Skupina Mathieu

Mathieuovy skupiny  jsou pět sporadických jednoduchých skupin , M 11 , M 12 , M 22 , M 23 a M 24 , které představil Émile Leonard Mathieu [1] [2] . Skupiny jsou vícenásobně tranzitivní permutační skupiny 11, 12, 22, 23 nebo 24 objektů. Jednalo se o první otevřené sporadické skupiny.

Někdy se pro spojené grupy (které působí na množiny s 9, 10, 20 a 21 body) používá označení M 9 , M 10 , M 20 a M 21 , a to bodové stabilizátory ve větších skupinách. Přestože se nejedná o sporadické jednoduché skupiny, jedná se o podskupiny větších skupin a lze je použít k jejich konstrukci. John Conway ukázal, že tato sekvence může být rozšířena tak, aby poskytla grupoid Mathieu M 13 působící na 13 bodech. M 21 je jednoduchá, ale ne sporadická skupina, která je izomorfní k PSL(3,4).

Historie

Mathieu [3] představil grupu M 12 v rámci studia vícenásobně tranzitivních permutačních grup a krátce se zmínil (na str. 274) o grupě M 24 s uvedením jejího pořadí. V dokumentu z roku 1873 [2] uvedl další podrobnosti, včetně explicitních generovacích sad pro tyto skupiny, ale z jeho argumentů, že generované skupiny nejsou jen střídající se skupiny , není skupina snadno patrná , a po několik let byla existence skupin na pochybách. Miller [4] dokonce publikoval článek mylně dokazující, že M 24 neexistuje, i když krátce poté v článku z roku 1900 [5] uznal, že důkaz byl chybný a podal důkaz, že Mathieuovy grupy jsou jednoduché. Witt [6] [7] definitivně ukončil pochybnosti o existenci těchto grup tím, že je zkonstruoval jako postupná tranzitivní rozšíření permutačních grup a také jako grupy automorfismů Steinerových systémů .

Po skupinách Mathieu nebyly objeveny žádné nové sporadické skupiny až do roku 1965, kdy byla objevena skupina J 1 .

Vícenásobné tranzitivní skupiny

Mathieu se zajímal o nalezení vícenásobně tranzitivních permutačních grup. Pro přirozené číslo k je permutační grupa G působící na n bodech k - tranzitivní , pokud jsou dány dvě množiny bodů a 1 , … a k a b 1 , … b k s vlastností, že všechna a i jsou různá a všechna b i jsou různé, existuje prvek g v G , který mapuje a i až b i pro všechna i od 1 do k . O takové skupině se říká , že je ostře k -tranzitivní , pokud je prvek g jedinečný (to znamená, že akce na k -tice je regulární (přísně tranzitivní), nikoli pouze tranzitivní).

Skupina M 24 je 5-tranzitivní a skupina M 12  je ostře 5-tranzitivní. Ostatní Mathieuovy grupy (jednoduché a nejednoduché), které jsou podskupinami odpovídajícími m - bodovým stabilizátorům, mají nižší tranzitivitu ( M 23 je 4-tranzitivní atd.).

Jediné 4-tranzitivní skupiny jsou symetrické grupy Sk pro k alespoň 4, střídavé grupy Ak pro k rovné nebo větší než 6 a Mathieuovy grupy M 24 , M 23 , M 12 a M 11 [8] .

Klasickým výsledkem je Jordanův výsledek , že pouze symetrické a střídající se grupy (o stupních k a k  + 2), stejně jako M 12 a M 11 jsou ostře k - tranzitivní permutační grupy pro k alespoň 4.

Důležité příklady vícenásobně tranzitivních grup jsou 2-tranzitivní grupy a Zassenhausovy grupy . Zassenhausovy grupy zvláště zahrnují projektivní obecnou lineární grupu projektivní přímky nad konečným polem, PGL(2, F q ), která je ostře 3-tranzitivní (viz duální vztah ) na prvcích.

Tabulka řádů a průchodnosti

Konstrukce Mathieuových skupin

Mathieu skupiny mohou být konstruovány různými způsoby.

Permutační skupiny

M 12 má jednoduchou podgrupu řádu 660, maximální podgrupu. Tato podgrupa je izomorfní k projektivní speciální lineární grupě PSL 2 ( F 11 ) přes pole 11 prvků . Je-li −1 označeno a a nekonečno b , jsou tyto dva standardní generátory permutacemi (0123456789a) a (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Třetí generátor, který dává M 12 , přebírá prvek x grupy F 11 do , jako v permutaci (26a7) (3945).

Tato grupa není izomorfní k žádnému z členů nekonečných rodin konečných jednoduchých grup a nazývá se sporadická. M 11 je bodový stabilizátor v M ​​12 a také se ukazuje jako sporadická jednoduchá skupina. M 10 , stabilizátor dvou bodů, není sporadický, ale je téměř jednoduchou skupinou, jejíž komutantem je alternující skupina A 6 . Souvisí s výjimečným vnějším automorfismem skupiny A 6 . 3-bodový stabilizátor je projektivní speciální unitární skupina PSU(3,2 2 ), která je řešitelná. 4 bodový stabilizátor je kvaternionová skupina .

Podobně M24 má maximální jednoduchou podskupinu řádu 6072 izomorfní k PSL2 ( F23 ) . Jeden generátor přidá 1 ke každému prvku pole (bod N ponechá v nekonečnu neměnný), tedy permutaci (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ), a druhý je permutace s obrácením pořadí , (0N)(1M)(2B )(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Třetí generátor, který dává M 24 , převádí prvek x skupiny F 23 na . Výpočty ukazují, že se jedná o permutaci (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Stabilizátory 1 a 2 body, M 23 a M 22 se také ukazují jako sporadické jednoduché skupiny. 3-bodový stabilizátor je jednoduchá skupina a je izomorfní k projektivní speciální lineární skupině PSL 3 (4).

Tyto konstrukce byly citovány Carmichaelem [9] . Dixon a Mortimer [10] připisují permutace Émile Mathieuovi.

Skupiny automorfismu Steinerových systémů

Existuje až do ekvivalence unikátní S (5,8,24) Steinerův systém W 24 ( Wittovo schéma ). Skupina M 24 je skupina automorfismu tohoto Steinerova systému, to znamená množina permutací, které mapují každý blok na nějaký jiný blok. Podskupiny M 23 a M 22 jsou definovány jako stabilizátory jednoho bodu, respektive dvou bodů.

Podobně existuje až do ekvivalence jedinečný S(5,6,12) Steinerův systém W 12 a grupa M 12 je jeho grupou automorfismu. Podskupina M 11 je bodový stabilizátor.

W 12 lze zkonstruovat z afinní geometrie na vektorovém prostoru F 3 × F 3 , systému S (2,3,9).

Alternativní konstrukcí W 12  je „kotě“ Curtise [11] .

Úvod do sestavení W 24 s úžasným oktadovým generátorem R. T. Curtise a Conwayovým W 12 analogem ( ) lze nalézt v knize Conwaye a Sloana .

Skupiny automorfismu Golayových kódů

Skupina M 24 je skupina automorfismů permutací rozšířeného binárního Golayova kódu W , tedy skupina permutací 24 souřadnic mapujících W do sebe. Všechny Mathieuovy skupiny lze konstruovat jako permutační skupiny binárních Golayových kódů.

M12 má index 2 ve své skupině automorfismu a M12 : 2 je izomorfní k podskupině M24 . M 12 je 12-ti jednotkový kódový stabilizátor. M 12 :2 stabilizuje úsek ve dvou komplementárních kódech po 12 bitech.

Mezi skupinami Mathieu a většími skupinami Conway existuje přirozené spojení , protože mřížka Leach byla postavena na binárním Golayově kódu a obě skupiny ve skutečnosti leží v prostoru dimenze 24. Skupiny Conway se nacházejí v Monster . Robert Gries odkazuje na 20 sporadických skupin nalezených v Monster jako The Happy Family a na skupiny Mathieu jako na první generaci .

Dessins d'enfants

Skupiny Mathieu lze sestavit pomocí dessins d'enfants (fr: dětská kresba) [12] a kresba spojená s M 12 se nazývá „Monsieur Mathieu“ (Monsieur Mathieu) [13] od le Bruna .

Poznámky

1. ↑ Mathieu, 1861 .
2. ↑ 12. Mathieu , 1873 .
3. ↑ Mathieu, 1861 , str. 271.
4. ↑ Miller, 1898 .
5. ↑ Miller, 1900 .
6. ↑ Witt, 1938a .
7. ↑ Witt, 1938b .
8. ↑ Cameron, 1999 , s. 110.
9. ↑ Carmichael, 1956 , s. 151, 164, 263.
10. ↑ Dixon, Mortimer, 1996 , s. 209.
11. ↑ Curtis, 1984 .
12. ↑ Doslova - dětská kresba (fr.). Termín navrhl Grothendieck pro jeden z typů vkládání grafů.
13. ↑ le Bruyn, 2007 .

Literatura

• Gorenstein D. Konečné jednoduché grupy. — 1985.
• Peter J. Cameron. Permutační skupiny. - Cambridge University Press , 1999. - V. 45. - (London Mathematical Society Student Texts). - ISBN 978-0-521-65378-7 .
• Robert D. Carmichael. Úvod do teorie grup konečného řádu . - New York: Dover Publications , 1956. - ISBN 978-0-486-60300-1 . Původní rok vydání: 1937
• C. Choi. O podskupinách M 24 . I: Stabilizátory podmnožin // Transactions of the American Mathematical Society. — Americká matematická společnost, 1972a. - Květen ( v. 167 ). — S. 1–27 . - doi : 10.2307/1996123 . — .
• C. Choi. O podskupinách M 24 . II: The Maximal Subgroups of M 24  // Transactions of the American Mathematical Society. — Americká matematická společnost, 1972b. - Květen ( v. 167 ). — S. 29–47 . - doi : 10.2307/1996124 . — .
• John Horton Conway . Tři přednášky o výjimečných skupinách // Finite simple groups / MB Powell, Graham Higman. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - s. 215-247. — (Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Přetištěno vConway, Sloane, 1999, str. 267–298
• John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, RT Curtis, Robert A. Wilson. Atlas konečných grup . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
• John Horton Conway , Neil JA Sloane . Kulové těsnění, mřížky a skupiny . — 3. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
• Curtis RT Nový kombinatorický přístup k M₂₄ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 , no. 1 . — S. 25–42 . — ISSN 0305-0041 . - doi : 10.1017/S0305004100052075 .
• , ISSN 0305-0041 , DOI 10.1017/S0305004100053251 
• Curtis RT Steinerův systém S(5, 6, 12), Mathieuova grupa M₁₂ a „kotě“ // Výpočetní teorie grup. Sborník příspěvků ze sympozia London Mathematical Society konaného v Durhamu, 30. července – 9. srpna 1982. / Michael D. Atkinson. - Boston, MA: Academic Press , 1984. - s. 353-358. — ISBN 978-0-12-066270-8 .
• Hans Cuypers. Mathieuovy grupy a jejich geometrie . — 1998.
• John D. Dixon, Brian Mortimer. Permutační skupiny . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1996. - V. 163. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94599-6 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 .
• Ferdinand Georg Frobenius . Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen . - Mouton De Gruyter, 1904. - S. 558-571. — (Berlín Berichte). — ISBN 978-3-11-109790-9 .
• Robert L. Jr. Griess. Dvanáct sporadických skupin. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Springer Monographs in Mathematics). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
• Emile Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les bývalých a sur les substituce qui les laissent invariables  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1861. - T. 6 . — S. 241–323 .
• Emile Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1873. - T. 18 . — S. 25–46 .  (nedostupný odkaz) Jazyk: francouzština
• Miller GA O předpokládané pětinásobné tranzitivní funkci 24 prvků a 19!/48 hodnot.  // Posel matematiky. - 1898. - T. 27 . — S. 187–190 .
• Miller GA Sur plusieurs groupes simples  // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1900. - T. 28 . — S. 266–267 .
• Mark Ronan. Symetrie a monstrum. - Oxford, 2006. - ISBN 978-0-19-280722-9 . (úvod pro laického čtenáře, popisující Mathieuovy skupiny v historickém kontextu)
• Thomas M. Thompson. Od kódů pro opravu chyb přes balení koulí až po jednoduché skupiny . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monographs). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
• Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. - T. 12 . — S. 265–275 . — ISSN 0025-5858 . - doi : 10.1007/BF02948948 .
• Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1938b. - T. 12 . — S. 256–264 . - doi : 10.1007/BF02948947 .
• Lieven le Bruyn. Pane Mathieu . - 2007. Archivováno 1. května 2010.

Odkazy

• ATLAS: Mathieu group M 10 Archivováno 14. května 2011 na Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 11 Archivováno 14. května 2011 na Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 12 Archivováno 16. července 2011 na Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 20 Archivováno 16. července 2011 na Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 21 Archivováno 16. července 2011 na Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 22 Archivováno 16. července 2011 na Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 23 Archivováno 16. července 2011 na Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 24 Archivováno 16. července 2011 na Wayback Machine
• Jak vytvořit Mathieu Group M 24 .
• Mathieu group M 9 na GroupNames

• Scientific American Archived 8. září 2008 na Wayback Machine Soubor hádanek založených na matematice skupin Mathieu
• Sporadic M12 Archived 2. prosince 2017 na Wayback Machine Aplikace pro iPhone, která implementuje hádanky založené na M 12 , prezentované jako permutace s jedním "otočením" a volitelná "swap" permutace