B. Nebo můžeme říci, že C je bod takový, že trojúhelníky OAB a CBA jsou shodné . $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$ $i$ $a+di$ $b+ei$

Podobně pro hyperkomplexní čísla (komplexní čísla n-té dimenze): [67] $A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\tečky +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\tečky +b_{n}i_{n};$ $C=A+B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\tečky +a_{n}i_{n})+(b_{1}1+b_{2}i_ {2}+\tečky +b_{n}i_{n})=$ $=(a_{1}+b_{1})1+(a_{2}+b_{2})i_{2}+\tečky +(a_{n}+b_{n})i_{n }=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\tečky +c_{n}i_{n}.$

Přidání libovolných čísel

Při sčítání čísel patřících do různých množin je nutné (pokud je to možné) reprezentovat množinu s menší mocninou jako podmnožinu množiny s větší mocninou, nebo najít „nejméně společnou množinu“. Pokud například potřebujete sečíst přirozené číslo s racionálním , pak s využitím skutečnosti, že přirozená čísla jsou podmnožinou racionálních, reprezentujeme číslo jako racionální a sečteme dvě racionální čísla . Podobně pomocí toho, že: , můžete k sobě sčítat čísla z různých sad. Vrátíme-li se k příkladu jablka, využijme toho, že množina jablek a množina hrušek jsou podmnožinami množiny ovoce: , a tedy můžeme sečíst 3 jablka a 2 hrušky, které je reprezentují jako podmnožiny množiny ovoce: ovoce_jablko ovoce_hrušky ovoce. $3$ $4.56$ $3$ $3.00$ $3,00+4,56=7,56$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$ $\{{\mbox{apple}}\}\subset \{{\text{apples}}\}\subset \{{\text{fruit}}\}~~~{\text{end}} ~~~\{{\text{hruška}}\}\subset \{{\text{hrušky}}\}\subset \{{\text{ovoce}}\}$ $3$ $+2$ ${\displaystyle=5}$

Zobecnění

Existuje mnoho binárních operací, které lze považovat za zobecnění sčítání reálných čísel. Takovéto zobecněné operace jsou hlavním předmětem studia obecné algebry , vyskytují se také v teorii množin a teorii kategorií .

Sčítání v abstraktní algebře

Přidání vektoru

Vektorový prostor je algebraická struktura, ve které lze sečíst libovolné dva vektory a kterýkoli vektor lze vynásobit číslem. Jednoduchý příklad vektorového prostoru je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel; uspořádaná dvojice je vektor začínající v bodě v euklidovské rovině a končící v bodě (a všechny k němu kodirectional ). Součet dvou vektorů se získá sečtením jejich příslušných souřadnic: . Tato operace přidání je centrální pro klasickou mechaniku , ve které jsou vektory považovány za analogy sil . $(a,b)$ $(0,0)$ $(a,b)$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Sčítání matice

Sčítání matic je definováno pro dvě matice stejné velikosti. Součet dvou matic m × n A a B (vyslovováno „m krát n“), zapsaných jako A + B , je matice m × n získaná sečtením odpovídajících prvků [68] [69] :

{\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_ {22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{ \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_ {12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}} \\\end{aligned}}

Například:

{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+ 0 \\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}

Aritmetika zbytku

Množina zbytků z dělení 12 se skládá z dvanácti prvků; tato množina zdědí operaci sčítání celých čísel. Sada zbytků modulo 2 má pouze dva prvky; operace sčítání, kterou zdědí, je ve výrokové logice známá jako operace „ exkluzivní nebo “. V geometrii je součet dvou úhlových mír často definován jako součet reálných čísel modulo 2π. Taková definice odpovídá operaci sčítání na kružnici , která zase zobecňuje operaci sčítání na vícerozměrném torusu .

Obecný dodatek

V obecné teorii abstraktní algebry lze operaci „sčítání“ nazvat jakoukoli asociativní a komutativní operací. Hlavní algebraické systémy s takovými operacemi sčítání zahrnují komutativní monoidy a abelovské grupy .

Doplnění v teorii množin a teorii kategorií

Zobecněním sčítání přirozených čísel je sčítání řadových čísel a kardinálních čísel v teorii množin. Tyto operace jsou dvě různá zobecnění sčítání přirozených čísel k transfinitnímu případu . Na rozdíl od většiny typů operací sčítání není pořadové sčítání komutativní. Sčítání hlavních čísel je však komutativní operace úzce související s disjunktivní sjednocovací operací .

V teorii kategorií je disjunktní spojení považováno za speciální případ operace součinu a obecné součiny jsou možná nejabstraktnější ze všech zobecnění operace sčítání. Některé vedlejší produkty, jako je přímý součet a klínový součet , jsou pojmenovány tak, aby naznačovaly jejich vztah k operaci sčítání.

Operace sčítání

Sčítání, stejně jako odčítání, násobení a dělení, je považováno za jednu ze základních operací a používá se v elementární aritmetice.

Aritmetika

Odčítání lze chápat jako speciální případ operace sčítání, totiž jako sčítání opačného čísla . Samotné odčítání je druh inverzní operace k sčítání, to znamená, že sčítání x a odečítání x jsou vzájemně inverzní funkce .

Na množině čísel, na kterých je definována operace sčítání, není vždy možné definovat operaci odčítání; jednoduchým příkladem je množina přirozených čísel. Na druhé straně operace odčítání jednoznačně určuje operaci sčítání a aditivní jednotky; z tohoto důvodu lze aditivní skupinu definovat jako množinu, která je uzavřena operací odečítání [70] .

Násobení lze chápat jako sčítání několikrát opakované . Jestliže se člen x objeví v součtu nkrát , pak se tento součet rovná součinu n a x . Pokud n není přirozené číslo , součin může dávat smysl; například vynásobením -1 získáte opačné číslo .

Sčítání a násobení reálných nebo komplexních čísel lze zaměnit pomocí exponenciální funkce :

e a + b = e a e b [71] .

Tato identita umožňuje násobení pomocí tabulek logaritmů a ručního sčítání; umožňuje také násobení pomocí logaritmického pravítka . Tento vzorec je také dobrou aproximací prvního řádu v širokém kontextu Lieových grup , kde dává do souvislosti násobení infinitezimálních prvků Lieovy grupy se sčítáním vektorů v odpovídající Lieově algebře [72] .

Násobení má ještě více zobecnění než sčítání [73] . Obecně jsou operace násobení vždy distributivní s ohledem na sčítání. Tento požadavek je zakotven v definici prstenu . V některých případech, jako jsou celá čísla, je distributivita násobení s ohledem na sčítání a existence multiplikativní identity dostatečná k jednoznačnému definování operace násobení. Distributivní vlastnost také charakterizuje sčítání; rozšířením závorek v součinu (1 + 1)( a + b ) dvěma způsoby dojdeme k závěru, že sčítání musí být komutativní. Z tohoto důvodu je adice v kruhu vždy komutativní [74] .

Dělení je aritmetická operace vzdáleně související se sčítáním. Protože a / b = a ( b −1 ), je dělení správně distributivní s ohledem na sčítání: ( a + b ) / c = a / c + b / c [75] . Nicméně dělení není ponecháno distributivní s ohledem na sčítání; 1/ (2 + 2) se nerovná 1/2 + 1/2.

Objednávka

Operace maxima „max ( a , b )“ je binární operace podobná sčítání. Ve skutečnosti, pokud dvě nezáporná čísla a a b mají různé řády , pak se jejich součet přibližně rovná jejich maximu. Tato aproximace je extrémně užitečná v aplikacích matematiky, jako je zkrácení Taylorovy řady . Tato operace však vede k neustálým potížím v numerické analýze , protože operace maximalizace není vratná. Je-li b mnohem větší než a , pak obvyklý výpočet ( a + b ) − b může vést k nahromadění nepřijatelné zaokrouhlovací chyby , případně k nulovému výsledku. Viz také podtečení .

Tato aproximace se stává přesnou při přechodu na nekonečnou mez[ specifikovat ] ; jestliže některé z čísel aab je kardinální číslo , pak je jejich kardinální součet přesně roven většímu z těchto dvou [ 77] . Operace odčítání tedy není definována pro množiny nekonečné mohutnosti [78] .

Hledání maxima je komutativní a asociativní operace, stejně jako sčítání. Navíc, protože sčítání zachovává uspořádání reálných čísel, je sčítání distributivní vzhledem k maximalizační funkci stejným způsobem, jako je násobení s ohledem na sčítání:

a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ).

Z těchto důvodů je v tropické geometrii násobení nahrazeno sčítáním a sčítání je nahrazeno nalezením maxima. V této souvislosti se sčítání nazývá „tropické násobení“, nalezení maxima se nazývá „tropické sčítání“ a tropická „aditivní jednotka“ se nazývá záporné nekonečno [79] . Někteří autoři raději nahrazují sčítání minimalizací; v tomto případě je aditivní jednotkou kladné nekonečno [80] .

Kombinací těchto pozorování dohromady tropické sčítání aproximuje běžné sčítání pomocí logaritmu:

log ( a + b ) ≈ max ( log a , log b ),

který se stává přesnějším se zvyšujícím se základem logaritmu [81] . Aproximace může být přesná, pokud vybereme konstantu h , pojmenovanou analogicky s Planckovou konstantou v kvantové mechanice [82] , a vezmeme „klasický limit“ , při kterém h má tendenci k nule:

\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).

V tomto smyslu je operace hledání maxima dekvantizací sčítání [83] .

Další metody přidávání

Zvýšení nebo použití funkce následování znamená přičtení 1 k číslu.

Sumace je sčítání libovolně velkého počtu čísel, obvykle více než dvou. Konkrétními případy tohoto pojetí jsou součet jednoho čísla (výsledek takového sčítání je roven číslu samotnému) a také prázdný součet rovný nule [84] . Nekonečná sumace je netriviální procedura známá jako hledání součtu řady [85] .

Sečtení funkce identity nad konečnou množinou dává stejný výsledek jako sčítání počtu prvků této množiny.

Integrace je jakýmsi „součtem“ nad kontinuem , přesněji a obecněji, nad hladkým rozdělovačem . Integrace přes sadu nulové dimenze se redukuje na sumaci.

Lineární kombinace kombinují násobení a sčítání; to jsou součty, ve kterých má každý člen faktor, obvykle reálné nebo komplexní číslo . Lineární kombinace jsou zvláště užitečné v situacích, kdy by jednoduché sčítání porušilo nějaké normalizační pravidlo, jako je míchání strategií v teorii her nebo stavy superpozice v kvantové mechanice .

Konvoluce se používá k přidání dvou nezávislých náhodných proměnných daných distribučních funkcí . Standardní definice konvoluce používá integraci, odečítání a násobení. Obecně je vhodné chápat konvoluci jako "sčítání domény" a sčítání vektoru jako "sčítání rozsahu".

Viz také

Poznámky

↑ Enderton, 1977 , s. 138: „…vyberte dvě sady K a L s mocninou K = 2 a mocninou L = 3. Sady prstů jsou vhodné; v učebnicích nejraději používají sady jablek.
↑ Rudnitskaya, 2004 , str. 110.
↑ Provozní řád, 2012 .
↑ Číselné soustavy, 2006 , str. 3.
↑ Devine a kol., 1991 , str. 263.
↑ Mazur, 2014 , str. 161.
↑ Slovník ruského jazyka, 1999 , s. 130.
↑ Kajori, 1928 .
↑ Oxfordský anglický slovník, 2005 .
↑ Viro, 2012 , str. 5.
↑ Kilpatrick, 2001 : „Například palce lze rozdělit na části, které je obtížné odlišit od celých palců, kromě toho, že se zdají kratší; ale rozdělení na části bude pro kočky bolestivé a tato akce vážně změní jejich povahu.
↑ Mosley, 2001 , str. osm.
↑ Li Ya., 2013 , str. 204.
↑ Tyto vlastnosti se tedy nazývají v učebnicích pro základní ročníky
↑ Kaplan, 1999 , pp. 69-71.
↑ Vlastnosti sčítání, 2016, Vlastnosti sčítání, násobení, odčítání a dělení celých čísel , Součet s opačným číslem, str. jeden.
↑ Zelvensky, [nar. g.] , str. osmnáct.
↑ Černá skříňka je termín používaný k označení systému, jehož vnitřní struktura a mechanismus fungování jsou v rámci daného úkolu velmi složité, neznámé nebo nedůležité. "Metoda černé skříňky" je metoda pro studium takových systémů, kdy se namísto vlastností a vztahů jednotlivých částí systému studuje reakce systému jako celku na měnící se podmínky.
↑ Ashby, 1959, Úvod do kybernetiky , s. 127-169.
↑ Zubareva, 2013 , str. 195.
↑ Algoritmus sčítání , str. jeden.
↑ Wynn, 1998 , str. 5.
↑ Wynn, 1998 , str. patnáct.
↑ Wynn, 1998 , str. 17.
↑ Wynn, 1998 , str. 19.
↑ Sloni jsou dost chytří na to, aby kreslili tvary, 2008 .
↑ Smith F., 2002 , str. 130.
↑ Carpenter et al., 2014 .
↑ 1 2 Henry Valerie D., 2008 , pp. 153-183.
↑ Učení matematiky na základní škole v celých číslech, 2014 , pp. 1-8.
↑ Learning Sequence, 2002 , pp. 1-18.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fosnot a Dolk, 2001 , str. 99.
↑ Wingard-Nelson R., 2014 , s. 21.
↑ Dale, 2008 , str. 155.
↑ Botman, 1837 , str. 31.
↑ Treit a Rogers, 1960 , pp. 41-49.
↑ Georges, 2001 , str. jedenáct.
↑ Margun, 1994 , str. 48.
↑ Tanon, 1963 , str. 62.
↑ Podívejte se na záznam na Pascalově sčítacím stroji pro konkurenční návrhy .
↑ Flynn a Overman, 2001 , str. 2-8.
↑ Flynn a Overman, 2001 , str. 1-9.
↑ Sang-Su Yo, 2010 , str. 194.
↑ Karpinski, 1925 , pp. 102-103.
↑ Horovets a Hill, 2009 , s. 679.
↑ Blotch, 2006 , str. jeden.
↑ Enderton, 1977 , pp. 4-5.
↑ Posloupnost učení, 2002 , str. čtyři.
↑ Baez, 2000 , str. 37: "Je zřejmé, že je snazší si představit polovinu jablka než negativní jablko!"
↑ číslování , Teoretické základy pro zavedení nezáporných celých čísel, str. 7.
↑ Istomina, 2009 , str. 71.
↑ Číselné soustavy, 2006 , str. 3.
↑ Enderton, 1977 , s. 79.
↑ Bergman, 2015 , str. 100: Viz v Bergmanově knize verze použitelná pro jakýkoli poset s sestupným řetězcem stavů .".
↑ Enderton, 1977 , s. 79: "Ale my potřebujeme jednu binární operaci +, ne všechny tyto malé funkce na jednom místě.".
↑ Ferrius, 2013 , str. 223.
↑ Vygodsky, 2003 .
↑ Barsukov, 1966 , s. 25.
↑ Enderton, 1977 , s. 92.
↑ Gusev, 1988 , s. dvacet.
↑ Enderton, 1977 , s. 104.
↑ Fierro, 2012 , str. 87.
↑ Protože vztah lineárního řádu již byl zaveden na množině reálných čísel, můžeme definovat topologii reálné čáry: jako otevřené množiny bereme všechny možné svazy intervalů tvaru $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , str. 46.
↑ Graf byl vytvořen programem "3D Grapher Version 1.2", www.romanlab.com. Vstupní argumenty: x=a, y=b, z=a+b
↑ Conway, 1986 , str. 107.
↑ Aleksandrov, 1956 , str. 304.
↑ Lipshutz, 2001 , str. 201.
↑ Riley, 2006 , str. 253.
↑ Dummit and Foote, 1999 , s. 48.
↑ Rudin, 1976 , s. 178.
↑ Lee J., 2013 , str. 526.
↑ Linderholm, 1972 , s. 49.
↑ Dummit and Foote, 1999 , s. 224: "Aby to platilo, je nutné, aby sčítání bylo skupinovou operací a aby existoval neutrální prvek s ohledem na násobení."
↑ Loday, 2002 , str. 15: „Příklad levé a pravé distributivity viz Lodayův článek, zejména na str. 15. patnáct".
↑ Viro, 2012 , str. 2.
↑ Enderton, 1977 : "Enderton nazývá toto prohlášení 'Absorpční zákon aritmetiky kardinálních čísel'"; záleží na srovnatelnosti kardinálních čísel a tedy na axiomu volby .“.
↑ Enderton, 1977 , s. 164.
↑ Mikhalkin, 2009 , str. jeden.
↑ Akian a kol., 2006 , str. čtyři.
↑ Mikhalkin, 2009 , str. 2.
↑ Litvínov, 2005 , str. 3.
↑ Viro, 2012 , str. čtyři.
↑ Martin, 2011 , str. 49.
↑ Stewart, 2010 , str. osm.

Literatura

v Rusku

Barsukov, A. N. Algebra: Učebnice pro ročníky VI-VIII / Ed. S. I. Novosyolova. - M . : Vzdělávání, 1966. - 296 s.
Vygodsky, M. Ya. Příručka elementární matematiky / M. Ya. Vygodsky. — M .: Astrel: AST, 2003. — 509 s. - ISBN 5-17-009554-6 (Nakladatelství LLC "AST"). - ISBN 5-271-02551-9 (Nakladatelství OOO "Astrel").
Gusev, V. A. Matematika: Ref. materiály: Kniha. pro studenty / V. A. Gusev, A. G. Mordkovich. - M . : Vzdělávání, 1988. - 476 s. — ISBN 5-09-001292-X .
Zelvensky, I. G. Skupiny, kroužky, obory: Metodické. instrukce k disciplíně "Geometrie a algebra" / I. G. Zelvensky. - Petrohrad. : SPbGETU, [b. G.]. — 30 s.
Zubareva, I. I. Matematika: 5. ročník: učebnice. pro studenty všeobecného vzdělání. instituce / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 14. vydání, Rev. a doplňkové — M .: Mnemozina, 2013. — 270 s. - ISBN 978-5-346-02573-3 .
Matematika, její obsah, metody a význam: ve 3 svazcích / [Ed. Collegium: člen korespondent Akademie věd SSSR A. D. Alexandrov a další]; Akad. vědy SSSR. Rohož. in-t im. V. A. Šteklová. - M . : Nakladatelství Akad. vědy SSSR, 1956. - T. 3. - 336 s.
Ilyin, V. A. Matematická analýza: Počáteční kurz / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. H. Sendov. - 2. vyd., přel. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 1985. - 662 s.
Istomina, N. B. Metody výuky matematiky na základní škole: Vývojové vzdělávání / N. B. Istomina. - 2. vyd. - Smolensk: Sdružení XXI století, 2009. - 288 s. — ISBN 978-5-89308-699-7 .
Matematický encyklopedický slovník / Ch. vyd. Yu V. Prochorov. - M. : Sovětská encyklopedie, 1988. - 847 s. — ISBN 5-85270-278-1 .
Rudnitskaya, V. N. Matematika: 1. třída: učebnice. pro studenty všeobecného vzdělání. institucí. Druhá polovina roku / V. N. Rudnitskaya. - 2. vyd., přepracováno. - M. : Ventana-Graf, 2004. - 111 s. - ISBN 5-88717-322-X (v překladu).
Slovník ruského jazyka : ve 4 svazcích / RAS, Jazykovědný ústav. výzkum; Ed. A. P. Evgenieva. - 4. vyd., vymazáno. - M .: Rus. lang. : Polygraphresources, 1999. - T. 4. - 797 s. - ISBN 5-200-02672-5 ("Ruský jazyk"). - ISBN 5-87548-048-3 (Polygrafické zdroje). - ISBN 5-200-02676-8 ("Ruský jazyk") (sv. 4).

v angličtině

Akian, M. Min-plus metody v teorii poruch vlastních čísel a zobecněná Lidskii-Vishikova-Ljusternikova věta / M. Akian, R. Bapat, S. Gaubert. - 2006. - 16. února. - arXiv : math.SP/0402090v3 .
Austein, R. DATE-86, or The Ghost of Tinkles Past // The Risks Digest: journal. - 1987. - Sv. 4, č. 45.
Baez, J. Mathematics Unlimited - 2001 a dále: Od konečných množin k Feynmanovým diagramům / J. Baez, J. Dolan. - Springer Berlin Heidelberg, 2000. - 1236 s. — ISBN 3-540-66913-2 .
Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Rozvoj aritmetických pojmů a dovedností = The Development of Arithmetic Concepts and Skills. - Routledge, 2013. - 520 s. — ISBN 0-8058-3155-X .
Begle, Edward. Matematika na základní škole = The Mathematics of the Elementary School. - McGraw-Hill, 1975. - 453 s. — ISBN 0-07-004325-6 .
Bergman, George. Pozvánka do obecné algebry a univerzálních konstrukcí. - 2. vyd. - Springer, 2015. - 572 s. — ISBN 0-9655211-4-1 .
Joshua Bloch. Extra, Extra – Přečtěte si o tom vše: Téměř všechna binární vyhledávání a slučování jsou nefunkční // Oficiální blog Google Research Blog: Journal . — 2006.
Bogomolnyj, Alexandr. Co je sčítání? (anglicky) = Co je sčítání?.
Bates Bothman. Obecná školní aritmetika = Společná školní aritmetika. - Prentice-Hall, 1837. - 270 s.
Bunt, Lucas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Historické kořeny elementární matematiky. - Prentice-Hall, 2012. - 336 s. — ISBN 0-13-389015-5 .
Burrille, Claude. Základy reálných čísel = Základy reálných čísel. - McGraw-Hill, 1967. - 163 s.
Beckmann, S. Dvacátá třetí studie ICMI: primární matematická studie o celých číslech: časopis . — International Journal of STEM Education, 2014.
Van de Walle, John. Matematika základních a středních škol: výuka vývojově. - 5. vyd. - Pearson Education, 2015. - 576 s. — ISBN 0-205-38689-X .
Weaver, J. Fred. Sčítání a odčítání: Kognitivní perspektiva. Interpretace počtu operací a symbolické reprezentace sčítání a odčítání = Sčítání a odčítání: Kognitivní perspektiva. Interpretace číselných operací a symbolické reprezentace sčítání a odčítání. - Taylor & Francis, 2012. - S. 8. - ISBN 0-89859-171-6 .
Williams, Michael. Historie výpočetní techniky = Historie výpočetní techniky. - Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-389917-9 .
Rebecca Wingard-Nelson. Desetinná čísla a zlomky: Je to snadné = Desetinná čísla a zlomky: Je to snadné. - Enslow Publishers, 2014. - 64 s. — ISBN 0766042529 .
Wynne, Karen. Rozvoj matematických dovedností = The Development of Mathematical Skills. - Taylor & Francis, 1998. - 338 s. — ISBN 0-86377-816-X .
Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastia, ed. Evropský matematický kongres: Barcelona, 10.–14. července 2000, svazek I = Evropský matematický kongres: Barcelona, 10.–14. července 2000, svazek I. Dekvantizace reálné algebraické geometrie na logaritmickém papíru. - Birkhäuser, 2012. - T. 1. - 582 s. — ISBN 3-7643-6417-3 .
Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Základní fakta pro první stupeň: Vyšetřování výuky a učení zrychleného standardu zapamatování s vysokou poptávkou. — Heinemann, 2008.
Dummit, D.; Foote, R. Abstraktní algebra. - Wiley, 1999. - 912 s.
Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Matematika: Explorations & Applications = Matematika: Explorations & Applications. — Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1 .
Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Základy elektronických digitálních systémů = Electronic Digital System Fundamentals. - The Fairmont Press, 2008. - 340 s.
Oddělení armády (1961) Armádní technický manuál TM 11-684. Principy a aplikace matematiky pro komunikační elektroniku. - Velitelství, oddělení armády, 1992. - S. sekce 5.1. — 268 s.
Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Elementární matematika pro učitele. — Wiley, 1991.
Jackson, Albert. Analog Computing = Analogový výpočet. — McGraw-Hill, 1960.
Johnson, Paul. Od tyčí a kamenů: Osobní dobrodružství v matematice. - Science Research Associates, 1975. - 552 s. — ISBN 0-574-19115-1 .
Ifrah, Georgesi. Univerzální historie výpočetní techniky: od počítadla po kvantový počítač. - John Wiley, 2001. - 410 s.
Joshi, Kapil D. Základy diskrétní matematiky. - New Age International, 1989. - 748 s. - ISBN 978-0-470-21152-6 .
Dunham, William. Matematický vesmír = The Mathematical Universe. - Wiley & Sons, 1994. - 314 s. - ISBN 0-471-53656-3 .
Kaplan, Robert. Co je nic: The Natural History of Zero = The Nothing That Is: A Natural History of Zero (anglicky) . - Oxford University Press, 1999. - 240 s. — ISBN 0-19-512842-7 .
Florian Cajori. Historie matematických notací = Historie matematických notací. - The Open Court Company, 1928. - 818 s.
Carpenter, Thomas; Fennema, Alžběta; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empsone, Susan. Dětská matematika = Dětská matematika: Kognitivně řízená výuka. - Heinemann, 2014. - 218 s. — ISBN 0325052875 .
Karpinski, Louis. Historie aritmetiky = Historie aritmetiky. - Russell & Russell, 1925. - 200 s.
Kilpatrick D. Adding : Helping Children Learn Matematics = Adding It Up: Helping Children Learn Matematics. - National Academy Press , 2001. - 454 s. — ISBN 0-309-06995-5 .
Conway, John B. Funkce jedné komplexní proměnné I. - Springer Science, 1986. - 322 s. — ISBN 0-387-90328-3 .
Lee, Johne. Úvod do Smooth Manifolds. - Springer, 2013. - 631 s. — ISBN 0-387-95448-1 .
Li, Y., & Lappan, G. Učební plán matematiky ve školním vzdělávání. - Springer, 2013. - 663 s. — ISBN 9400775601 .
Linderholm, Carl. Matematika ztížená = ztížená matematika. - Světová hospoda, 1972. - 207 s. — ISBN 0-7234-0415-1 .
Lipschutz, S., & Lipson, M. Schaumův Nástin teorie a problémů lineární algebry. - Erlangga, 2001. - 424 s. — ISBN 9797815714 .
Litvínov, Grigorij; Maslov, Viktor; Sobolevskij, Andrej. Idempotentní matematika a intervalová analýza = Idempotentní matematika a intervalová analýza. - American Mathematical Soc, 2005. - 370 s. — ISBN 0821835386 .
Jean-Louis Loday. Aritmetr (anglicky) = Arithmetree // Journal of Algebra: journal. - 2002. - 22. prosince ( č. 258 ). - doi : 10.1016/S0021-8693(02)00510-0 . - arXiv : math/0112034 .
Mazur, Josef. Osvětlující symboly: Krátká historie matematického zápisu a jeho skrytých schopností. - Princeton University Press, 2014. - 321 s. — ISBN 1400850118 .
Williams, Michael. Historie výpočetní techniky = Historie výpočetní techniky. - 2. - IEEE Computer Society Press, 1997. - 426 s. — ISBN 0-13-389917-9 .
Marguin, Jean. Historie počítacích strojů = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. - Hermann., 1994. - 206 s. - ISBN 978-2-7056-6166-3 .
Mikhalkin, Grigorij; Sanz-Sole, Marta, ed. Tropická geometrie a její aplikace = Tropická geometrie a její aplikace. - 2. vyd. - Madryn, Španělsko: Springer Science & Business Media, 2009. - 104 s. - ISBN 978-3-03719-022-7 .
Martin, John. Úvod do jazyků a teorie počítání = Úvod do jazyků a teorie počítání. - 3. - McGraw-Hill, 2011. - 436 s. — ISBN 0-07-232200-4 .
Mosley, F. Použití číselných řad u dětí ve věku 5-8 let. - Nelson Thornes, 2001. - 20 s. — ISBN 1874099952 .
Oxfordský anglický slovník = Oxfordský anglický slovník (angličtina) . — Oxford University Press, 2005.
Order of Operations (anglicky) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : journal. - 2012. Archivováno 2. listopadu 2012.
James Randerson. Sloni jsou dost chytří na to, aby kreslili postavy = Sloni mají hlavu pro postavy: deník . - Theguardian, 2008. - 21. srpna.
Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ Matematické metody pro fyziku a inženýrství: Komplexní průvodce. - Cambridge University Press, 2006. - 437 s. — ISBN 978-0-521-86153-3 .
Rudin, Walter. Základy matematické analýzy = Principy matematické analýzy. - 3. - McGraw-Hill, 1976. - 342 s. — ISBN 0-07-054235-X .
Yeo, Sang-Soo a kol., ed. Algoritmy a architektury pro paralelní zpracování. - Springer, 2010. - 574 s. — ISBN 3642131182 .
Smith, Karle. The Nature of Modern Mathematics = The Nature of Modern Mathematics. - 3. vyd. — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. - 620 s. — ISBN 0-8185-0352-1 .
Smith, Frank. Skleněná stěna: Proč se matematika může zdát obtížná. - Teachers College Press, 2002. - 163 s. — ISBN 0-8077-4242-2 .
Sparks, F.; Rees C. Přehled základní matematiky . - 4. - McGraw-Hill, 1979. - 543 s. — ISBN 0-07-059902-5 .
Stewarte, Jamesi. Calculus: Early Transcendentals = Calculus: Early Transcendentals. - 4. - Brooks / Cole, 2010. - 1344 s. - ISBN 0-534-36298-2 .
Taton, René. Výpočetní mechanika. Co já vím? = Le Calcul Mecanique. Que Sais-Je? n° 367 - Presses universitaires de France, 1963.
Truitt, T.; Rogers, A. Základy analogových počítačů. - John F. Rider, 1960. - 378 s.
Ferreiros, José. Labyrinty myšlení: Historie teorie množin a její role v moderní matematice. - Birkhäuser, 2013. - 440 s. - ISBN 0-8176-5749-5 .
R. Fierro. Matematika pro učitele ZŠ = Matematika pro učitele ZŠ. - Cengage Learning, 2012. - 976 s. — ISBN 0538493631 .
Flynn, M.; Oberman, S. Advanced Computer Arithmetic Design. - Wiley, 2001. - 325 s. - ISBN 0-471-41209-0 .
Fosnot, Catherine T.; Dolku, Maarten. Mladí matematici v práci: Konstrukce číselného smyslu, sčítání a odčítání. - Heinemann, 2001. - 193 s. — ISBN 0-325-00353-X .
Hempel, CG Filozofie Carla G. Hempela : studie vědy, vysvětlení a racionalita . - Oxford University Press, 2000. - 464 s. — ISBN 0195343875 .
Horowitz, P.; Hill, W. The Art of Electronics = The Art of Electronics. - 2. - Binom, 2009. - 704 s. - ISBN 0-521-37095-7 .
Schwartzman, Steven. Mathematical Words: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. - MAA, 1994. - 261 s. - ISBN 0-88385-511-9 .
Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Learning Sequence = A coherent curriculum: journal . — Americký pedagog, 2002.
Hrají: Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Sčítání a odčítání zlomků ve věku 5 - 8 let = Sčítání a odečítání zlomků, 5. - 8. ročník. - Carson-Dellosa, 2013. - 64 s. — ISBN 162223006X .
Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves Foss. Dokazování logických vět vyššího řádu a jejich aplikace: sborník příspěvků z 8. mezinárodního festivalu = Prokazování logických vět vyššího řádu a jejich aplikace: sborník příspěvků z 8. mezinárodního workshopu. - Springer, 1995. - 400 s.
Enderton, Herbert. Elements of Set Theory = Elements of Set Theory. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 s. — ISBN 0-12-238440-7 .

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Skvělý norský Velký Rus Britannica (online) Granátové jablko
V bibliografických katalozích	BNF : 11976283t GND : 4296282-1 J9U : 987007292953205171 LCCN : sh85000817 NKC : ph898518