Diferenciální forma

Diferenciální forma objednávky nebo -forma je šikmo symetrické tensorové pole typu na rozdělovači . $k$ $k$ $(0,k)$

Diferenciální formy zavedl Eli Cartan na začátku 20. století.

Formalismus diferenciálních forem se ukazuje jako vhodný v mnoha odvětvích teoretické fyziky a matematiky, zejména v teoretické mechanice, symplektické geometrii , kvantové teorii pole .

Prostor -formy na varietě se obvykle značí . $k$ $M$ $\Omega ^{k}(M)$

Definice

Invariant

V diferenciální geometrii je diferenciální forma stupně , nebo jednoduše -forma , hladká sekce , to jest, th vnější stupeň svazku kotangens manifoldu. Zejména, $k$ $k$ $\wedge ^{k}T^{*}M$ $k$

hodnota -form na množině kusů tečných vektorových polí je funkcí na varietu. $k$ $k$
hodnota -formy v bodě manifoldu je šikmo symetrický -lineární funkcionál na . $k$ $X$ $k$ $T_{x}M$

Přes místní mapy

$k$ -form on bude vyjádřením následujícího tvaru $\mathbb {R} ^{n}$

\omega =\sum _{{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}}f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k} }}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{{i_{1}}}\wedge dx^{{i_{2}}}\wedge \ldots \wedge dx^ {{i_{k}}}

kde jsou hladké funkce, je diferenciál tý souřadnice (funkce vektoru, který vrací svou souřadnici s číslem ), a je vnější součin . Při změně souřadnic tento pohled změní tvar. $f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ $dx^{i}$ $i$ $x^i$ $i$ $\klín$

Na hladkém rozdělovači lze tvary k definovat jako tvary na mapách, které jsou konzistentní napříč lepením (přesnou definici konzistence viz různý tvar ).

Související definice

Pro -form , jeho vnější diferenciál (také jen diferenciál ) je -form, v souřadnicích majících tvar $k$ $\omega$ $(k+1)$ $d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2 }\ldots i_{k))}{\částečné x^{j}}}(x^{1},\tečky ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1 }}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

pro invariantní definici diferenciálu je nutné definovat diferenciál funkcí, tedy -formy, potom diferenciál -forem, načež diferenciál pokračuje do libovolných forem podle -linearity a stupňovaného Leibnizova pravidla : $0$ $jeden$ $R$
- $dF(v)=v(F)$ — hodnota diferenciálu funkce na tečném vektorovém poli je derivací funkce podél pole .
- $d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$ - hodnota diferenciálu formuláře na dvojici vektorových polí je rozdíl odvozených hodnot formuláře na jednom poli vedle druhého, opravený o hodnotu formuláře na
komutátoru . $jeden$
$\ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{{k}}\omega ^ {k}\wedge (d\vartheta ^{p})$ kde horní indexy a označují pořadí odpovídajících forem. $k$ $p$

Diferenciální forma se nazývá uzavřená , pokud její vnější diferenciál je 0.

k - forma se nazývá exaktní , pokud ji lze reprezentovat jako diferenciál nějaké -formy.

(k-1)

Kvocientová skupina uzavřených k - forem přesnými k - formami se nazývá -rozměrná de Rhamova cohomologická grupa . De Rhamův teorém říká, že je izomorfní s k - rozměrnou singulární cohomologickou grupou .

H_{{dR}}^{k}={\bar \Omega }_{{k}}/d\Omega _{{k-1}}

k

Vnitřní derivace mocninné formy vzhledem k vektorovému poli (také substituce vektorového pole do tvaru) se nazývá tvar

\omega

n

\mathbf{v}

i_{{\mathbf {v}}}\omega (u_{1},\tečky ,u_{{n-1}})=\omega ({\mathbf {v}}),u_{1},\tečky , u_{{n-1}})

Vlastnosti

Platí pro jakoukoli formu . $d(d\omega)=0$

Vnější diferenciace je lineární a splňuje odstupňované Leibnizovo pravidlo : $d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^ {k}\wedge (d\omega ^{p})$

Vnitřní derivace je lineární a splňuje odstupňované Leibnizovo pravidlo : $i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^ {k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})$

Cartanovy vzorce. Pro libovolný tvar a vektorová pole platí následující vztahy $\omega$ $X,Y,Z$ ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,$ ( Cartanova magická formule ) ${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X} \omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$ $i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$

kde označuje Lieovu derivaci .

\mathcal{L}

Příklady

Z hlediska tenzorové analýzy není 1-forma nic jiného než covektorové pole , tedy 1-násobný kovariantní tenzor , daný v každém bodě variety a mapující prvky tečného prostoru na množinu skutečných čísla : $p$ $M$ $T_{p}(M)$ $\mathbb {R}$ $\omega (p)\dvojtečka T_{p}(M)\rightarrow \mathbb{R}$
Objemová forma je příkladem -formy na -rozměrné varietě. $n$ $n$
Symplektická forma je uzavřená 2-forma na -manifoldu taková, že . $\omega$ $2n$ $\omega ^{n}\není =0$

Aplikace

Vektorová analýza

Diferenciální formy umožňují zapsat základní operace vektorové analýzy v souřadnicově invariantní formě a zobecnit je na prostory libovolné dimenze. Nechť je kanonický izomorfismus mezi tečnými a kotangentními prostory a buďme Hodgeův operátor duality (který zejména v trojrozměrném prostoru realizuje izomorfismus mezi 2-formami a vektorovými poli, stejně jako mezi skaláry a pseudoskaláry). Potom lze rotor a divergenci definovat následujícím způsobem: $já$ $*$

\operatorname {rot}\,v=*\,d\,I(v)

\operatorname {div}\,v=*^{{-1}}d\,*(v)

Diferenciální formy v elektrodynamice

Maxwellova elektrodynamika je velmi elegantně formulována z hlediska diferenciálních forem ve 4-rozměrném časoprostoru. Uvažujme Faradayovu 2-formu odpovídající tenzoru elektromagnetického pole :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Tato forma je formou zakřivení triviálního hlavního svazku se strukturní grupou U(1) , kterou lze popsat klasickou elektrodynamiku a kalibrační teorii . 3-forma proudu , duální k obvyklému 4-vektoru proudu, má tvar

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ klín {{\mathrm d}}x^{d}.

V tomto zápisu lze Maxwellovy rovnice psát velmi kompaktně jako

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

{\mathrm {d}}\,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}

kde je Hodgeův hvězdný operátor . Geometrie obecné teorie měřidel lze popsat podobným způsobem. $*$

2-forma se také nazývá Maxwell 2-forma . $*{\mathbf {F}}$

Hamiltonovská mechanika

Pomocí diferenciálních forem lze formulovat hamiltonovskou mechaniku čistě geometricky. Uvažujme symplektickou varietu se symplektickou formou a funkcí na ní danou , nazývanou Hamiltonova funkce . definuje v každém bodě izomorfismus kotangens a tečných prostorů podle pravidla $M$ $\omega$ $H$ $\omega$ $X\v M$ $já$ $T_{{X}}^{{*}}M$ $T_{{X}}M$

dH({\mathbf {u}})=\omega (IdH,{\mathbf {u}}),~~\forall {\mathbf {u}}\in T_{{X}}M

kde je diferenciál funkce . Vektorové pole na manifoldu se nazývá hamiltonovské pole a odpovídající fázový tok se nazývá hamiltonovský tok . Hamiltonovský fázový tok zachovává symplektickou formu, a proto zachovává všechny její vnější síly . Toto implikuje Liouvilleův teorém . Poissonova závorka funkcí a dále je určena pravidlem $dH$ $H$ $IdH$ $F$ $G$ $M$

[F,G]=\omega (IdF,IdG)

Variace a zobecnění

Kromě reálných a komplexních forem se často zvažují také diferenciální formy s hodnotami ve vektorových svazcích . V tomto případě je v každém bodě dána multilineární antisymetrická funkce vektorů z tečného svazku, která vrací vektor z vrstvy nad tímto bodem. Formálně jsou vnější k -formy s hodnotami ve vektorovém svazku definovány jako sekce tenzorového součinu svazků $k$ $M$ $\pi \dvojtečka E\to M$

\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{{M}}E

Speciálním případem vektorově ohodnocených diferenciálních forem jsou tangenciálně ohodnocené formy , v jejichž definici je tečný svazek brán jako vektorový svazek . $TM$

Literatura

Arnold VI . Matematické metody klasické mechaniky. - 5. vyd., stereotypní. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 s. - 1500 výtisků. — ISBN 5-354-00341-5 .
Godbillon K. Diferenciální geometrie a analytická mechanika. — M .: Mir, 1973.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderní geometrie. Metody a aplikace. — M .: Nauka, 1971.
Cartan A. Diferenciální počet. diferenciální formy. — M .: Mir, 1971.
Postnikov M. M. Přednášky o geometrii. Semestr III. Hladké rozvody. — M .: Nauka, 1987.
Buldyrev VS, Pavlov BS Lineární algebra a funkce mnoha proměnných. - L . : Vydavatelství Leningradské univerzity, 1985.

Viz také

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata