Speciální unitární skupina

Speciální unitární grupa je skupina unitárních matic daného řádu s determinantem rovným 1 a součinem matic jako grupové operace; pro matice je velikost označena . $n\krát n$ ${\mathrm {SU}} (n)$

Speciální unitární skupina je podskupina nečleněné skupiny sestávající ze všech nečleněných matric . ${\mathrm U} (n)$ $n\krát n$

Generátory

Pro skupinu jsou generátory známé jako Pauliho matice : ${\mathrm {SU}} (2)$

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

Pauliho matice pro jsou analogické s Gell-Mannovými maticemi : ${\mathrm {SU}} (3)$

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{{\sqrt {3)))){\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

Generátory pro jsou definovány pomocí vztahu: ${\mathrm {SU}} (3)$ $T$

T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}

Podléhají následujícím vztahům:

$\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{{c=1}}^{8}{f_{{abc}}T_{c}}$ , kde je strukturální konstanta , jejíž hodnoty se rovnají: $F$

f_{{123}}=1

f_{{147}}=f_{{165}}=f_{{246}}=f_{{257}}=f_{{345}}=f_{{376}}={\frac {1}{2 }}

f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}

;

Hermitovské maticové generátory pro , podobné Pauliho maticím a Gell-Mannovým maticím , mají tvar: ${\mathrm {SU}} (4)$

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{{\sqrt {3)))){\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix))$	$\lambda _{9}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{{10}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{11}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{12}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&i&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{{13}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{14}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{15}}={\frac {1}{{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}$

Tyto matice jsou ortogonální a také splňují výraz stopy :

Tr{(\lambda _{k}^{2})}=2;k=1..15

[[\lambda _{l},\lambda _{k}],\lambda _{j}]+[[\lambda _{k},\lambda _{j}],\lambda _{l}]+ [[\lambda _{j},\lambda _{l}],\lambda _{k}]=0;j<k<l;j,k,l=1..15

V tomto případě se přepínač vypočítá takto:

[\lambda _{j},\lambda _{k}]=2i\součet _{m}f_{{jkl}}\lambda _{l}

Tabulka strukturních konstant $f_{{jkl}}$

f_{{1,2,3}}=1

f_{{1,4,7}}=f_{{2,4,6}}=f_{{2,5,7}}=f_{{3,4,5}}=f_{{1,9 ,12}}=f_{{2,9,11}}=f_{{2,10,12}}=f_{{3,9,10}}=f_{{4,9,14}}=f_ {{5,10,14}}=f_{{6,11,14}}=f_{{7,11,13}}=f_{{7,12,14}}={\frac 12}

f_{{1,5,6}}=f_{{3,6,7}}=f_{{1,10,11}}=f_{{3,11,12}}=f_{{4,10 ,13}}=f_{{6,12,13}}=-{\frac 12}

f_{{4,5,8}}=f_{{6,7,8}}=f_{{8,9,10}}=f_{{8,11,12}}=f_{{9,10 ,15}}=f_{{11,12,15}}=f_{{13,14,15}}={\frac {{\sqrt {3}}}2}

f_{{8,13,14}}=-{\frac {{\sqrt {3}}}2}

Halzen, František; Martine, Alane. Kvarky a leptony: Úvodní kurz moderní částicové fyziky . - John Wiley & Sons , 1984. - ISBN 0-471-88741-2 .
Ziman J. Moderní kvantová teorie. — M.: Mir, 1971. — 288 s.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teorie grup a symetrií. koncové skupiny. Lieovy grupy a algebry. - M. : URSS, 2018. - 491 s.

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ skupiny Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace