Vyrovnání kruhu

Kvadratura kruhu je úkol, který spočívá v nalezení způsobu, jak pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice s dílky) sestrojit čtverec , jehož plocha se rovná dané kružnici . Spolu s trisekcí úhlu a zdvojením krychle je to jeden z nejznámějších neřešitelných konstrukčních problémů s kružítkem a pravítko.

Označíme-li poloměr daného kruhu, délku strany požadovaného čtverce, pak se v moderním slova smyslu problém redukuje na řešení rovnice: odkud se dostaneme: Je dokázáno, že není možné přesně sestrojte takovou hodnotu pomocí kružítka a pravítka. $R$ $X$ $x^{2}=\pi R^{2},$ $x={\sqrt {\pi }}R\cca 1{,}77245R.$

Historie

Z formulace problému je vidět, že úzce souvisí s prakticky důležitým problémem nalezení oblasti kruhu . Již ve starověkém Egyptě bylo známo, že tato plocha je úměrná druhé mocnině průměru kruhu.V Rhindově papyru se pro výpočty používá vzorec [1] $S$ $d.$

S=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.

Z tohoto vzorce lze vidět, že plocha kruhu o průměru byla považována za rovnou ploše čtverce se stranou . V moderní terminologii to znamená, že Egypťané vzali hodnotu rovnou $d$ ${\frac {8}{9}}d.$ $\pi$ $\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\cca 3{,}16.$

Starověcí řečtí matematici považovali za svůj úkol nikoli vypočítat, ale přesně sestrojit požadovaný čtverec („ kvadrátka “), navíc v souladu s tehdejšími principy pouze s pomocí kružítka a pravítka . Problémem se zabývali největší starověcí vědci - Anaxagoras , Antiphon , Bryson z Herakla , Archimedes , Spores a další.

Hippokrates z Chiu ve 4. století před naším letopočtem E. nejprve objevil, že některé křivočaré obrazce ( Hippokratovy lunulae ) připouštějí přesnou kvadraturu. Starověcí matematici nedokázali rozšířit třídu takových čísel. Jeho současník Dinostratus se vydal jinou cestou a ukázal, že kvadratura kruhu může být přísně prováděna pomocí speciální křivky - kvadratrix [2] .

V „ Zásadách “ Euklida (3. století před naším letopočtem) se otázka oblasti kruhu neřeší. Důležitou etapou ve studiu problému byla práce Archiméda "Měření kruhu", ve kterém byla poprvé přísně prokázána věta: plocha kruhu se rovná ploše pravého - lomený trojúhelník, ve kterém se jedna noha rovná poloměru kruhu a druhá je délka kruhu. To znamenalo, že pokud by bylo možné provést „ narovnání kruhu “, tedy sestrojit segment stejné délky, byl by problém zcela vyřešen. Archimedes také uvedl odhad [3] počtu : $\pi$

{\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7));\quad

v desítkovém zápisu:

3{,}1408<\pi <3{,}1429.

Další výzkumy indických , islámských a evropských matematiků na toto téma se dlouhodobě týkaly především zpřesňování významu čísla a výběru přibližných vzorců pro kvadraturu kruhu. Ve středověké Evropě se tímto úkolem zabývali Fibonacci , Mikuláš Kusánský a Leonardo da Vinci . Později rozsáhlé studie publikovali Kepler a Huygens . Postupně se posilovalo přesvědčení, že číslo nelze přesně vyjádřit pomocí konečného počtu aritmetických operací (včetně extrahování odmocniny ), a proto by následovala nemožnost kvadratury kružnice [4] . V roce 1775 se Pařížská akademie věd (následovaná řadou dalších akademií světa) rozhodla nebrat v úvahu pokusy o kvadraturu kruhu a další neřešitelné problémy. $\pi$ $\pi$

Iracionalitu čísla dokázal Lambert v roce 1766 ve svém díle „Předchozí informace pro ty, kdo hledají čtverec a nápravu kruhu“. Lambertova práce obsahovala mezery, brzy opravené Legendrem (1794). Konečný důkaz neřešitelnosti kvadratury kruhu podal v roce 1882 Lindemann (viz další část) [5] . Matematici také přišli s mnoha praktickými způsoby, jak aproximovat kvadraturu kruhu s dobrou přesností [6] . $\pi$

Nerozhodnutelnost

Vezmeme-li jako měrnou jednotku poloměr kružnice a označíme x délku strany požadovaného čtverce, pak se úloha zredukuje na řešení rovnice: , odkud: . Pomocí kružítka a pravítka lze provádět všechny 4 aritmetické operace a odmocninu ; z toho vyplývá, že kvadratura kružnice je možná právě tehdy, když pomocí konečného počtu takových operací je možné sestrojit úsečku délky . Neřešitelnost tohoto problému tedy vyplývá z nealgebraické povahy ( transcendence ) čísla , kterou v roce 1882 dokázal Lindemann . $x^{2}=\pi$ $x={\sqrt {\pi ))$ $\pi$ $\pi$

Tuto nerozhodnutelnost je však třeba chápat jako nerozhodnutelnost při použití pouze kružítka a pravítka . Problém kvadratury kruhu se stane řešitelným, pokud se kromě kružítka a pravítka použijí i jiné prostředky (například kvadratrix ). Nejjednodušší mechanickou metodu navrhl Leonardo da Vinci [7] . Udělejme kruhový válec s poloměrem a výškou základny , potřeme boční povrch tohoto válce inkoustem a válejme po rovině. Během jedné celé otáčky válec vytiskne na rovinu obdélník s plochou . S takovým obdélníkem je již snadné sestrojit čtverec o stejné ploše. $R$ ${\frac {R}{2))$ $\pi R^{2}$

Z Lindemannovy věty také plyne, že kružnici nelze kvadraturovat nejen kružítkem a pravítkem, tedy pomocí přímek a kružnic, ale ani pomocí jakýchkoliv jiných algebraických křivek a ploch (např . , elipsy , hyperboly , kubické paraboly atd.) [8] .

Přibližné řešení

Nechť je strana čtverce, úhlopříčka čtverce a poloměr kruhu. Stejné plochy čtverce a kruhu: . Podle Pythagorovy věty , odkud , . Dosazením do rovnosti dostaneme . Vyjádření , dostaneme . Úhlopříčka požadovaného čtverce je přibližně rovna 2,5 poloměru kruhu. Sestrojíme-li čtverec o straně zadané délky a vezmeme-li polovinu jeho úhlopříčky, dostaneme stranu požadovaného přibližného čtverce [9] . S touto konstrukcí bude chyba 0,016592653. S počátečním poloměrem 1 metr získáte „nedostatek plochy“ ve výši něco málo přes 10 krabiček od zápalek. $A$ $D$ $r$ $\pi r^{2}=a^{2}$ ${\displaystyle D^{2}=a^{2}+a^{2))$ $D=a{\sqrt {2}}$ ${\displaystyle a={\frac {D}{\sqrt {2))))$ $A$ $\pi r^{2}=\left({\frac {D}{\sqrt {2}}}\right)^{2}$ $D$ $D=r{\sqrt {2\pi }}\cca 2{,}506628275\cdot r$

Metafora "kvadratury kruhu"

Matematický důkaz nemožnosti kvadratury kružnice nezastavil mnoho nadšenců, aby roky řešili tento problém. Marnost výzkumu k vyřešení problému kvadratury kruhu přenesla tento obrat do mnoha dalších oblastí, kde jednoduše označuje beznadějný, nesmyslný nebo marný podnik . Viz také stroj věčného pohybu .

Viz také

Poznámky

↑ Pět slavných problémů starověku, 1975 , str. 10-11.
↑ Pět slavných problémů starověku, 1975 , str. 24-27.
↑ Pět slavných problémů starověku, 1975 , str. 30-34.
↑ Pět slavných problémů starověku, 1975 , str. 97-98.
↑ Pět slavných problémů starověku, 1975 , str. 144-168.
↑ Pět slavných problémů starověku, 1975 , str. 188-191.
↑ Alexandrova N. V. Historie matematických termínů, pojmy, notace: Slovník-příručka, ed. 3 . - Petrohrad. : LKI, 2008. - S. 71 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Rudio F., 1936 , s. 87.
↑ Je možné odmocnit kruh? . Získáno 20. dubna 2012. Archivováno z originálu 19. ledna 2012. (neurčitý)

Literatura

Belozerov S.E. Pět slavných problémů starověku. Historie a moderní teorie. - Rostov: nakladatelství Rostovské univerzity, 1975. - 320 s.
Manin Yu. I. O řešitelnosti konstrukčních problémů pomocí kružítka a pravítka. Encyklopedie elementární matematiky. Kniha čtvrtá (geometrie) Archivní kopie ze dne 18. září 2011 ve Wayback Machine , M., Fizmatgiz, 1963. - 568 s.
Perelman Ya. I. Vyrovnání kruhu . L .: Dům zábavné vědy, 1941.
Prasolov V. V. . Tři klasické stavební problémy. Zdvojení krychle, třísekce úhlu, kvadratura kruhu. Archivní kopie ze dne 9. prosince 2008 ve Wayback Machine M.: Nauka, 1992. 80 s. Řada "Populární přednášky z matematiky", číslo 62.
Rudio F. O kvadratuře kruhu (Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre). - Ed. 3. - M. - L .: OGIZ, 1936. - 237 s. - ( Klasik přírodních věd ).
Hal Hellman. Velké konfrontace ve vědě. Deset nejzajímavějších sporů. Kapitola 2. Wallis vs. Hobbes: Kvadratura kruhu = Velké spory ve vědě: Deset nejživějších sporů všech dob. - M. : "Dialektika" , 2007. - 320 s. - ISBN 0-471-35066-4 .
Chistyakov V.D. Tři slavné problémy starověku. - M .: Stát. uch.-ped. Nakladatelství Ministerstva školství RSFSR, 1963. - 96 s. .
Shchetnikov A. I. Jak byla nalezena některá řešení tří klasických problémů starověku? // Matematické vzdělání. - 2008. - č. 4 (48) . - str. 3-15 .

Matematika ve starověkém Řecku
Matematici	Autolycus Anaxagoras Anfimy Apollonius Aristarcha Aristaeus Archimedes archite bion Boethius Bryson z Herakles Gemin Volavka Hypatie Hipparchos hrochy Hippias Hippokrates Hypsicle Democritus Dicaearchus Dinostrat Dioklés Diophantus Domnin Evdem Eudoxus Euklides Evtokii Zenodor Zeno ze Sidonu Zeno z Elea Isidore Callippus Kapr Cleomedes Conon Xenokrates Ktesibius Lev matematik Marin Menelaus Menechmus Nicomachus nycomedes Papp Perseus Pythagoras Porfiry Posidonius Proclus Ptolemaios Klidný Symplicius Sosigen Theon z Alexandrie Theon ze Smyrny Theaetetus Timarid Thales Theano Theodore Theodosius Philolaus Chrysippus enopid Eratosthenes
Pojednání	Almagest Úvod do aritmetiky Aritmetický Archimédův býčí problém Počet zrnek písku Začátky O pohyblivé sféře O míči a válci Palimpsest z Archiméda Práce na kuželosečkách
Pod vlivem	Babylonská matematika starověká egyptská matematika
Vliv	evropská matematika Indická matematika Středověká islámská matematika
tabulky	Chronologická tabulka řeckých matematiků
Úkoly	Apolloniův problém Vyrovnání kruhu Úhlová trisekce Zdvojnásobení kostky