Trigonometrické substituce

V matematice je goniometrická substituce nahrazením goniometrických funkcí jinými výrazy. V počtu je goniometrická substituce metodou pro výpočet integrálů. Navíc lze použít trigonometrické identity ke zjednodušení některých integrálů obsahujících radikální výraz [1] [2] . Stejně jako u jiných metod integrace substitucí může být při výpočtu určitého integrálu snazší plně odvodit primitivní prvek před aplikací limitů integrace.

Případ I: Integrály obsahující 2 − x 2

Nechte a použijte identitu . $x=a\sin \theta$ $1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta$

Příklady případu I

Příklad 1

V integrálu

\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2)))),

může být použito

x=a\sin \theta ,\quad dx=a\cos \theta \,d\theta ,\quad \theta =\arcsin {\frac {x}{a)).

Pak

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2))))&=\int {\frac {a\cos \theta \, d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \, d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\ theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int d\theta \\[6pt]&=\theta +C\\[6pt] &=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\end{aligned}}

Výše uvedený krok vyžaduje, aby a . Můžeme si vybrat jako hlavní kořen a zavést omezení pomocí funkce inverzní sinus . $a>0$ $\cos \theta >0$ $A$ $a^2$ $-\pi /2<\theta <\pi /2$

Pro určitý integrál musíte zjistit, jak se mění hranice integrace. Pokud se například změní z na , pak se změní z na , takže se změní z na . Pak $X$ $0$ $a/2$ $\sin \theta$ $0$ $1/2$ $\theta$ $0$ $\pi /6$

\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2))))=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6)).

Určitá opatrnost je vyžadována při výběru hranic. Protože to výše uvedená integrace vyžaduje , hodnota se může změnit pouze z na . Při zanedbání tohoto omezení by bylo možné zvolit přechod od do , což by ve skutečnosti vedlo k záporné hodnotě. $-\pi /2<\theta <\pi /2$ $\theta$ $0$ $\pi /6$ $\theta$ $\pi$ $5\pi /6$

Alternativně lze před aplikací okrajových podmínek plně vyhodnotit neurčité integrály. V tomto případě dává primitivní

\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2))))=\arcsin \left({\frac {x }{a}}\right){\Biggl |}_{0}^{a/2}=\arcsin \left({\frac {1}{2}}\right)-\arcsin(0)={ \frac {\pi }{6}}

jako předtím.

Příklad 2

Integrální

\int {\sqrt {a^{2}-x^{2))}\,dx,

lze hodnotit prezentací $x=a\sin \theta ,\,dx=a\cos \theta \,d\theta ,\,\theta =\arcsin {\frac {x}{a)),$

kde , tak že a přes rozsah arkussinus , tak že a . $a>0$ ${\sqrt {a^{2}}}=a$ $-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ $\cos \theta \geq 0$ ${\sqrt {\cos ^{2}\theta }}=\cos \theta$

Pak

{\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}-a^{2}\ sin ^{2}\theta }}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2} \theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(\cos ^{2}\theta )}}\ ,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\cos \theta )(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^ {2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \left({\frac {1+\cos 2\theta }{2} }\right)\,d\theta \\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\ theta \right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\theta +\sin \theta \cos \theta )+C\\[6pt]&={ \frac {a^{2}}{2}}\left(\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a}}{\sqrt {1-{\frac {x ^{2}}{a^{2}}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{ a))+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C.\end{aligned}}

U určitého integrálu se meze po provedení substituce mění a jsou určeny pomocí rovnice s hodnotami v rozsahu . Nebo můžete použít okrajové členy přímo na primitivní vzorec. $\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}$ $-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$

Například určitý integrál

\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2))}\,dx,

lze odhadnout nahrazením , odhady definovanými , a . $x=2\sin \theta ,\,dx=2\cos \theta \,d\theta$ $\theta =\arcsin {\frac {x}{2))$ $\arcsin(1/2)=\pi /6$ $\arcsin(-1/2)=-\pi /6$

Pak

{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2))}\,dx&=\int _{-\pi /6}^{\ pi /6}{\sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi / 6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\ int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[ 6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&=2\left[\theta +{\frac {1} {2}}\sin 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}=[2\theta +\sin 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi / 6}^{\pi /6}\\[6pt]&=\left({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-\left (-{\frac {\pi }{3}}+\sin \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)={\frac {2\pi }{3}} +{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

Na druhou stranu přímá aplikace okrajových členů na dříve získaný vzorec pro primitivní funkce dává

{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[{\frac {2^{2}} {2}}\arcsin {\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\right]_{- 1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\arcsin {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4-1}}\ right)-\left(2\arcsin \left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {-1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right) \\[6pt]&=\left(2\cdot {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)-\left(2\cdot \ vlevo(-{\frac {\pi }{6}}\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi } {3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}

jako předtím.

Případ II: Integrály obsahující 2 + x 2

Příklady případu II

Příklad 1

V integrálu

{\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2))))

můžeš psát

x=a\tan \theta ,\quad dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\quad \theta =\arctan {\frac {x}{a)),

tak se stane integrál

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \, d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \, d\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\ theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\[6pt]&={\frac { \theta }{a}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C,\end{aligned}}

za předpokladu . $a \neq 0$

U určitého integrálu se meze po provedení substituce mění a jsou určeny pomocí rovnice s hodnotami v rozsahu . Nebo můžete použít okrajové členy přímo na primitivní vzorec. $\theta =\arctan {\frac {x}{a))$ $-{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}$

Například určitý integrál

\int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2))}\,dx

lze odhadnout nahrazením , odhady definovanými , a . $x=\tan \theta ,\,dx=\sec ^{2}\theta \,d\theta$ $\theta =\arctan x$ $\arctan 0=0$ $\arctan 1=\pi /4$

Pak

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2))}&=4\int _{0}^{1 }{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2} \theta \,d\theta }{\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}d\theta \\[6pt]&= (4\theta ){\Bigg |}_{0}^{\pi /4}=4\left({\frac {\pi }{4))-0\right)=\pi .\end{aligned }}

Mezitím přímá aplikace hraničních členů na vzorec pro primitivní deriváty dává

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2))}\,dx&=4\int _{0}^{1} {\frac {dx}{1+x^{2}}}\\&=4\left[{\frac {1}{1}}\arctan {\frac {x}{1}}\right]_ {0}^{1}\\&=4(\arctan x){\Bigg |}_{0}^{1}\\&=4(\arctan 1-\arctan 0)\\&=4\ left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi ,\end{aligned}}

jako předtím.

Příklad 2

Integrální

\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,{dx}

lze hodnotit prezentací $x=a\tan \theta ,\,dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\,\theta =\arctan {\frac {x}{a)),$

kde , takže a přes rozsah arkus tangens , takže a . $a>0$ ${\sqrt {a^{2}}}=a$ $-{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ $\sec \theta >0$ ${\sqrt {\sec ^{2}\theta }}=\sec \theta$

Pak

{\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}+a^{2}\ tan ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2 }\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\sec \theta )(a\sec ^{2}\theta ) \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \sec ^{3}\theta \,d\theta .\\[6pt]\end{aligned}}

Krychlový sečnový integrál lze vypočítat pomocí integrace po částech . Jako výsledek

{\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \ theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\sqrt { 1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\cdot {\frac {x}{a}}+\ln \left|{\sqrt {1+{\frac { x^{2}}{a^{2}}}}}+{\frac {x}{a}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2 }}\left(x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {a^{2}+x ^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}

Případ III: Integrály obsahující x 2 − a 2

Nechat a používat identitu $x=a\sec\theta$ $\sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .$

Příklady případu III

Typ integrály

{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2))))

lze také vypočítat pomocí parciálních zlomků spíše než pomocí trigonometrických substitucí. Nicméně integrál

\int {\sqrt {x^{2}-a^{2))}\,dx

je to zakázáno. V tomto případě by vhodná náhrada byla:

x=a\sec \theta ,\,dx=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta ,\,\theta =\název operátora {arcsec} {\frac {x}{a)) ,

kde , tak a , za předpokladu , tak a . $a>0$ ${\sqrt {a^{2}}}=a$ $0\leq \theta <{\frac {\pi }{2))$ $x>0$ $\tan \theta \geq 0$ ${\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta$

Pak

{\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\ theta -a^{2))}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta - 1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec \theta )(\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\ ,d\theta .\end{aligned}}

Integrál funkce sečny můžete vypočítat vynásobením čitatele a jmenovatele a integrálu sečny v krychli částmi [3] . Jako výsledek $(\sec \theta +\tan \theta )$

{\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \ theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)-a^{2}\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C\\[6pt]&={\ frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta -\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a ^{2}}{2}}\left({\frac {x}{a}}\cdot {\sqrt ({\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}} -\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\sqrt ({\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\right|\right)+ C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-a^{2}\ln \left| {\frac {x+{\sqrt {x^{2}-a^{2)))){a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}

If , což se stane, když s daným rozsahem arcsekans , pak , což v tomto případě znamená . ${\frac {\pi }{2}}<\theta \leq \pi$ $x<0$ $\tan \theta \leq 0$ ${\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=-\tan \theta$

Substituce s výjimkou goniometrických funkcí

Substituce lze použít k odstranění goniometrických funkcí.

Například,

{\begin{aligned}\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2 }}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du&&u=\sin(x)\\[6pt]\int f(\sin( x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\mp {\sqrt {1-u^{2))))}f\left(\pm {\sqrt {1 -u^{2}}},u\right)\,du&&u=\cos(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int { \frac {2}{1+u^{2}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {1-u^{2}}{1 +u^{2}}}\right)\,du&&u=\tan \left({\tfrac {x}{2}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}

Poslední substituce je známá jako Weierstrassova substituce , která používá vzorce tečny polovičního úhlu .

Například,

{\begin{aligned}\int {\frac {4\cos x}{(1+\cos x)^{3))}\,dx&=\int {\frac {2}{1+u ^{2))}{\frac {4\left({\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac { 1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du=\int (1-u^{2})(1+u^{2} )\,du\\&=\int (1-u^{4})\,du=u-{\frac {u^{5}}{5}}+C=\tan {\frac {x} {2}}-{\frac {1}{5}}\tan ^{5}{\frac {x}{2}}+C.\end{aligned}}

Hyperbolická substituce

Pro zjednodušení integrálů lze také použít substituce hyperbolických funkcí [4] .

V integrálu lze provést substituci , $\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))\,dx$ $x=a\sinh {u}$ $dx=a\cosh u\,du.$

Poté pomocí identit a $\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$ $\sinh ^{-1}{x}=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1))),$

dostupný

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))\,dx&=\int {\frac {a\cosh u} {\sqrt {a^{2}+a^{2}\sinh ^{2}u}}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a {\sqrt {1+\sinh ^{2}{u))))}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a\cosh u}}\ ,du\\[6pt]&=u+C\\[6pt]&=\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}+C\\[6pt]&=\ln \left( {\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1}}+{\frac {x}{a}}\right)+C\\[6pt]&=\ ln \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+x}{a}}\right)+C.\end{aligned}}$

Viz také

Poznámky

↑ James Stewart . Počet: rané transcendentální teorie . — 6. vydání. — Brooks/Cole, 2008. — ISBN 978-0-495-01166-8 .
↑ George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass . Thomas's Calculus: Rané transcendentály . — 12. vydání. — Addison-Wesley , 2010. — ISBN 978-0-321-58876-0 .
↑ James Stewart . Sekce 7.2: Goniometrické integrály // Počet – rané transcendentální teorie . — Spojené státy americké : Cengage Learning, 2012. — S. 475–6. - ISBN 978-0-538-49790-9 .
↑ Christo N. Bojadžiev. Hyperbolické substituce integrálů . Získáno 4. března 2013. Archivováno z originálu dne 26. února 2020. (neurčitý)

Trigonometrie
Všeobecné	Přehled trigonometrie Příběh Používání Funkce Zvrátit Málo používané Generalizovaná trigonometrie
Adresář	Totožnosti Přesné konstanty tabulky jednotkový kruh
Zákony a věty	Sinusová věta Pythagorova věta Kosinová věta Věta tečny Kotangensová věta Řešení trojúhelníků
Matematická analýza	Trigonometrické substituce Integrály ( inverzní funkce ) Deriváty

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů