Goniometrické konstanty

Tento článek poskytuje přesné algebraické výrazy pro některá trigonometrická čísla . Takové výrazy mohou být požadovány například pro převedení výsledků výrazů s goniometrickými funkcemi do radikální formy, což umožňuje další zjednodušení.

Jakékoli goniometrické číslo je algebraické . Některá trigonometrická čísla mohou být vyjádřena v komplexních radikálech , ale ne vždy ve skutečných: zejména mezi hodnotami goniometrických funkcí v úhlech vyjádřených v celých stupních mohou být pouze hodnoty v těch z nich vyjádřeno ve skutečných radikálech , počet stupňů ve kterých je násobkem tří. Ale podle Abelova teorému existují i takové, které jsou v radikálech nerozhodnutelné.

Podle Nivenovy věty je hodnota sinus s racionálním argumentem ve stupních buď iracionální , nebo se rovná jednomu z čísel mezi , , , , . $0$ ${\frac {1}{2))$ $jeden$ $-\frac{1}{2}$ $-jeden$

Podle Bakerovy věty , jestliže sinus , kosinus nebo tečna v daném bodě dává algebraické číslo , pak je jejich argument ve stupních buď racionální , nebo transcendentální . Jinými slovy, pokud je argument ve stupních algebraický a iracionální , pak hodnoty všech goniometrických funkcí z tohoto argumentu budou transcendentální .

Kritéria zahrnutí

Hodnoty pro goniometrické funkce argumentu srovnatelné s jsou vyjádřitelné v reálných radikálech pouze v případě, že jmenovatel redukovaného racionálního zlomku získaného jeho dělením je mocnina dvou násobená součinem několika Fermatových prvočísel (viz Gauss-Wanzelova věta ). Tato stránka je věnována především úhlům vyjádřeným ve skutečných radikálech. $\pi$ $\pi$

Pomocí vzorce polovičního úhlu lze získat algebraické výrazy pro hodnoty goniometrických funkcí v jakémkoli úhlu, pro který již byly nalezeny, rozdělené na polovinu. Zejména pro úhly ležící na intervalu od do platí vzorce $0$ ${\frac {\pi }{2))$

\sin {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 2))

a . _

\cos {\alpha \over 2}={\sqrt {1+\cos \alpha \over 2))

\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}

Níže uvedené výrazy také umožňují získat výrazy v komplexních radikálech pro hodnoty goniometrických funkcí v těch úhlech, ve kterých nejsou vyjádřeny ve skutečných. Například, daný vzorec pro úhel, vzorec pro $\theta$ $\theta$ 3lze získat řešením následující rovnice třetího stupně :

4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=\cos \theta ,

Při jeho obecném řešení však mohou vznikat komplexní nereálná čísla (tento případ se nazývá casus ireducibilis ).

Tabulka některých běžných úhlů

Existují různé jednotky pro měření úhlů , například stupně , radiány , otáčky , grady (gony) .

1\,{\text{úplné otočení))=360^{\circ }=2\pi (\mathrm {rad} )=400(\mathrm {gon} ).

Tato tabulka ukazuje převody z jedné míry na druhou a hodnoty goniometrických funkcí z nejběžnějších úhlů:

Obraty	stupně	radiány	Grady (gons)	Sinus	Kosinus	Tečna
0	0°	0	0	0	jeden	0
jeden12	30°	$\pi$ 6	33jeden	jeden2	√ 32	√ 33
jedenosm	45°	$\pi$ čtyři	padesáti	√2 _2	√2 _2	jeden
jeden6	60°	$\pi$ 3	662	√ 32	jeden2	√ 3
jedenčtyři	90°	$\pi$ 2	100	jeden	0
jeden3	120°	2 $\pi$ 3	133jeden	√ 32	−jeden2	− √ 3
3osm	135°	3 $\pi$ čtyři	150	√2 _2	−√2 _2	−1
512	150°	5 $\pi$ 6	1662	jeden2	−√ 32	−√ 33
jeden2	180°	$\pi$	200	0	−1	0
712	210°	7 $\pi$ 6	233jeden	−jeden2	−√ 32	√ 33
5osm	225°	5 $\pi$ čtyři	250	−√2 _2	−√2 _2	jeden
23	240°	čtyři $\pi$ 3	2662	−√ 32	−jeden2	√ 3
3čtyři	270°	3 $\pi$ 2	300	−1	0
56	300°	5 $\pi$ 3	333jeden	−√ 32	jeden2	− √ 3
7osm	315°	7 $\pi$ čtyři	350	−√2 _2	√2 _2	−1
jedenáct12	330°	jedenáct $\pi$ 6	3662	−jeden2	√ 32	−√ 33
jeden	360°	2 $\pi$	400	0	jeden	0

Další úhly

Hodnoty goniometrických funkcí v úhlech, které nejsou v intervalu od do, jsou jednoduše odvozeny z hodnot v úhlech tohoto intervalu pomocí redukčních vzorců . Všechny úhly jsou zapsány ve stupních a radiánech , přičemž převrácená hodnota činitele před výrazem pro daný úhel je jediným číslem ve Schläfliho symbolu pravidelného (případně stelovaného) mnohoúhelníku s vnějším úhlem rovným danému. $0^{\circ }$ $45^{\circ }$ $\pi$

0° = 0 (rad)

\sin 0=0\,

\cos 0=1\,

\operatorname {tg} 0=0\,

\operatorname {ctg} 0=\infty \,

1,5°=(1/120)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1,5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right )-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2))))\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5))))+{\sqrt {5)) +1\vpravo)}{16}}

\cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1,5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({ \sqrt {2-{\sqrt {2}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}\right)}{16}}

1,875°=(1/96)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1,875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1,875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))))))

2,25°=(1/80)π (rad)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2,25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5))}{2)))))))))))))

{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2,25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2)))))))))))))

2,8125°=(1/64)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2,8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2,8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))))))

3°=(1/60)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\ sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}+1\vpravo)}{16}}\,

\cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\ sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,

\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,

\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,

3,75°=(1/48)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3,75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3,75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

4,5°=(1/40)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4,5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}

5,625°=(1/32)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5,625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5,625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

6°=(1/30)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {30-{\sqrt {180))))-{\sqrt { 5}}-1}{8}}\,

\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {10-{\sqrt {20))))+{\sqrt { 3))+{\sqrt {15}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}} }+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {27}}+{\sqrt {15} }+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,

7,5°=(1/24)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7,5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\ sqrt {2}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7,5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\ sqrt {2}}}}

\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {tg} \left(7,5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)

\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {ctg} \left(7,5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)

9°=(1/20)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5 +{\sqrt {5}}}{2}}}}}

\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5 +{\sqrt {5}}}{2}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

11,25°=(1/16)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11,25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}

\cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11,25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {tg} 11,25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2))))-{ \sqrt {2}}-1

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {ctg} 11,25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2))))+{ \sqrt {2}}+1

12°=(1/15)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{ \sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,

\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{ \sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt { 3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)))\,\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15 ))+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)))\,\right]\,

15°=(1/12)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}

\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {tg} 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

18°=(1/10)π (rad) [1]

\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right )\,

\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\right)}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {tg} 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left( 5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\,

21°=(7/60)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5))))-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\vpravo)\vpravo)\,

\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5))))+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\vpravo)\vpravo)\,

\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2+{\sqrt {3}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\vpravo)}}\vpravo)\,

\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\vpravo)}}\vpravo)\,

22,5°=(1/8)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22,5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}} },

\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22,5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}} }\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {tg} 22,5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 22,5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,

, stříbrný řez

24°=(2/15)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\ sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)))\right]\,

\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5-) {\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)))\right]\,

27°=(3/20)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

30°=(1/6)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {tg} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {ctg} 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,

33°=(11/60)π (rad)

\sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\vpravo)\vpravo]\,

\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\vpravo)\vpravo]\,

\operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\vpravo)}}\,\vpravo]\,

\operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\vpravo)}}\,\vpravo]\,

36°=(1/5)π (rad)

[jeden]

\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}

\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\ varphi {2}},

kde je zlatý řez ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {tg} 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5))))\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{ \sqrt {5}}}}}

39°=(13/60)π (rad)

\sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt { 3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\vpravo)\vpravo]\,

\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt { 3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\vpravo)\vpravo]\,

\operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 -{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\vpravo)}}\,\vpravo]\,

\operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 +{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\vpravo)}}\,\vpravo]\,

42°=(7/30)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {30+6{\sqrt {5))))-{\ sqrt {5}}+1}{8}}\,

\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}+{\sqrt {3 }}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5} ))}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,

45°=(1/4)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {tg} 45^{\circ }=1\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {ctg} 45^{\circ }=1\,

54°=(3/10)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!

\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)))){4}}

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {tg} 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}} }}{5}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20))))\,

60°=(1/3)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {tg} 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {ctg} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,

67,5°=(3/8)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67,5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}} }}\,

\cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67,5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}} }}\,

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {tg} 67,5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 67,5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

72°=(2/5)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,

\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\ right)={\frac {\varphi }{2)),

kde je zlatý řez ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {tg} 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\ ,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left (5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,

75°=(5/12)π (rad)

\sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\ sqrt {2}}\right)\,

\cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\ sqrt {2}}\right)\,

\operatorname {tg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {tg} 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

90°=(1/2)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,

\cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {tg} 90^{\circ }=\infty \,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {ctg} 90^{\circ }=0\,

Seznam hodnot goniometrických funkcí s argumentem rovným 2π/n

Jsou uvedeny pouze vzorce, které nepoužívají odmocniny stupně větší než . Protože (podle Moivreovy věty ) v množině komplexních čísel vede extrahování kořene z celočíselného stupně n k n různým hodnotám, pak pro kořeny 3. a 5. stupně nereálných čísel, které se objevují v této části níže, je by měla mít hlavní hodnotu rovnou odmocnině s největší reálnou částí: je vždy kladná. Proto jsou součty kořenů 3. nebo 5. stupně komplexně sdružených čísel , které se objevují v tabulce, také kladné. Tangenta je uvedena v případech, kdy ji lze zapsat mnohem snadněji než poměr sinusových a kosinových záznamů. $5$

V některých případech níže se používají dvě čísla , která mají vlastnost, že . $\omega _{3}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\omega _{5}={\tfrac {1}{4}}(- 1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$ $\omega _{3}^{3}=\omega _{5}^{5}=1$ ${\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n))\right)&\cos \left({\frac {2 \pi }{n}}\right)&\jméno operátora {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\ \hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({ \sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}} &{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{ \frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{ \frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right )&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\ frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3))))-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}} \right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline { \omega _{3}}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right) &{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\ \hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\ \\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt { 13}}-3i{\sqrt {39}})))}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}}))) }\ vpravo)))&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13 }} -3i{\sqrt {39))))}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))\ vpravo)& \\\hline 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}} }{2 ))}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)))&{\frac {1}{6} }\left (1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3 }}} {\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}} \left( {\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\ vlevo(1 +{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\vpravo)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\ hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt { 17))+{\sqrt {34-2{\sqrt {17))))+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17} ))}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17))))))\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2))\left({\sqrt[{ 3}]{-\omega _{3))}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3))))}\right)&{\frac {1}{2 }}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right )&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left ({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}} \right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2} }\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25& {\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}} })&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5} }}})&\end{array}}$

Důkaz

Jednou z běžných a vizuálních metod pro odvození vzorců pro ( n a o jsou celá čísla) je vyřešit rovnici x n = 1, to znamená najít komplexní kořeny 1 . V tomto případě jsou kosinus a sinus samy o sobě stejné , resp . Tato metoda je odůvodněna De Moivreovou větou : $x=\cos {\tfrac {2\pi o}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi o}{n}}$ ${\tfrac {x+1/x}{2}}$ ${\tfrac {x-1/x}{2i))$

jestliže je modul a je argumentem komplexního čísla, pak všechny kořeny stupně celého čísla od jsou vyjádřeny čísly , kterými prochází množina celých čísel $r>0$ $\alpha \in {\mathbb {R}}$ $n\neq 0$ $r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ ${\sqrt[{n}]{r}}[\cos({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})+i\sin( {\tfrac {\alpha }{n))+{\tfrac {2\pi o}{n)))),$ $Ó$ $\mathbb{Z}.$

Tento teorém je zase dokázán tvrzením, že když se násobí komplexní čísla, jejich moduly se násobí a argumenty se přidávají (ten je ekvivalentní goniometrickým identitám pro součet ):

$[r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].$

Mezi kořeny přirozeného stupně n z 1 jsou ty, které nejsou kořeny žádného jiného přirozeného stupně m < n z 1 - nazývají se primitivními nebo primitivními kořeny n-tého stupně 1 . A polynom, který obsahuje jako kořeny pouze primitivní radikály od 1 as jednotkovou násobností, se nazývá kruhový . Pro n-té kořeny z 1 je stupeň kruhového polynomu roven φ ( n ), kde φ je Eulerova funkce , a je nutně sudý pro n ≥ 3, protože pro n ≥ 3 nejsou všechny primitivní kořeny (mezi nimiž nejsou žádné delší ±1) jsou nereálné a tvoří komplexní konjugované páry.

Pro n ≥ 2 je kruhový polynom symetrický , to znamená, že všechny jeho koeficienty se odrážejí s ohledem na mocninu φ ( n )/2. Pokud n ≥ 3, pak pro řešení rovnice s kruhovým polynomem s φ(n) ( x ) = 0 sudého stupně φ(n) , je třeba symetrický polynom s φ(n) ( x ) vydělit x φ( n) /2 , a pak seskupit mocniny čísla x + 1/ x (to je možné díky symetrii), což se shodou okolností ukáže jako požadovaný kosinus vynásobený 2.

Příklad 1: n = 3

Metoda 1 - řešení rovnice 2. stupně podle obecné metody

Polynom je rozložen na kruhové faktory , z nichž první má kořen rovný 1 a druhý je polynom 2. stupně. A v obecném případě, abyste vyřešili kvadratickou rovnici, musíte vydělit polynom vedoucím koeficientem (zde se rovná 1) a poté vybrat přesný čtverec, abyste se zbavili monomiálního členu stupně, který je menší než stupeň polynomu o 1, to znamená, že rovnice polynomu se dostane do kanonické podoby : $x^{3}-1$ $x-1$ $x^{2}+x+1,$

$x^{2}+x=-1,$

$(x+{\tfrac {1}{2)))^{2}=-{\tfrac {3}{4)),$

$(x+{\tfrac {1}{2}})^{2}+{\tfrac {3}{4}}=0$ ( kanonický pohled ).

V důsledku toho se spolu s rovnicí ukazuje, že $x-1=0$

$x=1$ nebo $x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Metoda 2 - redukce rovnice na rovnici 1. stupně

Namísto řešení rovnice jako kvadratického lze symetrický polynom rozdělit x , seskupit kolem x + 1/ x , za předpokladu, že x + 1/ x je požadovaný kosinus vynásobený 2: $x^{2}+x+1=0$ $x^{2}+x+1$

$(x+{\tfrac {1}{x)))+1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}=-1,$

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Příklad 2: n = 5

Kruhový polynom se rovná a abychom našli jeho kořeny, musí být vydělen x 2 , seskupen pomocí mocnin x + 1/ x (redukováno na čtvercový polynom) a rovná se 0: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,$

$x^{2}+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}+(x+{\tfrac {1}{x)))-1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$ (požadovaný kosinus vynásobený 2),

$x={\frac {-1\pm _{1}{\sqrt {5}}}{4}}\pm _{2}{\frac {i}{4}}{\sqrt {10 \pm_{1}2{\sqrt {5}}}}.$

Příklad 3: n = 7

Symboly . Označte jako $\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$ $\omega _{n}.$

Krok 1 - převedení rovnice do kanonické podoby

Po provedení transformací s kruhovým polynomem podobným těm uvedeným pro n \u003d 5 získáme rovnici 3. stupně . Dále, stejně jako v případě kvadratické rovnice, musí být tato rovnice převedena do kanonického tvaru, tj. vydělte obě části rovnice vedoucím koeficientem (jedna) a poté vyberte přesnou krychli, zbavte se členu stupně, který je menší než stupeň polynomu o 1: $x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ $(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}-2(x+{\tfrac {1}{x }})-1=0.$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}=2(x+{\tfrac {1}{x }})+1,$

$[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}}),$

$(x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})^{3}-{\tfrac {7}{3}}(x+{\tfrac {1} {3}}+{\tfrac {1}{x}})-{\tfrac {7}{27}}=0$ ( kanonická forma ).

Krok 2 – metoda del Ferro

Metoda pro řešení kanonických kubických rovnic vešla do historie pod jménem Gerolamo Cardano , ale jako první ji objevil Scipio del Ferro . Skládá se z následujícího: nahraďte požadovanou proměnnou ( ) součtem : $x+{\tfrac {1}{3}}+x^{-1}$ $v+w$

$(v^{3}+3v^{2}w+3vw^{2}+w^{3})-{\tfrac {7}{3}}(v+w)-{\tfrac { 7}{27}}=0,$

a potom nastavte vztah mezi v a w tak, aby rovnice mohla být redukována na méně než 3. mocninu. Pak se ukáže, že v čísle se faktor musí rovnat nule. V tomto případě a (samotný kosinus) a samotná kubická rovnice je redukována na kvadratickou: $3v^{2}w+3vw^{2}-{\tfrac {7}{3}}(v+w)=(3vw-{\tfrac {7}{3}})(v+w )$ $3vw-{\tfrac {7}{3))$ $w={\tfrac {7}{9v}}$ ${\tfrac {1}{2}}(x+x^{-1})={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+w )={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+{\tfrac {7}{9v}})$

$v^{3}-{\tfrac {7}{3^{3}}}+{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}v^{-3}=0 ,$

$v^{3}={\tfrac {7}{2\cdot 3^{3}}}\pm i{\sqrt {{\tfrac {7^{3}}{3^{6}} }-{\tfrac {7^{2}}{2^{2}3^{6}}}}}={\tfrac {7\pm 7i{\sqrt {2^{2}7-1}} }{2\cdot 3^{3}}}={\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2\cdot 3^{3}}},$

a s přihlédnutím k hlavním hodnotám krychlových kořenů se ukazuje:

$v={\tfrac {\omega _{3}^{m)){3)){\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3))}{2 }}),{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},$ kde $m\in \mathbb {Z} ,$

$\cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[ {3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i {\sqrt {3}}}{2}}}\right),$

kde o = 1 ( o = 6) odpovídá m = 0, o = 2 ( o = 5 ) odpovídá m = 1 a o = 3 ( o = 4 ) odpovídá m = 2.

Krok 3 - sinus [2]

Nejlepší je hledat sinus ne podle základní goniometrické identity, ale podle vzorce polovičního úhlu, jinak se objeví druhé mocniny čísel a zjednodušení se stane nezřejmým. V důsledku toho jsou všechny primitivní 7. kořeny 1 stejné $\sin {\tfrac {2\pi o}{7}}=\pm {\sqrt ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos {\ tfrac {4\pi o}{7}}}},$ ${\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(19\pm 21i{\sqrt {3}})))),$

${\frac {1}{6}}\left[-1+w+{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}w-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

kde $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

Příklad 4: n = 3 2 = 9

Symbol . Označte jako $\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$ $\omega _{n}.$

Číslo 9 je rozloženo do prvočinitelů jako 3 2 , takže polynom lze rozložit na kruhové faktory jako Kořeny posledního z nich jsou 3. kořeny čísel (kořeny polynomu ), které jsou naopak primitivní kořeny 3. stupně 1, tedy primitivní 9. kořeny 1 jsou $x^{9}-1$ $(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{6}+x^{3}+1).$ $x^{2}+x+1$

$x=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1))},$ kde $m\in \{0,1,2\}.$

Poté (s přihlédnutím k hlavním hodnotám krychlových kořenů) jsou „primitivní“ kosiny a sinusy vyjádřeny jako

${\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\omega _{3} ^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}\right),$

${\frac {1}{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {i}{2}}\left(\omega _{3 }^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\ omega _{3}^{\pm 1}}}\right),$

Příklad 5: n = 2 7 = 14

Symbol: $\omega _{n}:=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$

Polynom má kruhové faktory: $x^{14}-1=(x^{7}-1)(x^{7}+1)$

$x-1$ (kruhový polynom pro 1. stupeň);
$x+1$ (kruhový polynom pro 2. stupeň);
$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ (pro 7. stupeň);
$x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ (pro 14. stupeň).

Kořeny polynomu jsou přesně opačné než kořeny polynomu (to lze dokázat změnou proměnné na její opak nebo pomocí Vietovy věty ), a proto vypadají takto: $x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ $x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

${\frac {1}{6}}\left[1-w-{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}y-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

kde $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

Příklad 6: n = 3 5 = 15

Kruhový polynom není příliš jednoduchý a místo hledání jeho kořenů je lepší rozšířit úhel ( o je celé číslo) jako součet , kde o 1 a o 2 jsou nějaká celá čísla. $x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1$ ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\tfrac {2\pi }{3}}o_{1}+{\tfrac {2\pi }{5}}o_{2},$

Poznámka . Na rozdíl od 15 zahrnuje rozklad čísla 9 stejný faktor dvojnásobné násobnosti - a na rozdíl od úhlu , není vždy možné expandovat ve tvaru ( o , o 1 a o 2 jsou celá čísla). ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi o}{3^{2))))$ ${\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{3}}$

Rozšířením úhlu na součet úhlů můžete vypočítat kosinus a sinus:

$\cos({\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})+i\sin({\tfrac {2 \pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=(\cos {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}})(\cos {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{o_{1}}\left[{\tfrac {1}{4}} (-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5))))\right]^{o_{2)).$

Pokud například o = 1, můžete zvolit −1 a 2 jako o 1 a o 2 . Pak

$\cos {\tfrac {2\pi }{15}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{15}}={\tfrac {1}{8}}(-1-i{ \sqrt {3)))(-1-{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})=$

$={\tfrac {1}{8}}[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i({\sqrt {3} }+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5)))))))].$

Příklad 7: n = 17

Krok 1

Protože toto Fermatovo číslo je prvočíslo, musíme, stejně jako v případě n = 3, n = 5 a n = 7, nejprve vydělit kruhový polynom x 8 a nahradit jej nějakou proměnnou b = x + 1/ x — dostáváme $x^{16}+\cdots +x+1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1.$

Symbol. Kořeny polynomu označíme jako $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b_{o/17}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{17)).$

Krok 2 [3]

Kořeny polynomu se nejlépe nenacházejí prostřednictvím jeho koeficientů, ale pomocí skutečnosti, že jeho kořeny jsou zdvojené kosiny. K tomu je třeba nějak rozložit všechny jeho kořeny na dva součty S 1 a S 2 , najít S 1 + S 2 a S 1 S 2 a pomocí Vietovy věty odvodit rovnici pro S 1 a S 2 , řešit což dostaneme S 1 a S 2 . $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

Přesněji řečeno, kořeny polynomu musí být rozděleny v mocninách dvou : $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

$S_{1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{1}/17}+b_{2^{2}/17}+b_{2^{3}/17 }=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};$
$S_{2}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}+ b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.$

Součet S 1 + S 2 je roven součtu všech odmocnin , což znamená, že podle Vietovy věty je roven −1 a součin se nalézá pomocí kosinusového vzorce součinu. $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1,$ $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

$(b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5 /17}+b_{7/17})=$

$=\underbrace {(b_{1/17}b_{3/17})+\cdots +(b_{8/17}b_{7/17})} _{\text{16 výrazy))= \underbrace {(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots +(b_{15/17}+b_{1/17})} _{\text{32 výrazy včetně závorek} }$ (podle vzorce kosinusu produktu)

$=2\underbrace {(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots +b_{15/17}+b_{16/17})}_{\text{16 terms)) =4(S_{1}+S_{2})=-4.$

Pak dostaneme kvadratickou rovnici s kořeny a ty jsou rozděleny takto: $S^{2}+S-4=0$ ${\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$

$S_{1}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}={\tfrac {-1+{\sqrt {17)) }{2}};$
$S_{2}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}={\tfrac {-1-{\sqrt {17)) }{2}}.$

Krok 3

Členy uzavřené v S 1 a S 2 je třeba opět rozdělit na polovinu součty, navíc mocninami čtyř - a tvoří se čtyři čísla:

$T_{1.1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{2}/17}=b_{1/17}+b_{4/17};$
$T_{1.2}=b_{2^{1}/17}+b_{2^{3}/17}=b_{2/17}+b_{8/17};$
$T_{2.1}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}=b_{3/17}+b_{5/17};$
$T_{2.2}=b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.$

Součet (kde m prochází množinou {1, 2}) je roven a součin (podle stejného vzorce ) je roven −1 (pro m = 1 a pro m = 2), což znamená, že Vietův teorém, získáme kvadratickou rovnici pro T : $T_{m.1}+T_{m.2}$ $S_{m}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$ $T_{m.1}T_{m.2}$ $\cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\pm \alpha \mp \beta )]$ $T_{m}^{2}-S_{m}T_{m}-1=0$

$T_{1.1}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{1.2}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.1}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.2}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}).$

Krok 4

Ve 2. a 3. fázi pokaždé „rozdělíme“ částky na polovinu. Zde uděláme totéž a tím se již dostaneme k samotným kořenům (čísla b o /17 ). Částky jsou:

$b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1};$
$b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2};$
$b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};$
$b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2},$

a odpovídající díla:

$b_{1/17}b_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};$
$b_{2/17}b_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2};$
$b_{3/17}b_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1.2};$
$b_{6/17}b_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}.$

Po sestavení všech požadovaných kvadratických rovnic získáme požadované kosiny :

$b_{1/17}/2$ nebo - $b_{4/17}/2$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N+{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N-{\sqrt {2N}}-2{\sqrt {2M} }}});$
$b_{2/17}/2$ nebo - $b_{8/17}/2$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N-{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N+{\sqrt {2N}}+2{\sqrt {2M} }}});$
$b_{3/17}/2,b_{5/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M+{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M-{\sqrt {2M}}+2{\sqrt {2N} }}});$
$b_{6/17}/2,b_{7/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M-{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M+{\sqrt {2M}}-2{\sqrt {2N} }}});$

kde $M=17+{\sqrt {17)),N=17-{\sqrt {17}}$ .

Příklad 8: n = 13

Potřebujeme vydělit kruhový polynom x 6 a nahradit x + 1/ x nějakou proměnnou b - dostaneme polynomická prvočísla a za druhé stupně polynomů ( což odpovídá n = 13) a ( n = 17) jsou složená čísla - proto existuje takové podezření, že kořeny polynomu je třeba najít podle stejného principu jako v 7. příkladu: a zde musíte nejprve odvodit a vyřešit kvadratickou rovnici a teprve potom - kubickou rovnici . $x^{12}+\cdots +x+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1.$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$

Symbol . Kořeny polynomu označíme jako $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b_{o/13}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{13)).$

Krok 1

Všech šest kořenů uvedeného polynomu rozložíme na dva součty S 1 , S 2 a na mocniny trojice:

$S_{1}=x_{3^{0}/13}+x_{3^{1}/13}+x_{3^{2}/13}=x_{1/13}+x_{ 3/13}+x_{4/13};$
$S_{2}=x_{2\cdot 3^{0}/13}+x_{2\cdot 3^{1}/13}+x_{2\cdot 3^{2}/13}= x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}$

a vypočítat následující veličiny pomocí identity $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

$S_{1}+S_{2}=-1;$
${\begin{aligned}S_{1}S_{2}&=(b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_ {6/13}+b_{5/13})\\&=b_{1/13}b_{2/13}+b_{1/13}b_{6/13}+b_{1/13}b_ {5/13}\\&+b_{3/13}b_{2/13}+b_{3/13}b_{6/13}+b_{3/13}b_{5/13}\\& +b_{4/13}b_{2/13}+b_{4/13}b_{6/13}+b_{4/13}b_{5/13}\\&=(b_{3/13} +b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13})\\&+(b_{5/13 }+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13})\\&+(b_{6/ 13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13})\\&=3(b_{ 1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_{1}+S_{ 2})=-3,\\\end{aligned}}$

po obdržení rovnice , jejíž řešením dostaneme: $S^{2}+S-3=0$ $S_{1}=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}={\tfrac {-1+{\sqrt {13}}}{2}},$ $S_{2}=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}={\tfrac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}.$

Krok 2

S 1 a S 2 jsou známé - nyní s jejich pomocí musíte odvodit kubické rovnice pro b . Pro demonstraci zvolíme např. kořeny zahrnuté v součtu S 1 . Pak musíte najít následující množství:

$b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_{1}={\tfrac {-1+{\sqrt {13))}{2));$
$b_{1/13}b_{3/13}+b_{3/13}b_{4/13}+b_{4/13}b_{1/13}=b_{4/13}+b_ {2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}=S_{1}+S_{2}=-1;$
$b_{1/13}b_{3/13}b_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13} ^{2}+b_{2/13}b_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_{2 }={\tfrac {3-{\sqrt {13}}}{2}},$

k získání rovnice Vietovou větou. Pokud spolu s kořeny obsaženými v S 1 zahrneme i kořeny obsažené v S 2 , výsledkem je rovnice . $b^{3}-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13}}}{2}}b^{2}-b+{\tfrac {-3\pm {\sqrt {13} }}{2}}=0$

Krok 3 - kanonizace

$(b-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13))}{6)))^{3}+{\tfrac {-13\pm {\sqrt {13))}{6 }}(b-{\tfrac {1\pm {\sqrt {13}}}{6}})+{\tfrac {-26\pm 5{\sqrt {13}}}{27}}=0$ ( kanonická forma ) $|\cdot 6^{3},$

$[6b-(-1\pm {\sqrt {13)))]^{3}+6(-13\pm {\sqrt {13)))[6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]+8(-26\pm 5{\sqrt {13}})=0$ (takže v odpovědi byl jmenovatel okamžitě vyjmut zpod kořene).

Krok 4 je řešením kanonické rovnice

${\begin{aligned}6b-(-1\pm {\sqrt {13)))&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac { 8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}-{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^ {2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13)))}{3}}^{3}}}}}\\&+\omega _{3}^{-m} {\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13)))}{2))+{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5) {\sqrt {13)))}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\ \&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39))))}}+\ omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))),\\\konec {zarovnáno }}$

kde m prochází {0, 1, 2} a $\omega _{n}=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$

Různé

Použijte k výpočtu dalších konstant

Například objem pravidelného dvanáctistěnu s délkou hrany může být dán vzorcem: $A$

V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}.

Pokud použijeme výrazy

\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4)),\,

\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5))))),\,

vzorec lze zjednodušit na

V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}.\,

Odvození pomocí trojúhelníků

Odvození hodnot sinus , kosinus a tečna v radikálním tvaru je založeno na možnosti sestrojit pravidelné mnohoúhelníky pomocí kružítka a pravítka .

Zde se k výpočtu základních trigonometrických poměrů používají pravoúhlé trojúhelníky vytvořené řezy podél os symetrie pravidelných mnohoúhelníků. V každém z pravoúhlých trojúhelníků jsou vrcholy:

Střed polygonu
Vrchol mnohoúhelníku
Střed strany obsahující tento vrchol

Pravidelný n - úhelník lze rozdělit na 2n trojúhelníky s rohy180n0,90 180n, 90 stupňů pro n větší nebo rovné 3. Možnost sestrojit pomocí kružítka a pravítka trojúhelník, čtverec, pěti- a patnáctiúhelník - v základně, úhlové osy umožňují i mnohoúhelníky s počtem stran rovným mocnina dvou, vynásobená počtem stran daného mnohoúhelníku.

Lze postavit pomocí kružítka a pravítka
- Regulární 3 × 2 n -úhelníky, kde n = 0, 1, 2, 3, …
  - 30°-60°-90°: Pravoúhlý trojúhelník
  - 60°-30°-90°: Pravidelný šestiúhelník
  - 75°-15°-90°: Pravidelný dvanáctiúhelník
  - 82,5°-7,5°-90°: Běžná dvacetičtyřka
  - 86,25°-3,75°-90°: Běžný 48-úhelník
  - 88,125°-1,875°-90°: Běžný 96-úhelník
  - 89,0625°-0,9375°-90°: Běžný 192-gon
  - 89,53125°-0,46875°-90°: Běžný 384-gon
  - …
- 4 × 2 n - úhelníky
  - 45°-45°-90°: Čtverec
  - 67,5°-22,5°-90°: Pravidelný osmiúhelník
  - 78,75°-11,25°-90°: Pravidelný šestiúhelník
  - 84,375°-5,625°-90°: Běžný 32-úhelník
  - 87,1875°-2,8125°-90°: Běžný 64úhelník
  - 88,09375°-1,40625°-90°: Běžný 128-gon
  - 89,046875°-0,703125°-90°: Běžný 256-gon
  - …
- 5 × 2 n - úhelníky
  - 54°-36°-90°: Pravidelný pětiúhelník
  - 72°-18°-90°: Pravidelný desetiúhelník
  - 81°-9°-90°: Pravidelný šestiúhelník
  - 85,5°-4,5°-90°: Pravidelný osmiúhelník
  - 87,75°-2,25°-90°: Pravidelný osmiúhelník
  - 88,875°-1,125°-90°: Běžný 160-úhelník
  - 89,4375°-0,5625°-90°: Běžný 320-gon
  - …
- 15 × 2 n - úhelníky
  - 78°-12°-90°e: Pravidelný pětiúhelník
  - 84°-6°-90°: Pravidelný thiragon
  - 87°-3°-90°: Pravidelný šestiúhelník
  - 88,5°-1,5°-90°: Běžná 120
  - 89,25°-0,75°-90°: Běžný 240-gon
- …

Existují také pravidelné mnohoúhelníky, které lze sestavit pomocí kompasu a pravítka: 17 , 51, 85, 255, 257 , 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537 , 6936.97, 7936.97, 7936.97. ., 4294967295. )

Nelze sestavit pomocí kružítka a pravítka (s půlstupňovými nebo celočíselnými úhly) - Neexistují žádné konečné radikálové formy pro výsledné poměry stran trojúhelníků, včetně reálných čísel, což znamená, že mnohoúhelníky s počtem stran rovným mocninu dvojnásobku počtu stran daného mnohoúhelníku nelze stáhnout.
- 9 × 2 n - úhelníky
  - 70°-20°-90°: Běžný neúhelník
  - 80°-10°-90°: Pravidelný osmiúhelník
  - 85°-5°-90°: Běžný 36-úhelník
  - 87,5°-2,5°-90°: Běžný 72-úhelník
  - …
- 45 × 2 n - úhelníky
  - 86°-4°-90°: Pravidelný čtyřiceti pětiúhelník
  - 88°-2°-90°: Běžný neúhelník
  - 89°-1°-90°: Běžný 180-úhelník
  - 89,5°-0,5°-90°: Běžné 360
  - …

Vypočítané hodnoty sinus a kosinus

Triviální veličiny

Sinus a kosinus 0, 30, 45, 60 a 90 stupňů lze vypočítat z odpovídajících pravoúhlých trojúhelníků pomocí Pythagorovy věty.

Při použití radiánů lze sinus a kosinus / 2 n vyjádřit v radikálové formě rekurzivní aplikací následujících vzorců: $\pi$

2\cos \theta ={\sqrt {2+2\cos 2\theta }}={\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; atd.

2\sin \theta ={\sqrt {2-2\cos 2\theta }}={\sqrt {2-{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; atd.

Například:

\cos {\frac {\pi }{2^{1}}}={\frac {0}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+0}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-0}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2)))){2))

\cos {\frac {\pi }{2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))){2} }

;

\sin {\frac {\pi }{2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))){2} }

\cos {\frac {\pi }{2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))} }}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))} }}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

atd.

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (3× 2n )

\cos {\frac {2\pi }{3}}={\frac {-1}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))) ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))) ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}

atd.

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (5× 2n )

\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

(proto )

2+2\cos {\frac {\pi }{5}}=2+{\sqrt {1,25}}+0,5

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {1.5-{\sqrt {1.25)))){2))

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))))) ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25)))))) ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5 +{\sqrt {1,25}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5 +{\sqrt {1,25}}}}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))))))))))))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))))))))))))){2))

atd.

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (5×3× 2n )

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{0))}={\frac ({\sqrt ({\sqrt {0.703125))+1.875))+{\sqrt {0.3125} }-0,25}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{1))}={\frac {\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0.703125))+1.875))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {2,25-{\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875))-{ \sqrt {0,3125}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0.703125))+1.875 ))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0.703125))+1.875 ))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}))))))))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}))))))))){2}}

atd.

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (17× 2n )

Pokud a pak $M=2(17+{\sqrt {17)))$ $N=2(17-{\sqrt {17)))$

\cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {\sqrt {M-4+2({\sqrt {N}}+{\sqrt {2(2M-N+{\sqrt {17N}}-{\sqrt {N}}-8{\sqrt {M))))))))){8}}.

Pak pomocí indukce dostaneme to

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {30+2{\sqrt {17}}+{\sqrt {136-8{ \sqrt {17))))+{\sqrt {272+48{\sqrt {17}}+8{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\times ({\sqrt {17} }-1)-64{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}}}{8}};

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (257× 2n ); $\pi$ (65537× 2n )

Výše aplikovanou indukci lze stejným způsobem aplikovat na jakákoli Fermatova prvočísla (F 3 =2 2 3 +1=2 8 +1= 257 ; F 4 =2 2 4 +1=2 16 +1= 65537 ), násobky jejichž hodnoty sinus a kosinus existují v radikální podobě, ale jsou příliš dlouhé na to, abychom je zde vyjmenovali. $\pi$

\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (255× 2n ), $\pi$ (65535× 2n ); $\pi$ (4294967295× 2n )

D = 2 32 - 1 = 4294967295 je největší aktuálně známý lichý celočíselný jmenovatel, pro který jsou známy radikálové formy sin( /D) a cos ( /D). Použitím radikálních forem množství z výše uvedených sekcí a použitím pravidla indukcí dostaneme - $\pi$ $\pi$ $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac {\pi }{17))))}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac {\pi }{17))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}};

Proto s použitím radikálních forem množství z výše uvedených sekcí a použitím pravidla indukcí dostaneme - $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac {\pi }{257}}))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac {\pi }{257))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Nakonec s použitím radikálních forem množství z výše uvedených sekcí a použitím pravidla indukcí dostaneme - $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0))}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{65535))-{ \frac {\pi }{65537))))}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0))}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{65535))-{ \frac {\pi }{65537))))}{2));

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Radikální forma popisu uvedeného výše je velmi rozsáhlá, a proto je vyjádřena jednodušším způsobem (jak je uvedeno výše).

n × π(5× 2m )

Geometrická metoda

Aplikováním Ptolemaiovy nerovnosti na vepsaný čtyřúhelník ABCD definovaný čtyřmi po sobě jdoucími vrcholy pětiúhelníku zjistíme, že:

\operatorname {crd} 36^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ADB} )={\frac {a}{b))={\frac {2}{1+ {\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

což je recipročníjedenφve vztahu ke zlatému řezu . crd je funkcí délky tětivy,

\operatorname {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2)).\,

Což znamená

\sin 18^{\circ }={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}.

(Můžete se také obejít bez Ptolemaiovy nerovnosti. Nechť X označuje průsečík AC a BD a všimněte si, že trojúhelník AXB je rovnoramenný , a tedy AX = AB = a . Trojúhelníky AXD a CXB jsou podobné , protože AD je rovnoběžné s BC XC = a (Ab). Ale AX + XC = AC, takže + a 2b = b . Po vyřešení výsledku to mámeAb = jedenφ, jak bylo získáno dříve).

Podobný

\operatorname {crd} \ 108^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a))={\frac {1+{\ sqrt{5}}}{2}},

což znamená

\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.

Algebraická metoda

Je-li θ 18° nebo −54°, pak 2θ a 3θ se zmenší na 5θ = 90° nebo −270°, takže . $\sin 2\theta =\cos 3\theta$

(2\sin \theta )\cos \theta =\sin 2\theta =\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =(4\cos ^{2 }\theta -3)\cos \theta =(1-4\sin ^{2}\theta )\cos \theta

Dále , co dělá

4\sin ^{2}\theta +2\sin \theta -1=0

\sin \theta =\sin(18^{\circ },-54^{\circ })={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}.

Tudíž,

\sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

a a

\sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

\sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ })={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)))){4))

\sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ })={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5)))){4)).

Také víceúhlové vzorce pro funkce 5 x , kde x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} a 5 x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, lze řešit pro funkce x , protože známe hodnoty funkcí z 5 x . Níže jsou uvedeny vzorce pro více úhlů:

\sin 5x=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x,\,

\cos 5x=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x.\,

Pokud sin 5 x \u003d 0 nebo cos 5 x \u003d 0, označíme y \u003d sin x nebo y \u003d cos x a vyřešíme rovnici pro y :

16y^{5}-20y^{3}+5y=0.\,

Jeden z kořenů je 0, takže výslednou kvartickou rovnici lze vyřešit jako kvadratickou rovnici pro y 2 .

Pokud sin 5 x \u003d 1 nebo cos 5 x \u003d 1, opět označíme y \u003d sin x nebo y \u003d cos x a vyřešíme rovnici pro y :

16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0,\,

co považujeme za:

(y-1)\left(4y^{2}+2y-1\right)^{2}=0.\,

n × $\pi$ dvacet

9° = 45 - 36 a 27° = 45 - 18; takže můžete použít rozdílový vzorec pro sinus a kosinus.

n × $\pi$ třicet

6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3 a 42° = 60 − 18; takže můžete použít rozdílový vzorec pro sinus a kosinus.

n × $\pi$ 60

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 a 39° = 54 − 15, takže můžete použít rozdílový (nebo součtový) vzorec pro sinus a kosinus.

Způsoby, jak zjednodušit výrazy

Racionalizace jmenovatele

Je-li jmenovatelem přirozený kořen n > 1, je třeba čitatel a jmenovatel tímto radikálem vynásobit na mocninu n − 1: . ${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}={\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$
V obecném případě, pokud je jmenovatelem algebraické číslo druhého stupně (komplexní číslo tvaru , kde q a r jsou racionální), pak je třeba čitatel a jmenovatel vynásobit jeho konjugovaným číslem: $q\pm {\sqrt {r))$ ${\tfrac {1}{1+{\sqrt {3))))={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{(1+{\sqrt {3}})(1 -{\sqrt {3))))}}={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{-2}}.$
V některých případech musí být jmenovatel racionalizován více než jednou:
- $\csc {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}={\tfrac {4{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})(10-2{\sqrt {5}})))}={\tfrac { \sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\sqrt {5}}}={\tfrac {\sqrt {10(5-{\sqrt {5}}))){5}}.$
A pokud je jmenovatelem algebraické číslo větší než druhý stupeň, pak by bylo nejlepší nenásobit sdruženými čísly (i když to také probíhá), ale najít minimální polynom tohoto algebraického čísla, vyjádřit jeho prostřednictvím polynom , jehož jedním z kořenů je číslo, inverzní k tomuto číslu, a najděte kořeny druhého.
- Dané číslo Jeho převrácená hodnota, vynásobená 2, je kořenem polynomu (toto bylo ukázáno výše ). Potom je kořenem polynomu sečna sama, dělená 2, a jako výsledek $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {3}} i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}}}.$ $b^{3}+b^{2}-2b-1$ ${\displaystyle (b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^{3))$ $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\tfrac {2}{3}}(-2+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7+21{\ sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}).$

Převod zlomku na součet (rozdíl) dvou (nebo více) zlomků

Někdy pomůže rozdělit jeden zlomek na součet několika a dále je samostatně zjednodušit.

Druhá mocnina a odmocnina

Tento plán může pomoci, pokud se výraz skládá z jediného složeného členu a je přítomen pouze jeden typ radikálu. Odmocni výraz, přidej podobné výrazy a vezmi druhou odmocninu. Tato metoda může zanechat vnořené radikály, ale často je takový výraz jednodušší než původní.

Zjednodušení výrazů pomocí vnořených radikálů

V zásadě vnořené radikály nejsou zjednodušené. Ale pokud

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))\,

kde a , b a c jsou racionální čísla, dostaneme to

R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,

racionální, pak oba výrazy

d={\frac {a+R}{2}}{\text{ a }}e={\frac {aR}{2}}\,

Racionální; tudíž

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.\,

Například,

4\sin 18^{\circ }={\sqrt {6-2{\sqrt {5))))={\sqrt {5}}-1.\,

4\sin 15^{\circ }=2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\ že jo).

Viz také

Mnohoúhelník, který lze sestavit pomocí kompasu a pravítka , pro kterýkoli z nich mají sinus a kosinus středového a vnitřního úhlu racionální vyjádření v odmocninách
Konstrukce sedmnáctiúhelníku , která dává přesný výraz pro cos 2 $\pi$ 17
Trigonometrické identity
Nivenova věta pro racionální hodnoty sinu racionálního násobku $\pi$
Ptolemaiovská tabulka akordů
Goniometrické funkce
Goniometrické číslo , hodnota goniometrické funkce racionálního násobku $\pi$

Poznámky

↑ 1 2 Bradie, Brian. Přesné hodnoty pro sinus a kosinus násobků 18°: Geometrický přístup // The College Mathematics Journal :časopis. - 2002. - září ( roč. 33 , č. 4 ). - str. 318-319 . - doi : 10.2307/1559057 . — .
↑ trigonometrie – metoda k nalezení $\sin (2\pi/7)$ . Výměna zásobníku matematiky . Získáno 30. března 2021. Archivováno z originálu dne 28. září 2015. (neurčitý)
↑ Jak dokázat, že [math]\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17} }+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16} [/math] - Quora . www.quora.com . Datum přístupu: 3. dubna 2021. (neurčitý)

Weisstein, Eric W. Sestavitelný polygon ve Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Trigonometry angles (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
- $\pi$ /3 (60°) - /6 (30°) - /12 (15°) - /24 (7,5°) $\pi$ $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /4 (45°) - /8 (22,5°) - /16 (11,25°) - /32 (5,625°) $\pi$ $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /5 (36°) - /10 (18°) - /20 (9°) $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /7 - /14 $\pi$
- $\pi$ /9 (20°) - /18 (10°) $\pi$
- $\pi$ /jedenáct
- $\pi$ /13
- $\pi$ /15 (12°) - /30 (6°) $\pi$
- $\pi$ /17
- $\pi$ /19
- $\pi$ /23
Bracken, Paul; Čížek, Jiří. Vyhodnocení součtů kvantově mechanických poruch pomocí kvadratických hrubých částic a jejich použití při aproximaci ζ (3 ) / 3 // Int. J. Quantum Chem. $\pi$ : deník. - 2002. - Sv. 90 , č. 1 . - str. 42-53 . - doi : 10.1002/qua.1803 .
Conway, John H.; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo. Na úhlech, jejichž kvadrát goniometrické funkce jsou racionální // Disk . A Comp. Geom. : deník. - 1999. - Sv. 22 , č. 3 . - str. 321-332 . - doi : 10.1007/PL00009463 . — arXiv : math-ph/9812019 .
Gerstmair, Kurt. Některé lineární vztahy mezi hodnotami goniometrických funkcí v k / n // Acta Arithmetica $\pi$ : deník. - 1997. - Sv. 81 , č. 4 . - str. 387-398 . - doi : 10.4064/aa-81-4-387-398 .
Gurak, S. O minimálním polynomu gaussových period pro prvomocniny // Mathematics of Computation : deník. - 2006. - Sv. 75 , č. 256 . - str. 2021-2035 . - doi : 10.1090/S0025-5718-06-01885-0 . - .
Servi, L.D. Vnořené odmocniny ze 2 (anglicky) // Amer. Matematika. Měsíční . - 2003. - Sv. 110 , č. 4 . - S. 326-330 . - doi : 10.2307/3647881 . — .

Odkazy

Sestavitelné pravidelné mnohoúhelníky
Sinus a kosinus jako iracionální čísla zahrnují v některých případech alternativní výrazy, stejně jako výrazy pro některé úhly

Trigonometrie
Všeobecné	Přehled trigonometrie Příběh Používání Funkce Zvrátit Málo používané Generalizovaná trigonometrie
Adresář	Totožnosti Přesné konstanty tabulky jednotkový kruh
Zákony a věty	Sinusová věta Pythagorova věta Kosinová věta Věta tečny Kotangensová věta Řešení trojúhelníků
Matematická analýza	Trigonometrické substituce Integrály ( inverzní funkce ) Deriváty

Goniometrické konstanty

Kritéria zahrnutí

Tabulka některých běžných úhlů

Další úhly

0° = 0 (rad)

1,5°=(1/120)π (rad)

1,875°=(1/96)π (rad)

2,25°=(1/80)π (rad)

2,8125°=(1/64)π (rad)

3°=(1/60)π (rad)

3,75°=(1/48)π (rad)

4,5°=(1/40)π (rad)

5,625°=(1/32)π (rad)

6°=(1/30)π (rad)

7,5°=(1/24)π (rad)

9°=(1/20)π (rad)

11,25°=(1/16)π (rad)

12°=(1/15)π (rad)

15°=(1/12)π (rad)

18°=(1/10)π (rad) [1]

21°=(7/60)π (rad)

22,5°=(1/8)π (rad)

24°=(2/15)π (rad)

27°=(3/20)π (rad)

30°=(1/6)π (rad)

33°=(11/60)π (rad)

36°=(1/5)π (rad)

39°=(13/60)π (rad)

42°=(7/30)π (rad)

45°=(1/4)π (rad)

54°=(3/10)π (rad)

60°=(1/3)π (rad)

67,5°=(3/8)π (rad)

72°=(2/5)π (rad)

75°=(5/12)π (rad)

90°=(1/2)π (rad)

Seznam hodnot goniometrických funkcí s argumentem rovným 2π/n

Důkaz

Příklad 1: n = 3

Příklad 2: n = 5

Příklad 3: n = 7

Příklad 4: n = 3 2 = 9

Příklad 5: n = 2 7 = 14

Příklad 6: n = 3 5 = 15

Příklad 7: n = 17

Příklad 8: n = 13

Různé

Použijte k výpočtu dalších konstant

Odvození pomocí trojúhelníků

Vypočítané hodnoty sinus a kosinus

Triviální veličiny

Radikálová forma, sinus a kosinus(3× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus(5× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus(5×3× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus(17× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus(257× 2n );(65537× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus(255× 2n ),(65535× 2n );(4294967295× 2n )

n × π(5× 2m )

n × dvacet

n × třicet

n × 60

Způsoby, jak zjednodušit výrazy

Racionalizace jmenovatele

Převod zlomku na součet (rozdíl) dvou (nebo více) zlomků

Druhá mocnina a odmocnina

Zjednodušení výrazů pomocí vnořených radikálů

Viz také

Poznámky

Odkazy

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (3× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (5× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (5×3× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (17× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (257× 2n ); $\pi$ (65537× 2n )

Radikálová forma, sinus a kosinus $\pi$ (255× 2n ), $\pi$ (65535× 2n ); $\pi$ (4294967295× 2n )

n × $\pi$ dvacet

n × $\pi$ třicet

n × $\pi$ 60