V matematice je goniometrická substituce nahrazením goniometrických funkcí jinými výrazy. V počtu je goniometrická substituce metodou pro výpočet integrálů. Navíc lze použít trigonometrické identity ke zjednodušení některých integrálů obsahujících radikální výraz [1] [2] . Stejně jako u jiných metod integrace substitucí může být při výpočtu určitého integrálu snazší plně odvodit primitivní prvek před aplikací limitů integrace.
Nechte a použijte identitu .
V integrálu
může být použito
Pak
Výše uvedený krok vyžaduje, aby a . Můžeme si vybrat jako hlavní kořen a zavést omezení pomocí funkce inverzní sinus .
Pro určitý integrál musíte zjistit, jak se mění hranice integrace. Pokud se například změní z na , pak se změní z na , takže se změní z na . Pak
Určitá opatrnost je vyžadována při výběru hranic. Protože to výše uvedená integrace vyžaduje , hodnota se může změnit pouze z na . Při zanedbání tohoto omezení by bylo možné zvolit přechod od do , což by ve skutečnosti vedlo k záporné hodnotě.
Alternativně lze před aplikací okrajových podmínek plně vyhodnotit neurčité integrály. V tomto případě dává primitivní
jako předtím.
Příklad 2Integrální
lze hodnotit prezentací
kde , tak že a přes rozsah arkussinus , tak že a .
Pak
U určitého integrálu se meze po provedení substituce mění a jsou určeny pomocí rovnice s hodnotami v rozsahu . Nebo můžete použít okrajové členy přímo na primitivní vzorec.
Například určitý integrál
lze odhadnout nahrazením , odhady definovanými , a .
Pak
Na druhou stranu přímá aplikace okrajových členů na dříve získaný vzorec pro primitivní funkce dává
jako předtím.
V integrálu
můžeš psát
tak se stane integrál
za předpokladu .
U určitého integrálu se meze po provedení substituce mění a jsou určeny pomocí rovnice s hodnotami v rozsahu . Nebo můžete použít okrajové členy přímo na primitivní vzorec.
Například určitý integrál
lze odhadnout nahrazením , odhady definovanými , a .
Pak
Mezitím přímá aplikace hraničních členů na vzorec pro primitivní deriváty dává
jako předtím.
Příklad 2Integrální
lze hodnotit prezentací
kde , takže a přes rozsah arkus tangens , takže a .
Pak
Krychlový sečnový integrál lze vypočítat pomocí integrace po částech . Jako výsledek
Nechat a používat identitu
Typ integrály
lze také vypočítat pomocí parciálních zlomků spíše než pomocí trigonometrických substitucí. Nicméně integrál
je to zakázáno. V tomto případě by vhodná náhrada byla:
kde , tak a , za předpokladu , tak a .
Pak
Integrál funkce sečny můžete vypočítat vynásobením čitatele a jmenovatele a integrálu sečny v krychli částmi [3] . Jako výsledek
If , což se stane, když s daným rozsahem arcsekans , pak , což v tomto případě znamená .
Substituce lze použít k odstranění goniometrických funkcí.
Například,
Poslední substituce je známá jako Weierstrassova substituce , která používá vzorce tečny polovičního úhlu .
Například,
Pro zjednodušení integrálů lze také použít substituce hyperbolických funkcí [4] .
V integrálu lze provést substituci ,
Poté pomocí identit a
dostupný
Trigonometrie | |
---|---|
Všeobecné |
|
Adresář | |
Zákony a věty | |
Matematická analýza |
Integrální počet | ||
---|---|---|
Hlavní | ||
Zobecnění Riemannova integrálu | ||
Integrální transformace |
| |
Numerická integrace | ||
teorie míry | ||
související témata | ||
Seznamy integrálů |