Náměstí

Náměstí
$S$ , od fr. povrchní
Dimenze	l²
Jednotky
SI	m²
GHS	cm²
Poznámky
skalární

Plocha - v užším slova smyslu plocha obrazce - číselná charakteristika zavedená pro určitou třídu plochých geometrických obrazců (historicky se u mnohoúhelníků pak pojem rozšířil na čtvercové obrazce) a mající vlastnosti oblast [1] . Z těchto vlastností intuitivně vyplývá, že větší plocha figury odpovídá její „větší velikosti“ (např. čtverec o větší ploše vystřižený z papíru může zcela pokrýt menší čtverec) a plocha obrázek lze odhadnout tak, že na jeho výkres překryjete mřížku čar tvořících shodné čáry. čtverce ( jednotky plochy ) a spočítáte počet polí a jejich podílů, které spadají do obrázku [2] (na obrázku vpravo ). V širokém slova smyslu je pojem plochy zobecněn [1] na k - rozměrné povrchy v n - rozměrném prostoru ( euklidovské nebo Riemannovské ), zejména na dvourozměrný povrch v trojrozměrném prostoru .

Historicky se výpočet plochy nazýval kvadratura . Konkrétní hodnota plochy pro jednoduché figury jednoznačně vyplývá z prakticky důležitých požadavků na tuto koncepci ( viz níže ). Obrazce se stejnou plochou se nazývají stejné plochy.

Obecná metoda pro výpočet plochy geometrických obrazců poskytla integrální počet . Zobecněním konceptu plochy se stala teorie množinové míry , vhodná pro širší třídu geometrických objektů.

Pro přibližný výpočet plochy v praxi používají paletu nebo speciální měřicí přístroj - planimetr .

Definice pojmu oblast

Vlastnosti

Area je funkce, která má následující vlastnosti [3] [1] :

Pozitivita, to znamená, že plocha je nezáporná ( skalární ) veličina;
Aditivita , to znamená, že plocha obrázku se rovná součtu ploch jeho základních obrázků bez společných vnitřních bodů;
Invariance, to znamená, že oblasti shodných čísel jsou stejné;
Normalizováno, to znamená, že plocha jednotkového čtverce je 1.

Z této definice plochy vyplývá její monotónnost, to znamená, že plocha části obrazce je menší než plocha celého obrazce [3] .

Kvadratura čísel

Zpočátku byla definice plochy formulována pro polygony , poté byla rozšířena na kvadratické obrazce. Obrazec, který lze vepsat do mnohoúhelníku a do kterého lze vepsat mnohoúhelník, se nazývá čtvercový obrazec a plochy obou mnohoúhelníků se liší o libovolně malé množství. Taková čísla se také nazývají Jordan měřitelné [1] . U obrazců v rovině, které se neskládají z celého čísla jednotkových čtverců , se plocha určí pomocí přechodu do limitu ; požaduje se, aby obrazec i jeho ohraničení byly po částech hladké [4] . Existují nekvadratické rovinné obrazce [1] . Výše navržené axiomatické vymezení plochy u plošných obrazců bývá doplněno konstruktivním, u kterého se vlastní výpočet plochy provádí pomocí palety. Zároveň se pro přesnější výpočty v následných krocích používají palety, u kterých je délka strany čtverce desetkrát menší než délka předchozí palety [5] .

Plocha čtvercové rovinné postavy existuje a je jedinečná. Pojetí oblasti, rozšířené na obecnější množiny, vedlo k definici Lebesgueových měřitelných množin , které jsou předmětem teorie míry . V budoucnu vznikají obecnější třídy, u kterých vlastnosti oblasti nezaručují její jedinečnost [1] .

Obecná metoda pro stanovení oblasti

Plocha rovinné postavy

V praxi je nejčastěji nutné určit plochu ohraničeného obrazce s po částech hladkým okrajem. Matematická analýza nabízí univerzální metodu pro řešení takových problémů.

Kartézské souřadnice

Plochu uzavřenou mezi grafem spojité funkce na intervalu a vodorovnou osou lze vypočítat jako určitý integrál této funkce: $[a,b]$

S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx

Oblast uzavřená mezi grafy dvou spojitých funkcí na intervalu se nalézá jako rozdíl určitých integrálů těchto funkcí: $f(x),\,g(x)$ $[a,b]$

$S=\int \limits _{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\,dx$

Polární souřadnice

V polárních souřadnicích : plocha ohraničená grafem funkce a paprsky se vypočítá podle vzorce: $r=r(\theta)$ $\theta =\theta _{1},\theta =\theta _{2},\theta _{1}<\theta _{2}$

S={1 \over 2}\int \limits _{{\theta _{1}}}^{{\theta _{2}}}r^{2}(\theta )\,d\theta

Plocha povrchu

K určení plochy po částech hladkého povrchu v trojrozměrném prostoru se používají ortogonální projekce k tečným rovinám v každém bodě, po kterých se provede přechod na limit. V důsledku toho je plocha zakřivené plochy A , daná vektorovou funkcí , dána dvojitým integrálem [1] : ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u,v),$

S=\iint \limits _{A}\left|{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\mathbf {r}}}{ \partial v}}\right|\,du\,dv.

Totéž v souřadnicích:

S=\iint \limits _{A}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\ frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)))\ vpravo)^{2))\;{\mathrm {d}}\,u\,{\mathrm {d}}\,v

Zde . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Teorie oblastí

Teorie oblasti se zabývá studiem zobecnění souvisejících s rozšířením definice k-rozměrné oblasti z po částech hladkého ponoření do obecnějších prostorů. Pro plynulé ponoření f po částech je plocha určena podobným způsobem, jak je uvedeno výše, přičemž plocha si zachovává vlastnosti jako pozitivita, aditivnost , normalizace a také řadu nových.

Plošné jednotky

Metrické jednotky

Metr čtvereční , odvozená jednotka Mezinárodní soustavy jednotek (SI) ; 1 m² = 1 sa ( santiar );
Čtvereční kilometr , 1 km² = 1 000 000 m²;
hektar , 1 ha = 10 000 m²;
Ar (tkaní), 1 a \u003d 100 m²:
Čtvercový decimetr , 100 dm² = 1 m²;
Čtvercový centimetr , 10 000 cm² = 1 m²;
Čtvercový milimetr , 1 000 000 mm² = 1 m²;
Stodola , 1 b \u003d 10 −28 m².

ruské zastaralé

Čtvercový vrst = 1,13806 km²
Desátek = 10925,4 m²
Seno = 0,1 desátky - sena byla měřena v seně
Čtvercový sazhen = 4,55224 m²

Míry půdy v daňových výpočtech byly kvílení, pluh, obzha , jejichž velikost závisela na kvalitě půdy a sociálním postavení vlastníka. Existovaly také různé místní míry půdy: krabice, lano, pozemky atd.

Starověké

Ostatní

Akr
Ráj = 1600 m² (40 m × 40 m).
čtvercový parsek
Plocha Planck ( ) ≈ 2,612099 10 −70 m 2 $S_{P},{\ell }_{{P}}^{{2}}$

Vzorce pro výpočet ploch nejjednodušších obrazců

Polygony

Postava	Vzorec	Proměnné
pravoúhlý trojuhelník	$a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$A$ - délka strany trojúhelníku
Pravoúhlý trojuhelník	${\frac {ab}{2))$	$A$ a - nohy trojúhelníku $b$
Libovolný trojúhelník	${\frac {1}{2}}ah$	$A$ - strana trojúhelníku, - výška nakreslená na tuto stranu $h$
	${\frac {1}{2}}ab\sin \alpha$	$A$ a - libovolné dvě strany, - úhel mezi nimi $b$ $\alpha$
	${\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))$ ( Voavčin vzorec )	$A$ , a jsou strany trojúhelníku, je semiperimetr $b$ $C$ $p$ $\left(p={\frac {a+b+c}{2}}\right)$
	${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{ vmatrix}}$	$(x_{0};y_{0})$ _ _ _ $(x_{1};y_{1})$ $(x_{2};y_{2})$
Náměstí	$a^2$	$A$ - délka strany čtverce
Obdélník	$ab$	$A$ a jsou délky stran obdélníku (jeho délka a šířka) $b$
Kosočtverec	${\frac {1}{2}}cd$	$C$ a jsou délky úhlopříček kosočtverce $d$
Rovnoběžník	$Ah$	$A$ a - délka strany a výška na ni spuštěná $h$
Rovnoběžník	$ab\sin\alpha$	$A$ a - sousední strany rovnoběžníku, - úhel mezi nimi $b$ $\alpha$
Trapéz	${\frac {1}{2}}(a+b)h$	$A$ a - základna lichoběžníku, - výška lichoběžníku $b$ $h$
Libovolný čtyřúhelník	${\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos \alpha }}$ ( Brahmagupta vzorec )	$A$ , , , jsou strany čtyřúhelníku, je jeho půlobvod, je poloviční součet protilehlých úhlů čtyřúhelníku $b$ $C$ $d$ $p$ $\alpha$
Pravidelný šestiúhelník	$a^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	$A$ je délka strany šestiúhelníku
Pravidelný osmiúhelník	$2a^{2}(1+{\sqrt {2)))$	$A$ je délka strany osmiúhelníku
pravidelný mnohoúhelník	${\frac {P^{2}/n}{4\jméno operátora {tg}(\pi /n)))$	$P$ - obvod, - počet stran $n$
Libovolný mnohoúhelník (konvexní a nekonvexní)	${\frac {1}{2}}\left\|\sum _{{i=1}}^{{n}}(x_{{i+1}}-x_{i})(y_{{i+ 1 }}+y_{i})\vpravo\|$ ( lichoběžníková metoda )	$(x_{i};y_{i})$ jsou souřadnice vrcholů polygonu v pořadí, v jakém jsou obcházeny, přičemž poslední se uzavírá prvním: ; pokud jsou zde otvory, směr jejich obchvatu je opačný než obchvat vnější hranice polygonu $(x_{{n+1}};y_{{n+1}})=(x_{1};y_{1})$
Libovolný mnohoúhelník (konvexní a nekonvexní)	Výpočet ploch polygonů podle Sarronovy metody [6] . Existuje analytický vzorec.	Dané délky stran mnohoúhelníku a azimutové úhly stran

Plochy kruhu, jeho části, opsané a vepsané obrazce

Postava	Vzorec	Proměnné
Kruh	$\pi r^{2}$ nebo ${\frac {\pi d^{2}}{4}}$	$r$ - poloměr, - průměr kruhu $d$
kruhový sektor	${\frac {\alpha r^{2}}{2}}$	$r$ je poloměr kruhu, je středový úhel sektoru (v radiánech ) $\alpha$
kruhový segment	${\frac {r^{2}}{2}} (\alpha -\sin \alpha )$	$r$ je poloměr kruhu, je středový úhel segmentu (v radiánech ) $\alpha$
Elipsa	$\pi ab$	$A$ , jsou hlavní a vedlejší poloosy elipsy $b$
Trojúhelník vepsaný do kruhu	${\frac {abc}{4R))$	$A$ , a jsou strany trojúhelníku, je poloměr kružnice opsané $b$ $C$ $R$
Čtyřúhelník vepsaný do kruhu	${\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)))$ ( Brahmagupta vzorec )	$A$ , , , jsou strany čtyřúhelníku, je jeho půlobvod $b$ $C$ $d$ $p$
Mnohoúhelník opsaný kolem kruhu	${\frac {1}{2}}Pr$	$r$ - poloměr kružnice vepsané do mnohoúhelníku, - obvod mnohoúhelníku $P$
Obdélníkový lichoběžník opsaný kolem kruhu	$ab$	$A$ , - základny lichoběžníku $b$

Povrchové plochy těles ve vesmíru

Tělo	Vzorec	Proměnné
Plná plocha pravého kruhového válce	$2\pi r(r+h)$	$r$ a jsou poloměr a výška $h$
Boční plocha pravého kruhového válce	$2\pi rh$	$r$ a jsou poloměr a výška $h$
Plná plocha pravého kruhového kužele	$\pi r(l+r)$	$r$ a jsou poloměrem a tvořící přímkou bočního povrchu $l$
Boční plocha pravého kruhového kužele	$\pi rl$	$r$ a jsou poloměrem a tvořící přímkou bočního povrchu $l$
Povrch koule ( koule )	$4\pi r^{2}$ nebo $\pi d^{2}$	$r$ a jsou poloměr a průměr $d$
Boční plocha rovného hranolu	$Ph$	$P$ - obvod základny, - výška $h$
Celková plocha libovolného hranolu	${\displaystyle 2A_{1}+A_{2))$	$A_{1}$ - základní plocha - boční plocha $A_{2}$

Historický nástin

Plocha rovinných figurek

Po mnoho let byla oblast považována za primární koncept, který nevyžadoval definici. Hlavním úkolem matematiků bylo vypočítat plochu, přičemž byly známy základní vlastnosti plochy [3] . Ve starověkém Egyptě se používala přesná pravidla pro výpočet plochy obdélníků, pravoúhlých trojúhelníků a lichoběžníků, plocha libovolného čtyřúhelníku byla určena přibližně jako součin polovičních součtů dvojic protilehlých stran. Použití takového přibližného vzorce je způsobeno tím, že plochy, jejichž plocha musela být měřena, byly většinou blízko obdélníku a chyba v tomto případě zůstala malá. Historik matematiky A. P. Juškevič naznačuje, že Egypťané možná nevěděli, že používají přibližný vzorec. Úloha 50 Rhindova papyru obsahuje vzorec pro výpočet plochy kruhu, který byl považován za rovný ploše čtverce o straně 8/9 průměru kruhu [7] . Stejné vzorce byly použity v Babylonu , ale pro oblast kruhu byla aproximace méně přesná. Babyloňané navíc uměli přibližně vypočítat plochy pravidelných pěti, šesti a sedmiúhelníků se stranou rovnou jedné. V sexagesimálním systému odpovídaly 1,40 , 2,37,20 a 3,41 [ 8] .

Hlavní metodou pro výpočet plochy v tomto případě byla konstrukce čtverce, jehož plocha se rovná ploše daného polygonálního obrazce, zejména v knize I Euklida . 's Beginnings , která se věnuje planimetrii přímočarých obrazců, je dokázáno, že trojúhelník je roven polovině obdélníku, který má stejné základny a výšku [9] . Expanzní metoda založená na skutečnosti, že dva stejně složené obrazce jsou stejně velké, umožnila také vypočítat plochy rovnoběžníků a libovolných mnohoúhelníků [5] .

Dalším krokem byl výpočet ploch kruhu, kruhového sektoru, otvorů a dalších obrazců. Základem výpočtů v tomto případě byla metoda vyčerpání polygony [1] [5] , ze které vychází teorie limit . Metoda spočívá v sestrojení posloupnosti ploch, které s postupným přibýváním požadovanou plochu „vyčerpají“. Metoda vyčerpání, která dostala své jméno až v 17. století, je založena na Eudoxově-Archimedově axiomu kontinuity a je připisována Eudoxovi z Knidu , který s ní ukázal, že plochy kruhů spolu souvisí jako čtverce jejich průměry. Metoda je popsána v Euklidových prvcích: Eudoxův axiom je formulován v knize V a samotná metoda vyčerpání a vztahy na ní založené jsou v knize XII [9] . Zvláštní dokonalosti v aplikaci metody dosáhl Archimedes , který s jeho pomocí vypočítal plochu segmentu paraboly a další [10] [11] . Archimédovo dílo „O spirálách“ zahrnuje mnoho výroků týkajících se oblastí různých závitů spirály a jejich poměrů [12] . Archimedes přišel s myšlenkou použít plochy nebo objemy vepsaných i opsaných obrazců k určení požadované plochy nebo objemu [13] .

Indové nejprve používali stejný vzorec pro výpočet čtyřúhelníků jako Egypťané a Řekové. Brahmagupta použil vzorec pro oblast čtyřúhelníků, vyjádřenou v jejich půlobvodu, což platí pro čtyřúhelník vepsaný do kruhu. Vzorce pro výpočet plochy se většinou neprokázaly, ale byly demonstrovány vizuálními nákresy [14] . Brahmaguptův vzorec je analogií Heronova vzorce pro oblast trojúhelníku, který citoval ve své „Metrics“ [15] .

K rozvoji a zobecnění metody vyčerpání došlo až v 17. století. V roce 1604 Valerio ve svých Třech knihách o těžišti těles široce využívá větu, podle níž může být rozdíl mezi plochami vepsaných a opsaných obrazců složených z rovnoběžníků menší než jakákoli daná plocha [16]. . Skutečný průlom udělal Kepler , který potřeboval být schopen vypočítat plochu elipsy pro astronomické výpočty. Kepler považoval oblast za „součet čar“ a tím, že elipsu řídil v krocích po jednom stupni, ukázal [17] , že . Cavalieri , dokládající podobnou metodu, nazvanou „ metoda nedělitelných “, porovnával plochy rovinných obrazců pomocí řezu obrazců rovnoběžnými čarami [18] . Použití primitivního prvku k nalezení oblasti rovinné postavy je nejuniverzálnější metodou. Pomocí primitivní funkce je dokázán Cavalieriho princip , podle kterého mají dvě ploché postavy stejnou plochu, jestliže každá z nich protíná přímku rovnoběžnou s pevnou, získáme úsečky stejné délky. Princip byl znám dávno před vznikem integrálního počtu [1] [5] . $\int \limits _{0}^{\varphi }\sin xdx=1-\cos \varphi$

Plocha povrchu

Archimedes se zabýval výpočtem ploch zakřivených ploch, přičemž určil zejména plochu koule [13] . Obecně platí, že k určení plochy nelze použít ani rozmítání (nevhodné pro kouli), ani aproximaci polyedrickými plochami, tedy obdobu metody odsávání. To druhé ukázal Schwartz konstrukcí sekvencí pro postranní sekvenci válce, které vedou k různým výsledkům (tzv. Schwartzova bota ) [1] [19] .

Obecnou metodu pro výpočet povrchové plochy na přelomu 19. a 20. století navrhl Minkowski , který pro každý povrch vytvořil „obalovou vrstvu“ o malé konstantní tloušťce, pak se plocha povrchu bude přibližně rovnat objemu tohoto povrchu. vrstva dělená její tloušťkou. Průchod k hranici, kdy tloušťka má tendenci k nule, dává přesnou hodnotu plochy. Podle Minkowského však vlastnost aditivity není pro danou oblast vždy splněna. Zobecnění této definice vede ke konceptu čáry podle Minkowského a dalších [20] .

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Oblast // Matematická encyklopedie (v 5 dílech) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 4.
↑ Chirková, Natalya Ivanovna a Valentina Nikolaevna Zinovieva. Utváření představ o oblasti objektů a její měření u dětí základních škol Archivní kopie ze dne 28. dubna 2019 na Wayback Machine // Bulletin of Kaluga University 1 (2017): 92-97.
↑ 1 2 3 Geometrie, 1966 , str. 7-13.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - Ed. 6. - M. : FIZMATLIT, 1966. - T. 2. - S. 186-224. — 800 s.
↑ 1 2 3 4 Boltyansky V. O pojmech plochy a objemu. Archivováno 5. května 2017 ve Wayback Machine Kvant , č. 5, 1977, s. 2-9
↑ Khrenov L. S. Výpočet ploch polygonů pomocí Sarronovy metody // Matem. vzdělání. 1936. Číslo 6. S. 12-15
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 30-32.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 47-53.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 111-114.
↑ Metoda vyčerpání // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 2.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 101-105.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , s. 127-128.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 117-124.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 197-198.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , s. 172, 219.
↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 131-135.
↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 166-171.
↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 174-181.
↑ V. N. Dubrovský, Při hledání stanovení povrchové plochy Archivní kopie z 27. června 2017 na Wayback Machine . Kvantová . 1978. č. 5. S. 31-34.
↑ V. N. Dubrovsky, Plocha povrchu podle Minkowského Archivováno 15. února 2017 na Wayback Machine . Kvantová . 1979. č. 4. S.33-35.

Literatura

Encyklopedie elementární matematiky. Kniha pátá. Geometrie / editovali P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich a A. Ya. Khinchin. — M .: Nauka, 1966. — 624 s.
Rashevsky PK Riemann geometrie a tenzorová analýza. Ed. 3., M.: Nauka, 1967.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - M. : FIZMATLIT, 1960. - T. 2. - 680 s. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Historie matematiky: ve 3 svazcích / editoval A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Od starověku do počátku Nového věku.
Historie matematiky: ve 3 svazcích / editoval A. P. Juškevič. - M . : Nauka, 1970. - T. II: Matematika 17. století.
Boyer CB, Merzbach UC Historie matematiky . — John Wiley & Sons, 2010. — 640 s. Archivováno 9. července 2019 na Wayback Machine