Aperi konstanta

Iracionální čísla ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π a π

Apéryho konstanta ( eng. Apéryho konstanta , fr. Constante d'Apéry ) je reálné číslo označované (někdy ), které se rovná součtu kladných celých čísel převrácených na kostky , a proto je zvláštní hodnotou Riemannovy funkce zeta : $\zeta (3)$ $\zeta _{3}$

\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}} }+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\tečky

Číselná hodnota konstanty je vyjádřena jako nekonečný neperiodický desetinný zlomek [1] [2] :

\displaystyle \zeta (3)=

1.202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Pojmenováno po Rogeru Apérym , který v roce 1978 dokázal , že je iracionální číslo ( Apéryho věta [3] [4] ). Prvotní důkaz byl složité technické povahy, později byla nalezena jednoduchá verze důkazu pomocí Legendreových polynomů . Není známo, zda je Apéryho konstanta transcendentální číslo . $\zeta (3)$

Tato konstanta již dlouho přitahovala zájem matematiků – již v roce 1735 ji Leonhard Euler [5] [6] spočítal s přesností až 16 platných číslic (1,202056903159594).

Aplikace v matematice a fyzice

V matematice se Apéryho konstanta objevuje v mnoha aplikacích. Konkrétně reciproká hodnota , dává pravděpodobnost, že jakákoli tři náhodně vybraná kladná celá čísla budou coprime , v tom smyslu, že pro , pravděpodobnost, že tři kladná celá čísla menší než (a náhodně vybraná) budou coprime. simple, inklinuje k . $\zeta (3)$ $N\to \infty$ ${\textstyle {N}}$ $1/\zeta (3)$

Apéryho konstanta přirozeně vzniká v řadě problémů ve fyzice, včetně oprav druhého (a vyššího) řádu na anomální magnetický moment elektronu v kvantové elektrodynamice . Například výsledek pro Feynmanův diagram se dvěma smyčkami , znázorněný na obrázku, dává (zde se předpokládá 4-rozměrná integrace přes hybnost vnitřních smyček obsahujících pouze bezhmotné virtuální částice , stejně jako odpovídající normalizace, včetně stupně hybnosti vnější částice ). Dalším příkladem je dvourozměrný model Debye . $6\zeta (3)$ $k$

Vztah k jiným funkcím

Apéryho konstanta souvisí s konkrétní hodnotou funkce polygama druhého řádu :

\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)

a objevuje se v rozšíření Taylorovy řady funkce gama :

\Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{ \tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]

kde příspěvky obsahující Euler-Mascheroniho konstantu jsou faktorizovány ve tvaru . $e^{{-\gamma \varepsilon }}$ ${\textstyle {\gamma ))$

Apéryho konstanta souvisí také s hodnotami trilogaritmu (zvláštní případ polylogaritmu ): $\mathrm {Li} _{3}(z)$ $\mathrm {Li} _{n}(z)$

\mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)

\mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{ \tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)

Řádkové reprezentace

Některé další řady, jejichž členy jsou inverzní ke třetí mocnině přirozených čísel, jsou také vyjádřeny pomocí Apéryho konstanty:

\zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^ {3}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}} -{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}} ={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac { 1}{7^{3}}}+\cdots\right)

Dalšími známými výsledky jsou součet řady obsahující harmonická čísla : ${\textstyle {H_{k))}$

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}

a dvojnásobné množství:

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1 }{jk(j+k)}}

Aby dokázal iracionalitu , Roger Apéry [3] použil reprezentaci: $\zeta (3)$

\zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!) ^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}

kde je binomický koeficient . ${\textstyle {{\binom {2k}{k))}={\frac {(2k)!}{k!^{2))))$

V roce 1773 Leonhard Euler [7] poskytl reprezentaci ve formě série [8] (která byla následně několikrát znovu objevena v jiných dokumentech):

\zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]

ve kterém lze hodnoty Riemannovy zeta funkce sudých argumentů reprezentovat jako , kde jsou Bernoulliho čísla . ${\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{{k+1}}(2\pi )^{{2k}}B_{{2k}}/(2(2k)!)}}$ ${\textstyle {B_{{2k))))$

Ramanujan dal několik reprezentací řady, které jsou pozoruhodné tím, že poskytují několik nových platných číslic v každé iteraci. Patří mezi ně [9] :

\zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3 }(e^{{2\pik}}-1)}}

Simon Pluff má řádky jiného typu [10]

\zeta (3)=14\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)))-{\tfrac {11} {2}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}-1)))-{\ tfrac {7}{2}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}+1)} }\;,

stejně jako podobné reprezentace pro jiné konstanty . $\zeta(2n+1)$

Byly také získány další reprezentace série, včetně:

\zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k-1}}{\frac {(56k^) {2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {{\left( -1\right)}^{k}\,2^{{-5+12\,k}}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}- 432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\ ,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left (1+4\,k\right)!}^{3}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\součet _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+ 250 000+77)\cdot k!^{{10}}}{(2k+1)!^{5}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)! (2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}

Některé z těchto reprezentací byly použity k výpočtu Apéryho konstanty s mnoha miliony platných číslic.

V roce 1998 byla získána reprezentace ve formě řady [11] , která umožňuje vypočítat libovolný bit Apéryho konstanty.

Reprezentace ve formě integrálů

Existuje také velké množství různých integrálních reprezentací pro Apéryho konstantu, počínaje triviálními vzorci jako

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x} -1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+ 1}}\,dx

nebo

\zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx

vycházející od nejjednodušších integrálních definic Riemannovy zeta funkce [12] , až po docela složité, jako např.

\zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)} {\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2}}\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad

( Johan Jensen [13] ),

\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad

( Frits Böckers [14] ),

\zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x \left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x))}{\,(1+x^{2})^{4} \,}}\,dx\qquad

(Jaroslav Blagušin [15] ).

Pokračovací zlomky

Pokračující zlomek pro Apéryho konstantu (sekvence A013631 v OEIS ) je následující:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots )))))) }}\;

První zobecněný spojitý zlomek pro Apéryho konstantu, který má pravidelnost, objevili nezávisle Stieltjes a Ramanujan :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}

Dá se převést na:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\tečky }{\tečky +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\tečky }}}}}}}}}}}}}}}}

Aperi dokázal urychlit konvergenci pokračujícího zlomku pro konstantu:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\tečky }{\tečky +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\tečky }}}}}}}}}}}}}}

[16] [17]

Výpočet desetinných číslic

Počet známých platných číslic Apéryho konstanty v posledních desetiletích výrazně vzrostl, a to jak díky zvýšenému výkonu počítače, tak díky vylepšeným algoritmům [18] . $\zeta (3)$

Počet známých platných číslic Apéryho konstanty

\zeta (3)

datum	Počet platných číslic	Autoři výpočtu
1735	16	Leonhard Euler [5] [6]
1887	32	Thomas Ioannes Stiltjes
1996	520 000	Greg J. Fee a Simon Plouffe
1997	1 000 000	Bruno Haible a Thomas Papanikolaou
1997 květen	10 536 006	Patrik Demichel
února 1998	14 000 074	Sebastian Wedeniwski
březen 1998	32 000 213	Sebastian Wedeniwski
červenec 1998	64 000 091	Sebastian Wedeniwski
prosince 1998	128 000 026	Sebastian Wedeniwski [19]
2001, září	200 001 000	Shigeru Kondo a Xavier Gourdon
února 2002	600 001 000	Shigeru Kondo a Xavier Gourdon
února 2003	1 000 000 000	Patrick Demichel a Xavier Gourdon
dubna 2006	10 000 000 000	Shigeru Kondo a Steve Pagliarulo [20]
ledna 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [21]
březen 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [21]
září 2010	100 000 001 000	Alexander J Yee [22]
září 2013	200 000 001 000	Robert J. Setty [22]
srpna 2015	250 000 000 000	Ron Watkins [22]
prosince 2015	400 000 000 000	Dipanjan Nag [22]
srpna 2017	500 000 000 000	Ron Watkins [22]
května 2019	1 000 000 000 000	Ian Cutress [22]
července 2020	1 200 000 000 000	Seungmin Kim [23]

Jiné hodnoty funkce zeta v lichých bodech

Existuje mnoho studií věnovaných jiným hodnotám Riemannovy zeta funkce v lichých bodech na . Zejména práce Vadima Zudilina a Tangaye Rivoala ukazují, že nekonečná množina čísel je iracionální [24] , a že alespoň jedno z čísel , , , nebo je iracionální [25] . $\zeta(2n+1)$ $n>1$ $\zeta(2n+1)$ $\zeta (5)$ $\zeta (7)$ $\zeta (9)$ $\zeta (11)$

Poznámky

↑ Simon Plouffe, Zeta(3) nebo Aperyho konstanta na 2000 míst , < http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 5. února 2008 na Wayback Machine
↑ OEIS sekvence A002117 _
↑ 1 2 Roger Apéry (1979), Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Asterisque T. 61: 11–13
↑ A. van der Poorten (1979), Důkaz, že Euler minul... Apéryho důkaz iracionality ζ(3). Neformální zpráva The Mathematical Intelligencer vol . 1: 195–203, doi : 10.1007/BF03028234 , < http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 6. července 2011 na Wayback Machine
↑ 1 2 Leonhard Euler (1741), Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13. října 1735) , Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae vol. 8: 173–204 , < http ://mathedleru/dartemouth docs /originals/E047.pdf > . Získáno 9. února 2011. Archivováno 23. června 2011 na Wayback Machine
↑ 1 2 Leonhard Euler (překlad Jordan Bell, 2008), Nalezení součtu libovolné řady z daného obecného pojmu , arXiv:0806.4096 , < http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1. pdf > . Získáno 9. února 2011. Archivováno 28. června 2021 na Wayback Machine
↑ Leonhard Euler (1773), Exercitationes analyticae , Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae T. 17: 173–204 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 17. září 2006 na Wayback Machine
↑ HM Srivastava (2000), Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions , Taiwanese Journal of Mathematics vol. 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487 , < http://www.math.nthu. edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 19. července 2011 na Wayback Machine
↑ Bruce C. Berndt (1989), Ramanujanovy zápisníky, část II , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0 -387-96794-3 > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 17. srpna 2010 na Wayback Machine
↑ Simon Plouffe (1998), Identity inspirované z Ramanujan Notebooks II , < http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 30. ledna 2009 na Wayback Machine
↑ DJ Broadhurst (1998), Polylogaritmické žebříky, hypergeometrické řady a desetimiliontá číslice ζ(3) a ζ(5) , arXiv (math.CA/9803067) , < http://arxiv.org/abs/math. CA/9803067 > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 13. července 2019 na Wayback Machine
↑ G. M. Fikhtengolts. Kurz diferenciálního a integrálního počtu (7. vyd.), str. 769. Science, Moskva, 1969
↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Poznámka číslo 245. Deuxieme odpověď. Remarques příbuzní aux reponses du MM. Franel a Kluyver . L'Intermédiaire des mathematiciens, svazek II, str. 346-347, 1895.
↑ F. Beukers Poznámka k iracionalitě ζ(2) a ζ(3) . Býk. Londýnská matematika. soc. 11, str. 268-272, 1979.
↑ Iaroslav V. Blagouchine Znovuobjevení Malmstenových integrálů, jejich vyhodnocení metodami vrstevnicové integrace a některé související výsledky. The Ramanujan Journal, sv. 35, č. 1, str. 21-110, 2014. Archivováno 12. prosince 2017 na Wayback Machine PDF Archivováno 7. května 2021 na Wayback Machine
↑ Steven R. Finch Matematické konstanty 1.6.6 . Získáno 10. srpna 2020. Archivováno z originálu dne 28. listopadu 2020. (neurčitý)
↑ van der Poorten, Alfred (1979), Důkaz, že Euler minul ... Apéryho důkaz iracionality ζ (3) , The Mathematical Intelligencer vol . 1 (4): 195–203, doi : 10.1007/ BF0430282 https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation , numbers.computation.free.fr , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 15. ledna 2011 na Wayback Machine
↑ Sebastian Wedeniwski (2001), Hodnota Zeta(3) na 1 000 000 míst , Projekt Gutenberg
↑ Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), Apéryho konstanta: ζ(3) , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 13. listopadu 2008 na Wayback Machine
↑ 1 2 Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), Large Computations , < http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html > . Získáno 8. února 2011. Archivováno 9. prosince 2009 na Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) - Aperyho konstanta , < http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/ > . Staženo 24. listopadu 2018. Archivováno 18. listopadu 2018 na Wayback Machine
↑ Aperyho konstanta | Sběratel Polymath . Získáno 27. února 2021. Archivováno z originálu dne 17. října 2020. (neurčitý)
↑ T. Rivoal (2000), La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. sci. Paris Ser. já matematika. T. 331: 267–270
↑ V. V. Zudilin. Jedno z čísel ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) je iracionální // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , no. 4(340) . — S. 149–150 .

Odkazy

Yu. I. Manin, A. A. Pančiškin. I.2.4. Diofantické aproximace a iracionalita ζ(3) // Úvod do teorie čísel . - VINITI, 1990. - T. 49. - S. 83-89. — 341 s. - (Výsledky vědy a techniky. Řada "Moderní problémy matematiky. Základní směry".).
V. Ramaswami (1934), Poznámky k Riemannově ζ-funkci , J. London Math. soc. T. 9: 165–169, doi : 10.1112/jlms/s1-9.3.165 , < http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf >
Weisstein, konstanta Erica W. Apéryho (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .

Čísla s vlastními jmény

Matematické konstanty

Algebraický

Transcendentální ,
pravděpodobně transcendentální

Stupně tisíce

Stará ruská čísla

Další mocniny deseti

Mocniny dvanácti

Jiný celek

Jiná čísla

pomyslná jednotka

Iracionální čísla
Apéryho konstanta ( ζ(3) ) Erdős-Borweinova konstanta ( E ) Feigenbaumovy konstanty Sofomorský sen Konstanta prvočísla (ρ) Plastové číslo (ρ) Logaritmus dvou (ln 2) 12. odmocnina z 2 ( 12 √ 2 ) Druhá odmocnina ze 2 ( √ 2 ) Druhá odmocnina ze 3 ( √ 3 ) Druhá odmocnina z 5 ( √5 ) zlatý řez (φ) Super zlatý řez (ψ) Stříbrná sekce ( δS ) E π Gelfondova konstanta ( e π ) Gelfond-Schneiderova konstanta ( 2 √ 2 ) Inverzní Fibonacciho konstanta (ψ)
transcendentální Trigonometrický