E₈ (matematika)

$E_8$ je největší speciální jednoduchá Lieova grupa . byl objeven Wilhelmem Killingem v letech 1888-1890 a jeho moderní označení pochází z klasifikace jednoduchých Lieových algeber , kterou zavedli Elie Cartan a Wilhelm Killing . Klasifikace rozlišuje čtyři nekonečné rodiny jednoduchých Lieových algeber , , , , , a pět speciálních případů, označovaných E 6 , E 7 , E 8 , F 4 a G 2 . $E_8$ $A_{n}$ $B_{n}$ $C_{n}$ $D_{n}$

Popis

$E_8$ má hodnost 8 a dimenzi 248 (jako varieta ). Vektory kořenového systému jsou definovány v osmi rozměrech.

Dynkinovo schéma

Dynkinovo schéma pro E 8 má tvar

Toto schéma stručně popisuje strukturu kořenového systému. Každý uzel schématu je jednoduchý kořen. Čára spojující dva jednoduché kořeny znamená, že jsou vůči sobě v úhlu 120°. Dva jednoduché kořeny, které nejsou spojeny přímkou, jsou ortogonální.

Cartan matice

Cartanova matice kořenového systému řádu r je matice, jejíž prvky jsou určeny jednoduchými kořeny takto: $r\krát r$

A_{{ij))=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i)))))

kde je euklidovský skalární součin a jsou jednoduché kořeny. Maticové prvky nejsou závislé na volbě jednoduchých kořenů (na objednávku). $(\cdot, \cdot)$ $\alpha_i$

Cartanova matice pro E 8 má tvar

\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0-1&0 1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]

Determinant této matice je 1.

Viz také

Odkazy

"No, velmi velký výsledek" , Computerra , Galaktion Andreev, 11. dubna 2007
„Teoretici pronikají do 248rozměrného prostoru“ , Cnews , 20. března 2007

Výjimečné jednoduché lži grupy
G₂ F₄ E₆ E₇ E₈

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace