Pravidelný mnohoúhelník

pravidelný mnohoúhelník
Pravidelný osmiúhelník
Typ	Polygon
symbol Schläfli	${\displaystyle \{n\))$
Nějaká symetrie	dihedrální skupina $(\mathrm {D} _{5})$
Náměstí	$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}$
Vnitřní roh	${\displaystyle (n-2)*180^{\circ ))$
Vlastnosti
konvexní , vepsaný , rovnostranný , rovnoúhelníkový , izotoxální
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Pravidelný mnohoúhelník je konvexní mnohoúhelník , ve kterém jsou všechny strany a všechny úhly mezi sousedními stranami stejné.

Definice pravidelného mnohoúhelníku může záviset na definici mnohoúhelníku : pokud je definován jako plochá uzavřená přerušovaná čára, pak se definice pravidelného hvězdicového mnohoúhelníku jeví jako nekonvexní mnohoúhelník, ve kterém jsou všechny strany stejné. jiné a všechny úhly jsou si navzájem rovné.

Související definice

Střed pravidelného mnohoúhelníku se nazývá jeho těžiště , které se shoduje se středy jeho vepsaných a opsaných kružnic.

Středový úhel pravidelného mnohoúhelníku se nazývá středový úhel jeho kružnice opsané na základě jeho strany. Hodnota středového úhlu pravidelného -gonu je . [1] [2] $n$ ${\frac {2\pi }{n}}$

Vlastnosti

Souřadnice

Nechť a je souřadnice středu a je poloměr kruhu popsaného kolem pravidelného mnohoúhelníku , je úhlová souřadnice prvního vrcholu vzhledem ke středu, pak jsou určeny kartézské souřadnice vrcholů pravidelného n-úhelníku podle vzorců: $x_{C}$ $y_{C}$ $R$ ${\phi }_{0}$

x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)

y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)

kde nabývá hodnot od do . $i$ $0$ $n-1$

Rozměry

Nechť je poloměr kružnice opsané kolem pravidelného mnohoúhelníku , pak poloměr kružnice vepsané je roven $R$

r=R\cos {\frac {\pi }{n))

a délka strany mnohoúhelníku je

a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r{\mathop {{\mathrm {tg}}}}\,{\frac {\pi }{n}}

Oblast

Plocha pravidelného mnohoúhelníku s počtem stran a délkou strany je: $n$ $A$

S={\frac {n}{4}}\ a^{2}{\mathop {{\mathrm {}}}}\,\název operátora {ctg}{\frac {\pi }{n}}

Plocha pravidelného mnohoúhelníku s počtem stran vepsaných do kruhu o poloměru je: $n$ $R$

S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}

Plocha pravidelného mnohoúhelníku s počtem stran opsaných kolem kruhu o poloměru je: $n$ $r$

S=nr^{2}{\mathop {{\mathrm {tg))))\,{\frac {\pi }{n))

Plocha pravidelného mnohoúhelníku s počtem stran je $n$

S={\frac {nra}{2}}={\frac {1}{2}}Pr

kde je poloměr vepsané kružnice mnohoúhelníku, je délka jeho strany a je jeho obvod. $r$ $A$ $P$

Obvod

Pokud potřebujete vypočítat délku strany pravidelného n-úhelníku vepsaného do kruhu, když znáte délku kruhu , můžete vypočítat délku jedné strany mnohoúhelníku: $a_n$ $L$

a_n

je délka strany pravidelného n-úhelníku.

a_{n}=\sin {\Big (}{\frac {\pi }{n}}{\Big )}\cdot {\frac {L}{\pi }}

Obvod je $P_{n}$

P_{n}=a_{n}\cdot n

kde je počet stran mnohoúhelníku. $n$

Vlastnosti úhlopříček pravidelných mnohoúhelníků

Maximální počet úhlopříček pravidelného -gonu, které se protínají v jednom bodě, který není jeho vrcholem nebo středem, je: $n$
- $2$ , je-li lichý ; $n$
- $3$ , jestliže sudý , ale ne dělitelný ; $n$ $6$
- $5$ , je-li dělitelný, ale není dělitelný ; $n$ $6$ $30$
- $7$ pokud je dělitelný $n$ $30$

Existují pouze tři výjimky: toto číslo je stejné v trojúhelníku , v šestiúhelníku a v dvanáctiúhelníku . [3] .

0

2

čtyři

Pro sudé se úhlopříčky protínají ve středu mnohoúhelníku .

n

n/2

Zaveďme funkci rovnou , pokud je dělitelná , a rovnou jinak. Pak: $\delta _{m}(n)$ $jeden$ $n$ $m$ $0$

Počet průsečíků úhlopříček pravidelného -úhelníku je $n$

{\begin{array}{l}C_{n}^{4}+\left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24\right)/24\cdot \delta _ {2}(n)-(3n/2)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-45n^{2}+262n\right)/6\cdot \delta _{6 }(n)+42n\cdot \delta _{12}(n)+60n\cdot \delta _{18}(n)+\\+35n\cdot \delta _{24}(n)-38n\cdot \delta _{30}(n)-82n\cdot \delta _{42}(n)-330n\cdot \delta _{60}(n)-\\-144n\cdot \delta _{84}(n )-96n\cdot \delta _{90}(n)-144n\cdot \delta _{120}(n)-96n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}

Kde je počet kombinací z podle [3] .

{\displaystyle C_{n}^{4))

n

čtyři

Počet částí, na které pravidelný -úhelník rozděluje své úhlopříčky, je $n$

{\begin{array}{l}\left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24\right)/24+\\+\left(-5n ^{3}+42n^{2}-40n-48\right)/48\cdot \delta _{2}(n)-(3n/4)\cdot \delta _{4}(n)+\\ +\left(-53n^{2}+310n\right)/12\cdot \delta _{6}(n)+(49n/2)\cdot \delta _{12}(n)+32n\cdot \ delta _{18}(n)+\\+19n\cdot \delta _{24}(n)-36n\cdot \delta _{30}(n)-50n\cdot \delta _{42}(n) -190n\cdot \delta _{60}(n)-\\-78n\cdot \delta _{84}(n)-48n\cdot \delta _{90}(n)-78n\cdot \delta _{ 120}(n)-48n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}

[3] .

Aplikace

Pravidelné mnohoúhelníky jsou podle definice plochy pravidelných mnohostěnů .

Staří řečtí matematici ( Antiphon , Bryson z Héraklesa , Archimedes aj.) používali k výpočtu čísla π pravidelné mnohoúhelníky . Vypočítali plochy mnohoúhelníků vepsaných do kruhu a popsaných kolem něj, postupně zvyšovali počet jejich stran a získali tak odhad plochy kruhu. [čtyři]

Historie

Postavit pravidelný mnohoúhelník se stranami pomocí kružítka a pravítka zůstalo pro matematiky problémem až do 19. století . Taková konstrukce je totožná s rozdělením kruhu na stejné části, protože spojením bodů, které rozdělují kruh na části, můžete získat požadovaný mnohoúhelník. $n$ $n$

Euclid v jeho “ Principech ” se zabýval konstrukcí pravidelných mnohoúhelníků v knize IV, řešit problém pro . Kromě toho již stanovil první kritérium pro konstrukci mnohoúhelníků: ačkoli toto kritérium nebylo vyjádřeno v „Principech“, staří řečtí matematici byli schopni sestrojit mnohoúhelník se stranami (s celkem ), když již postavili mnohoúhelník. s počtem stran : pomocí schopnosti rozdělit oblouk na dvě části ze dvou půlkruhů postavíme čtverec , pak pravidelný osmiúhelník , pravidelný šestiúhelník a tak dále. Kromě toho ve stejné knize Euclid také uvádí druhé konstrukční kritérium: pokud je známo, jak sestrojit mnohoúhelníky s oběma stranami a a coprime , pak je možné sestrojit mnohoúhelník se stranami. Toho se dosáhne tak, že sestrojíme mnohoúhelník se stranami a mnohoúhelník se stranami tak, aby byly vepsány do jedné kružnice a aby měly jeden společný vrchol - v tomto případě budou některé dva vrcholy těchto mnohoúhelníků sousedními vrcholy -gonu. Syntézou těchto dvou metod můžeme dojít k závěru, že starověcí matematici byli schopni sestavit pravidelné mnohoúhelníky s , a stranami pro jakékoli nezáporné celé číslo . $n=3,4,5,6,15$ $2^{m}$ $m>1$ $2^{m-1}$ $r$ $s$ $r$ $s$ $r\cdot s$ $s$ $r$ $rs$ $2^{m}\cdot 3$ $2^{m}\cdot 5$ $2^{m}\cdot 3\cdot 5$ $m$

Středověká matematika v této otázce téměř nepokročila. Teprve v roce 1796 se Carlu Friedrichu Gaussovi podařilo dokázat, že pokud je počet stran pravidelného mnohoúhelníku roven Fermatovu prvočíslu , lze jej sestrojit pomocí kružítka a pravítka. Dnes jsou známa tato Fermatova prvočísla: . Otázka přítomnosti či nepřítomnosti dalších takových čísel zůstává otevřená. Zejména Gauss jako první prokázal možnost postavit regulérní -gon a na sklonku života jej odkázal vyklepat na svém náhrobku, ale sochař odmítl tak náročnou práci. [5] $3,5,17,257,65537$ $17$

Z výsledku Gausse okamžitě vyplynulo, že pravidelný mnohoúhelník lze sestrojit, pokud je počet jeho stran roven , kde je nezáporné celé číslo a jsou to párově odlišná Fermatova prvočísla. Gauss tušil, že tato podmínka je nejen dostatečná, ale i nezbytná, ale to poprvé dokázal Pierre-Laurent Wantzel v roce 1836 . Poslední věta, která kombinuje oba výsledky, se nazývá Gauss-Wanzelova věta . $2^{k}{p_{1}}{p_{2}}\cdots {p_{s}}$ ${k}$ ${p_{j}}$

Nejnovějšími výsledky v konstrukci pravidelných polygonů jsou explicitní konstrukce 17- , 257- a 65537-gonů . První nalezl Johannes Erchinger v roce 1825 , druhý Friedrich Julius Richelot v roce 1832 a poslední Johann Gustav Hermes v roce 1894 .

Viz také

pravidelný mnohostěn

Poznámky

↑ MATVOX
↑ treugolniki.ru . Staženo 12. května 2020. Archivováno z originálu dne 2. července 2020. (neurčitý)
↑ 1 2 3 Bjorn Poonen a Michael Rubinstein "Počet průsečíků vytvořených úhlopříčkami pravidelného mnohoúhelníku" . Staženo 16. července 2020. Archivováno z originálu dne 17. července 2020. (neurčitý)
↑ A. V. Žukov. O čísle pí. — M.: MTsNMO, 2002. ISBN 5-94057-030-5 .
↑ Labuda

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také