Gaussova metoda (numerická integrace)

Gaussova metoda je numerická integrační metoda , která umožňuje zvýšit algebraické pořadí přesnosti metod založených na interpolačních vzorcích speciální volbou integračních uzlů bez zvýšení počtu použitých hodnot integrandu. Gaussova metoda umožňuje dosáhnout maximální algebraické přesnosti pro daný počet integračních uzlů.

Například pro dva uzly můžete získat metodu přesnosti 3. řádu

I\approx {\frac {ba}{2}}\left(f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {ba}{2{\sqrt {3} ))}\right)+f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {ba}{2{\sqrt {3}}}}\right)\right)\,

zatímco pro ekvidistantní uzly metody nad 2. řádem nelze získat. Obecně platí, že pomocí bodů můžete získat metodu s řádem přesnosti . Hodnoty uzlů Gaussovy metody podle bodů jsou kořeny Legendreho polynomu stupně . Hodnoty vah se počítají podle vzorce , kde je první derivace Legendreho polynomu . $n$ $2n-1$ $n$ $n$ ${\displaystyle a_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\,[P_{n}'(x_{i})]^{2))))$ $P_{n}'$

Pro uzly a váhy mají následující hodnoty: , váhy : . $n=3$ $x_{1,3}=\pm {\sqrt {0.6)),x_{2}=0$ $a_{1,3}={\frac {5}{9)),a_{2}={\frac {8}{9}}$

(Polynom je definován na segmentu ). $[-1,1]$

Nejznámější je Gaussova pětibodová metoda.

Gauss-Kronrodova metoda

Nevýhodou Gaussovy metody je, že nemá jednoduchý (z výpočetního hlediska) způsob, jak odhadnout chybu získané hodnoty integrálu. Použití pravidla Runge při dělení integračního segmentu vyžaduje výpočet integrandu na přibližně stejném počtu bodů, přičemž nepřináší téměř žádné zvýšení přesnosti, na rozdíl od jednoduchých metod, kde se přesnost s každým novým rozdělením několikrát zvyšuje. Kronrod navrhl následující metodu pro odhad hodnoty integrálu

I\cca \sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}\,f(x_{i})+\součet _{{i=1}}^{{n+1} }b_{i}\,f(y_{i})

kde jsou uzly Gaussovy metody podle bodů a parametry , , jsou zvoleny tak, že řád přesnosti metody je roven . K odhadu chyby pak můžete použít empirický vzorec : $x_{i}$ $n$ $3n+2$ $a_{i}$ $bi}$ $y_{i}$ $3n+1$

\Delta =\left(200|I-I_{G}|\right)^{{1.5}}

kde je přibližná hodnota integrálu získaného Gaussovou metodou nad body. Knihovny gsl a SLATEC pro výpočet určitých integrálů obsahují rutiny využívající Gauss-Kronrodovu metodu pro 15, 21, 31, 41, 51 a 61 bodů. $já_{G}$ $n$

Viz také

Literatura

Boltachev G.Sh. Numerické metody v tepelné fyzice. Přednáškový kurz Přednáška 3: Numerická integrace

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů