Sinusová věta

Sinusová věta je věta , která stanoví vztah mezi délkami stran trojúhelníku a velikostí úhlů proti nim . Existují dvě verze věty; obvyklá sinusová věta :

Strany trojúhelníku jsou úměrné sinusům opačných úhlů.

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

a rozšířený sinusový teorém :

Pro libovolný trojúhelník

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,

kde , , jsou strany trojúhelníku, jsou úhly opačné k nim a je poloměr kružnice opsané trojúhelníku. $A$ $b$ $C$ $\alpha ,\beta ,\gama$ $R$

Důkazy

Důkaz obvyklé sinusové věty

Použijeme pouze definici výšky trojúhelníku, sníženého na stranu b , a sinus pro dva úhly: $h_b$

h_b=a \sin \gamma= c \sin \alpha

. Proto, , což mělo být prokázáno. Opakováním stejné úvahy pro další dvě strany trojúhelníku získáme konečnou verzi obvyklé sinusové věty. ∎

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}

Důkaz rozšířeného sinusového teorému

Důkaz

Stačí to dokázat

{\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.

Nakreslete průměr opsané kružnice. Podle vlastnosti úhlů vepsaných do kruhu je úhel pravý a úhel se rovná buď pokud body a leží na stejné straně přímky , nebo jinak. Od , v obou případech dostaneme $|BG|$ $GCB$ $CGB$ $\alpha$ $A$ $G$ $před naším letopočtem$ $\pi-\alpha$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$

a=2R\sin \alpha

Opakováním stejné úvahy pro další dvě strany trojúhelníku dostaneme:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.

∎ Důkaz pomocí vzorců pro nalezení oblasti trojúhelníku

Vezměme dva vzorce pro nalezení oblasti trojúhelníku a $S={\frac {abc}{4R))$ $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .$

${\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\ frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow { \begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}= \sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }} \\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta ))={\frac {c}{\sin \gamma )).$ ∎

Variace a zobecnění

V trojúhelníku leží větší strana proti většímu úhlu a větší úhel leží proti větší straně.

V simplexu

V_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}} }{V_{n-2}^{i,j}}}\cdot \sin {A_{i,j}},

kde je úhel mezi plochami a ; je obyčejná tvář a ; je objem simplexu. $A_{i,j}$ ${\displaystyle V_{n-1}^{i))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{j))$ ${\displaystyle V_{n-2}^{i,j))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{i))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{j))$ $V_{n}$

Historie

V první kapitole Almagestu (kolem roku 140 n. l.) je sinusová věta použita, ale není výslovně uvedena [1] .
Nejstarší důkaz sinusové věty v rovině, který se k nám dostal, je popsán v knize Nasira ad-Dina At-Tusiho „Pojednání o úplném čtyřúhelníku“ napsané v XIII. století [2] .
Sinusovou větu pro sférický trojúhelník dokázali matematici středověkého východu již v 10. století [3] . Al-Jayaniho dílo z 11. století „The Book of Unknown Arcs of the Sphere“ poskytlo obecný důkaz sinusového teorému o kouli [4] .

Variace a zobecnění

Sférická sinusová věta
Na Lobačevského rovině se zakřivením má sinusová věta následující podobu: $-jeden$ ${\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C }{\mathrm {sh} \,c}}.$

Poznámky

↑ Florian Cajori. Historie matematiky (anglicky) . — 5. vydání. - 1991. - S. 47.
↑ Berggren, J. Lennart. Matematika ve středověkém islámu // Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu : Zdrojová kniha . - Princeton University Press , 2007. - S. 518. - ISBN 9780691114859 .
↑ Sesiano pouze uvádí al-Wafa jako přispěvatele. Sesiano, Jacques (2000). "Islámská matematika", str. 137. — Strana 157, v Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Matematika napříč kulturami: Historie nezápadní matematiky , Springer , ISBN 1402002602
↑ Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani . Získáno 24. srpna 2011. Archivováno z originálu 29. května 2016. (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Litevský univerzál Britannica (online)

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní

Trigonometrie
Všeobecné	Přehled trigonometrie Příběh Používání Funkce Zvrátit Málo používané Generalizovaná trigonometrie
Adresář	Totožnosti Přesné konstanty tabulky jednotkový kruh
Zákony a věty	Sinusová věta Pythagorova věta Kosinová věta Věta tečny Kotangensová věta Řešení trojúhelníků
Matematická analýza	Trigonometrické substituce Integrály ( inverzní funkce ) Deriváty