Sada samoobkladačů ( angl. setiset ) řádu n je sada n tvarů, obvykle plochých, z nichž každý může být obkládán menšími kopiemi stejných n tvarů. Přesněji řečeno, n obrazců lze sestavit n různými způsoby, čímž získáte velké kopie obrazců ze stejné sady a faktor zvětšení je stejný. Obrázek 1 ukazuje příklad pro n = 4 s použitím různě tvarovaných decaminů . Koncept lze zobecnit a použít větší obrazce. Název setisets dal Lee Sallows _ _) v roce 2012 [1] [2] , ale problém najít takové množiny pro n = 4 nastolil dávno předtím C. Dudley Langford , a příklady pro polyabolo figury (nalezli Martin Gardner , Wade Philpott et al. ) a polyominoes (nalezl Maurice J. Povah ) publikoval dříve Gardner [3] .
Z výše uvedené definice vyplývá, že soubor samoobkladačů skládající se z n stejných tvarů je "dělící" dlaždice , pro kterou jsou samoobkladačky zobecněním [4] . Množiny n různých tvarů, jako je ta na obrázku 1, se nazývají dokonalé . Obrázek 2 ukazuje příklad pro n = 4 a není dokonalý , protože dvě dlaždice v sadě mají stejný tvar.
Tvary v sadách nemusí být spojené plochy. Odpojené figurky složené ze dvou nebo více samostatných ostrůvků jsou také povoleny. Takové obrazce jsou považovány za odpojené nebo slabě spojené (pokud mají ostrovy jeden společný bod), jak je znázorněno na obrázku 3.
Nejmenší počet dílků v sadě je 2. Obrázek 4 obsahuje nekonečnou rodinu sad řádu 2, z nichž každá se skládá ze dvou trojúhelníků P a Q . Jak je znázorněno na obrázku, trojúhelníky lze sklopit tak, aby rotace kolem pantu vytvořila stejné trojúhelníky P nebo Q (větší). Tyto trojúhelníky poskytují příklad řezu závěsů .
Vlastnosti samoobslužných sad dlaždic znamenají, že tyto dlaždice mají vlastnost substituce , tj. tvoří dlaždici , ve které lze prototily řezat nebo kombinovat tak, aby vytvořily svou kopii (menší nebo větší). Je jasné, že opakováním procesu spojování dlaždic lze získat větší a větší kopie (proces se nazývá expanze) nebo menší a menší (komprese) a v těchto procesech lze pokračovat donekonečna. Samoobkladačské sestavy tak mohou tvořit neperiodické obklady. Žádný z těchto nalezených neperiodických obkladů však není aperiodický , protože prototily lze kombinovat za účelem vytvoření periodického obkladu. Obrázek 5 ukazuje první dvě fáze expanze sady řádu 4, což vede k neperiodickému obkladu.
Kromě samoobkladačských sad, které si lze představit jako smyčky délky 1, existují delší smyčky nebo uzavřené řetězce sad dlaždic, ve kterých každá sada mozaikuje tu předchozí [5] . Obrázek 6 ukazuje dvojici vzájemně položených sad decamino dlaždic, jinými slovy smyčku délky 2. Sallows a Schotel provedli vyčerpávající hledání sad oktaminových dlaždic v pořadí 4 . Kromě sedmi obvyklých sad (se smyčkami délky 1) našli překvapivě velké množství sad se smyčkami všech délek až 14. Celkový počet nalezených smyček je asi jeden a půl milionu. Další výzkum v tomto směru nebyl dokončen, ale zdá se být pravdou, že jiné sady dlaždic mohou obsahovat smyčky [6] .
Doposud se používaly dvě metody pro získávání samodlážděných sad dlaždic. V případě, že se sada skládá z figurek typu polyomino , u kterých je počet dílů pevně daný, je možné vyhledávat přímým počítačovým výčtem. Je snadné ukázat, že počet dlaždic n musí být čtverec [4] . Obrázky 1, 2, 3, 5 a 6 jsou příklady nalezené tímto způsobem.
Dalším způsobem je vyříznout několik kopií "rozdělující" dlaždice nějakým způsobem, což vede k samoobslužné sadě. Obrázky 7 a 8 znázorňují sady získané tímto způsobem. V nich je každá dlaždice spojením dvou a tří „rozdělujících“ dlaždic. Na obrázku 8 můžete vidět, jak 9 dlaždic (nahoře) skládá dohromady 3 "rozdělující" dlaždice (dole), přičemž těchto 9 dlaždic samotných je tvořeno kombinací stejných tří "rozdělujících" dlaždic. Každá dlaždice tak může být získána obkládáním každého tvaru menšími dlaždicemi ze stejné sady 9 dlaždic [4] .
| geometrické mozaiky | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pravidelné |
| ||||||||
| aperiodický |
| ||||||||
| jiný |
| ||||||||
| Podle konfigurace vrcholu |
| ||||||||