Hodně

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. července 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Množina je jedním z klíčových pojmů matematiky ; což je množina, soubor libovolných (obecně řečeno jakýchkoli) objektů - prvků této množiny [1] . Dvě množiny jsou si rovny právě tehdy, když obsahují přesně stejné prvky [2] .

Studiem obecných vlastností množin se zabývá teorie množin , stejně jako příbuzné obory matematiky a matematické logiky . Příklady: množina obyvatel daného města, množina spojitých funkcí , množina řešení dané rovnice. Množina může být prázdná nebo neprázdná , uspořádaná nebo neuspořádaná , konečná nebo nekonečná . Nekonečná množina může být spočetná nebo nepočitatelná . Navíc v naivní i axiomatických teoriích množin je za množinu obecně považován jakýkoli objekt. Koncept množiny umožňuje téměř všem odvětvím matematiky používat společnou ideologii a terminologii.

Historie konceptu

Základy teorie konečných a nekonečných množin položil Bernard Bolzano , který formuloval některé její principy [3] [4] [5] .

Georg Cantor publikoval v letech 1872 až 1897 (hlavně v letech 1872-1884) řadu prací, v nichž byly systematicky prezentovány hlavní obory teorie množin, včetně teorie bodových množin a teorie transfinitních čísel (kardinálních a ordinálních) [6 ] . V těchto dílech představil nejen základní pojmy teorie množin, ale také obohatil matematiku o argumenty nového typu, které aplikoval k dokazování teorémů v teorii množin, zejména poprvé na nekonečné množiny. Proto se obecně uznává, že Georg Cantor vytvořil teorii množin. Konkrétně definoval množinu jako „jediný název pro kolekci všech objektů, které mají danou vlastnost“ a nazval tyto objekty prvky množiny . Množinu všech objektů, které mají nějakou vlastnost (tedy výrok, jehož pravdivost závisí na hodnotě proměnné x ), označil a vlastnost samotná byla nazvána charakteristickou vlastností množiny . $Sekera)$ $\{x\mid A(x)\},$ $Sekera)$ $X.$

Navzdory dobré kvalitě této definice vedlo Cantorovo pojetí k paradoxům – zejména k Russellovu paradoxu .

Protože teorie množin je ve skutečnosti používána jako základ a jazyk všech moderních matematických teorií, v roce 1908 byla teorie množin axiomatizována nezávisle Bertrandem Russellem a Ernstem Zermelem . V budoucnu byly oba systémy revidovány a změněny, ale v zásadě si zachovaly svůj charakter. Ty jsou známé jako Russellova teorie typu a Zermelova teorie množin . Následně se Cantorova teorie množin stala známou jako naivní teorie množin a teorie (zejména Russell a Zermelo), přestavěná po Cantorovi, se stala axiomatickou teorií množin .

V praxi, která se vyvíjela od poloviny 20. století, je množina definována jako model, který splňuje axiomy ZFC (axiomy Zermelo-Fraenkel s axiomem výběru ). S tímto přístupem však v některých matematických teoriích vznikají kolekce objektů, které nejsou množinami. Takové kolekce se nazývají třídy (různých řádů).

Prvek sady

Objekty, které tvoří množinu, se nazývají prvky množiny nebo množinové body . Sady se nejčastěji označují velkými písmeny latinské abecedy , jejich prvky jsou malá. Pokud je prvkem množiny , pak píší („ patří “). Pokud to není prvek množiny , pak píší („ nepatří “). $A$ $A$ $v A$ $A$ $A$ $A$ $A$ $a\notin A$ $A$ $A$

Pokud je každý prvek množiny obsažen v , pak píší („ leží v , je jeho podmnožinou “). Podle teorie množin, if , pak pro jakýkoli prvek buď , nebo je definováno . $A$ $B$ $A\podmnožina B$ $A$ $B$ $X\podmnožina Y$ $a\in Y$ $a\in X$ $a\not \in X$

Pořadí, ve kterém jsou prvky množiny zapsány, tedy neovlivňuje množinu samotnou, tedy . Z výše uvedeného navíc vyplývá, že pro množinu není definován počet výskytů identických prvků, tedy obecně řečeno, záznam nedává smysl, jde-li o množinu. Správné však bude psát set . $\{6,11\}=\{11,6\}$ $A=\{11,11,6,11,6\}$ $A$ $B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}$

Určení sady

Existují dva hlavní způsoby, jak definovat množiny : seznamem prvků a jejich popisem.

Výčet

První metoda vyžaduje specifikaci (výpis) všech prvků obsažených v sadě. Například množina nezáporných sudých čísel menších než 10 je dána vztahem: Tuto metodu je vhodné aplikovat pouze na omezený počet konečných množin. $Y$ $Y=\{0,2,4,6,8\}.$

Popis

Druhá metoda se používá, když množinu nelze nebo je obtížné určit výčtem (například pokud množina obsahuje nekonečný počet prvků). V tomto případě jej lze popsat vlastnostmi prvků, které k němu patří.

Množina je specifikována, pokud je zadána podmínka , kterou splňují všechny prvky a kterou nesplňují . určit $Y\subset X$ $Sekera)$ $x\in X:x\in Y$ $x\in X:x\notin Y$ $Y={\big \{}x\in X:A(x){\big \}}.$

Například graf funkce lze definovat takto: $f\dvojtečka X\to Y$

\Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\times Y:f(x)=y{\big \)),

kde je kartézský součin množin. $\krát$

Vztahy mezi množinami

Pro množiny a mohou být dány vztahy : $A$ $B$

$A$ je zahrnuto v případě, že každý prvek množiny také patří do množiny : $B$ $A$ $B$ $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\Rightarrow a\in B$
$A$ zahrnuje , pokud je součástí : $B$ $B$ $A$ $A \supseteq B \Šipka doleva B \subseteq A$
$A$ rovná se , pokud a jsou zahrnuty v sobě: $B$ $A$ $B$ $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B,\,B\subseteq A$
- Pro jakékoli sady $A=A$
- Pokud , pak $A=B$ $B=A$
- Pokud , tak . $A=B$ $B=C$ $A=C$

Někdy se striktní zahrnutí ( ) rozlišuje od nepřísného ( ), liší se tím od . Ve většině případů však není přísnost inkluzí popsána, proto existují záznamy o libovolných inkluzích s přísnými inkluzními znaky. $A\podmnožina B$ $A\subseteq B$ $A\podmnožina B\není \Rightarrow A=B$

Operace na množinách

Pro vizuální znázornění operací se často používají Vennovy diagramy , které prezentují výsledky operací s geometrickými tvary jako soubory bodů.

Základní operace

křižovatka : (množina společných bodů) $A\cap B=\{x:x\in A,\,x\in B\};$
unie : (množina všech bodů) $A\cup B=\{x,y:x\in A,\,y\in B\};$

Spojení disjunktních a ( ) také znamená:

A

B

A\cap B=\varnonic

A+B=A\cup B;

rozdíl : (množina bodů prvního bez druhého) $A\setminus B=\{x:x\in A,\,x\notin B\};$
symetrický rozdíl : $A\bigtriangleup B\equiv A~{\tečka {-}}~B=(A\pohár B)\setminus (A\cap B);$

přídavek pro (set bez ): $A\podmnožina B$ $B$ $A$ ${\overline {A}}\equiv A^{\complement }=B\setminus A;$

boolean (množina všech podmnožin): $A$ $2^{A}=\{X:X\subset A\}.$

Pro operace na množinách platí také de Morganovy zákony :

$A\obrácené lomítko (B\cap C)=(A\obrácené lomítko B)\cup (A\obrácené lomítko C)$

$A\obrácené lomítko (B\cup C)=(A\obrácené lomítko B)\cap (A\obrácené lomítko C)$

Důkaz

Ukazatel množiny zavedeme jako Je snadné ukázat, že Jedno z tvrzení dokážeme za předpokladu, že druhý důkaz je podobný: . (použitý ) $A$ $I_{a}:X\supset A\to \{0,1\}:I_{a}(x)={\begin{cases}1,\,\forall x\in A,\\0 ,\,\forall x\notin A;\end{cases}}$
$I_{a\cap b}=I_{a}I_{b};\,\,\,I_{a\cup b}=I_{a}+I_{b}-I_{a}I_{ b};\,\,\,I_{a\setminus b}=I_{a}-I_{a}I_{b}.$

$A\zpětné lomítko (B\cup C)\,\,\Šipka doleva doprava I_{a}-I_{a}\cdot I_{b\cup c}\,\,\Šipka doleva doprava I_{a}-I_{a }\cdot (I_{b}+I_{c}-I_{b}\cdot I_{c})=I_{a}-I_{a}\cdot I_{b}-I_{a}\cdot I_{ c}+I_{a}\cdot I_{b}\cdot I_{c}=$
$=I_{a}^{2}-I_{a}^{2}\cdot I_{b}-I_{a}^{2}\cdot I_{c}+I_{a}\cdot I_ {c}\cdot I_{b}=(I_{a}-I_{a}\cdot I_{b})\cdot (I_{a}-I_{a}\cdot I_{c})\Leftrightarrow (A \obrácené lomítko B)\cap (A\obrácené lomítko C)$ $I_{a}^{2}=I_{a}$

Priorita operací

Posloupnost provádění operací na množinách může být jako obvykle uvedena v závorkách. Při absenci závorek se nejprve provedou unární operace (doplněk), poté průniky , poté sjednocení , rozdíly a symetrické rozdíly . Operace se stejnou prioritou se provádějí zleva doprava. Zároveň je třeba si uvědomit, že na rozdíl od aritmetického sčítání a odčítání , pro které zejména platí, že , to pro podobné operace na množinách neplatí. Například, pokud pak , ale zároveň, . $(a+b)-c=a+(bc)$ $A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\},$ $(A\cup B)\setminus C=\{1\},$ $A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}$

Kartézský součin

Kartézský součin množin je množina označená , jejíž prvky jsou všechny možné dvojice prvků původních množin; $A$ $B$ $(A\times B)$ $A\times B=\{\{a,b\}:a\v A,\,b\v B\}.$

Je vhodné si představit, že prvky kartézského součinu vyplňují tabulku prvků, jejíž sloupce popisují všechny prvky jedné množiny, respektive řádky jiné.

Napájení

Mocnina množiny je charakteristika množiny, která zobecňuje pojem počtu prvků konečné množiny tak, že množiny, mezi nimiž je možné zavést bijekci , jsou stejně mocné. Označeno nebo . Mohutnost prázdné množiny je nula, pro konečné množiny se mohutnost shoduje s počtem prvků, pro nekonečné množiny jsou zavedena speciální kardinální čísla , která spolu korelují podle principu inkluze (if , pak ) a rozšiřují vlastnosti booleovská mohutnost konečné množiny: v případě nekonečných množin. Samotné označení je z velké části motivováno touto vlastností. $|A|$ $\ostrý A$ $A\subseteq B$ $|A| \leqslant |B|$ $|2^A| = 2^{|A|}$ $2^A$

Nejmenší nekonečná mocnina se značí , jedná se o mocninu spočetné množiny (bijektiv ). Mohutnost množiny kontinua (bijektivní nebo ) se značí nebo . V mnoha ohledech je definice mocniny kontinua založena na hypotéze kontinua - předpokladu, že mezi spočetnou mocninou a mocninou kontinua neexistují žádné mezilehlé mocniny. $\aleph_0$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $2^{\mathbb {N} }$ $\mathfrak c$ $2^{\aleph_0}$

Některé druhy sad a podobných objektů

Speciální sady

Prázdná množina je množina, která neobsahuje žádné prvky.
Jednoprvková sada je sada, která má jeden prvek.
Univerzální množina (vesmír) je množina obsahující všechny myslitelné předměty. V souvislosti sRussellovým paradoxem jetento pojem v současnosti interpretován úžeji jako „množina, která zahrnuje všechny množiny a objekty participující na uvažovaném problému“.

Podobné objekty

N-tice (konkrétně uspořádaný pár ) je uspořádaná kolekce konečného počtu pojmenovaných objektů. Zapisuje se do závorek nebo lomených závorek a prvky se mohou opakovat.
Multimnožina (v teorii Petriho sítí se nazývá „množina“) je množina s více prvky.
Prostor je soubor s nějakou další strukturou.
Vektor je prvek lineárního prostoru obsahujícího konečný počet prvků nějakého pole jako souřadnice. Na pořadí záleží, prvky se mohou opakovat.
Posloupnost je funkcí jedné přirozené proměnné. Představuje se jako nekonečná množina prvků (ne nutně odlišných), na jejichž pořadí záleží.
Fuzzy množina je matematický objekt podobný množině, jejíž příslušnost není dána relací , ale funkcí . Jinými slovy, pokud jde o prvky fuzzy množiny, lze říci, „do jaké míry“ jsou v ní zahrnuty, a nikoli pouze to, zda jsou v ní zahrnuty nebo ne.

Podle hierarchie

Množinový systém (množina množin) je množina, jejíž všechny prvky jsou také množinami, obvykle podobného původu (např. všechny mohou být podmnožinami nějaké jiné množiny) [7] .
- Algebra množin , kruh množin jsou příklady typů struktur, které jsou soustavami množin.
- Boolean je množina všech podmnožin dané množiny.
Rodina množin je indexovaná analogie systému množin.
Podmnožina
superset

Poznámky

↑ Sada // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3. - S. 762.
↑ Stoll, Robert. Množiny, logické a axiomatické teorie . - W. H. Freeman and Company, 1974. - S. 5 .
↑ Steve Russ. Matematická díla Bernarda Bolzana . - OUP Oxford, 9. prosince 2004. - ISBN 978-0-19-151370-1 . Archivováno 27. dubna 2022 na Wayback Machine
↑ William Ewald. From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics / William Ewald, William Bragg Ewald. - OUP Oxford, 1996. - S. 249. - ISBN 978-0-19-850535-8 . Archivováno 22. dubna 2022 na Wayback Machine
↑ Paul Rusnock. Bernard Bolzano: Jeho život a dílo / Paul Rusnock, Jan Šebestík. - OUP Oxford, 25. dubna 2019. - S. 430. - ISBN 978-0-19-255683-7 . Archivováno 17. dubna 2022 na Wayback Machine
↑ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung nebo unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen." Archivovaná kopie . Získáno 22. dubna 2011. Archivováno z originálu 10. června 2011. (neurčitý)
↑ Studopedia - Teorie množin . Staženo 2. května 2020. Archivováno z originálu dne 25. listopadu 2020. (neurčitý)

Literatura

K. Kuratovský , A. Mostovský . Teorie množin / Z angličtiny přeložil M. I. Stručně, upravil A. D. Taimanov. - M .: Mir, 1970. - 416 s.
Sady Stoll R. R. Logika. axiomatických teorií. / Překlad z angličtiny Yu. A. Gastev a I. Kh. Shmain, editoval Yu. A. Shikhanovich . - M . : Vzdělávání, 1968. - 232 s.

Logika

Filosofie • Sémantika • Syntaxe • Historie

Logické skupiny

klasická logika	Aristotelská logika výroková logika Logika prvního řádu Logika druhého řádu logika vyššího řádu
matematická logika	teorie množin Teorie modelu Teorie vyčíslitelnosti Důkazová teorie a konstruktivní matematika Lineární logika formální systém přirozený závěr Sekvenční počet Algebra logiky Relevantní logika Deontická logika intuicionistická logika Lambekův počet
Neklasická logika	intuicionismus fuzzy logika Substrukturální logika logika Popisná logika Vícehodnotová logika Logická syntéza Závazná logika Časová logika Modální logika ( Hybrid logic ) epistemická logika
Filosofická logika	Kritické myšlení neformální logika deduktivní uvažování

Komponenty

Seznam booleovských symbolů

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4038613-2 NKC : ph122926