Hilbertovy problémy

Hilbertovy problémy  je seznam 23 hlavních problémů v matematice předložených Davidem Hilbertem na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. Kompletní seznam 23 problémů byl publikován později, zejména v anglickém překladu Mary Francis Winston Newson z roku 1902 v Bulletinu American Mathematical Society [1] . Pak tyto problémy (pokrývající základy matematiky, algebry , teorie čísel , geometrie , topologie , algebraické geometrie, Lieových grup , reálné a komplexní analýzy, diferenciálních rovnic , matematické fyziky a teorie pravděpodobnosti a variačního počtu ) nebyly vyřešeny. Některé z nich měly velký vliv na matematiku 20. století.

V tuto chvíli je vyřešeno 16 z 23 problémů. Další dva nejsou správné matematické problémy (jeden je formulován příliš vágně na to, aby bylo možné pochopit, zda byl vyřešen nebo ne, druhý, zdaleka ne vyřešený, je fyzikální, nikoli matematický) . Ze zbývajících pěti problémů nejsou dva vyřešeny vůbec a tři jsou vyřešeny pouze pro některé případy.

Od roku 1900 matematici a matematické organizace publikovaly seznamy problémů, ale až na vzácné výjimky tyto sbírky neměly zdaleka stejný dopad a nevytvářely tolik práce jako Hilbertovy problémy. Jednu výjimku představují tři hypotézy předložené André Weilem na konci 40. let ( Weylovy hypotézy ). Pal Erdős sestavil seznam stovek, ne-li tisíců matematických problémů, z nichž mnohé byly hluboké. Erdős často nabízel peněžní odměny; výše odměny závisela na předpokládané náročnosti úkolu.

Seznam problémů

Ne. Postavení Stručná formulace Výsledek Rok rozhodnutí
jeden vyřešeno [2] Cantorův problém o síle kontinua ( hypotéza kontinua ) Ukázalo se, že problém je v ZFC nerozhodnutelný . Nepanuje shoda v tom, zda se jedná o řešení problému. 1940, 1963
2 žádný konsensus [3] Konzistence axiomů aritmetiky . Vyžaduje upřesnění formulace
3 vyřešeno Ekvivalence stejně plošných mnohostěnů Vyvráceno 1900
čtyři příliš vágní Vyjmenujte metriky , ve kterých jsou čáry geodetické[ upřesnit ] Vyžaduje upřesnění formulace [4]
5 vyřešeno Jsou všechny spojité grupy Lie grupami ? Ano 1953
6 částečně vyřešeno [5] Matematické studium axiomů fyziky Závisí na interpretaci původního prohlášení o problému [6]
7 vyřešeno Je číslo transcendentní (nebo alespoň iracionální ) [7] Ano 1934
osm nevyřešeno, ale došlo k pokroku [8] Problém prvočísel ( Riemannova hypotéza a Goldbachův problém ) Byla prokázána ternární Goldbachova domněnka [9] [10] [11] [12] .
9 částečně vyřešeno [13] Důkaz nejobecnějšího zákona reciprocity v libovolném číselném poli Osvědčeno pro případ Abelian
deset vyřešeno [14] Existuje univerzální algoritmus pro řešení diofantických rovnic ? Ne 1970
jedenáct částečně vyřešeno Studium kvadratických forem s libovolnými algebraickými číselnými koeficienty
12 nevyřešeno Rozšíření Kroneckerovy věty o abelovských polích na libovolnou algebraickou doménu racionality
13 vyřešeno Je možné vyřešit obecnou rovnici sedmého stupně pomocí funkcí závislých pouze na dvou proměnných? Ano 1957
čtrnáct vyřešeno Důkaz konečného generování algebry invariantů lineární algebraické grupy [15] Vyvráceno 1959
patnáct částečně vyřešeno Důkladné zdůvodnění Schubertovy enumerativní geometrie
16 částečně vyřešeno [16] Topologie algebraických křivek a ploch [17]
17 vyřešeno Lze určité tvary znázornit jako součet čtverců? Ano 1927
osmnáct vyřešeno [18] [19]
  • Ano
  • Ano
  • Ano
 1911 (a)
1928 (b)
1998 (c)
19 vyřešeno Jsou řešení pravidelného variačního Lagrangeova problému vždy analytická? Ano 1957
dvacet vyřešeno [20] [21] [22] Mají všechny regulární variační problémy s určitými okrajovými podmínkami řešení, pokud je v případě potřeby samotný koncept řešení dán rozšířeným výkladem? Ano 1937-1962
21 vyřešeno Důkaz existence lineárních diferenciálních rovnic s danou monodromickou grupou Zda existují nebo ne, závisí na přesnějších formulacích problému. 1992
22 částečně vyřešeno Uniformizace analytických závislostí pomocí automorfních funkcí
23 nevyřešeno, ale pokrok tu je Vývoj metod pro variační počet Vyžaduje upřesnění formulace

Problém 24

Hlavní článek: Hilbertův 24. problém

Zpočátku seznam obsahoval 24 problémů, ale v procesu přípravy zprávy Hilbert jeden z nich opustil. Tento problém souvisel s důkazní teorií kritéria primality a obecnými metodami. Tento problém objevil v Hilbertových poznámkách německý historik vědy Rüdiger Thiele v roce 2000 [23] .

Další známé seznamy problémů

Přesně sto let po vyhlášení Hilbertova seznamu navrhl americký matematik Stephen Smale nový seznam moderních nevyřešených problémů (některé z nich již vyřešeny byly). Smaleho problémům nebyla věnována velká pozornost médií a není jasné, jak velkou pozornost jim věnují matematické komunity. Clay Mathematical Institute zveřejnil svůj seznam . Každé vydání ocenění obsahuje ocenění v hodnotě milionu dolarů. V roce 2008 Agentura pro pokročilé výzkumné projekty ministerstva obrany USA oznámila svůj vlastní seznam 23 problémů, o kterých doufala, že by mohly vést k velkým matematickým průlomům, „čímž posílí vědecké a technologické schopnosti ministerstva obrany USA “ [24] [25] .

Poznámky

  1. ↑ Hilbert, David. Mathematical Problems  (anglicky)  // Bulletin of the American Mathematical Society  : journal. - 1902. - Sv. 8 , č. 10 . - str. 437-479 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . Dřívější publikace (v originále němčině) se objevily v Hilbert, David. Mathematische Probleme  (neopr.)  // Göttinger Nachrichten. - 1900. - S. 253-297 . a Hilbert, David. [bez uvedení názvu]  (neopr.)  // Archiv der Mathematik und Physik. - 1901. - T. 1, 3 . - S. 44-63, 213-237 .
  2. ↑ Výsledky Gödela a Cohena ukazují, že ani hypotéza kontinua, ani její negace nejsou v rozporu se systémem Zermelo-Fraenkelových axiomů (standardní systém axiomů teorie množin). Hypotézu kontinua v tomto systému axiomů tedy nelze dokázat ani vyvrátit (za předpokladu, že je tento systém axiomů konzistentní).
  3. ↑ Kurt Gödel dokázal , že konzistenci axiomů aritmetiky nelze dokázat ze samotných axiomů aritmetiky. V roce 1936 Gerhard Gentzen dokázal konzistenci aritmetiky pomocí primitivní rekurzivní aritmetiky s dalším axiomem pro transfinitní indukci k ordinálnímu ε 0 .
  4. ↑ Podle Rowe a Graye (viz níže) byla většina problémů vyřešena. Některé z nich nebyly formulovány dostatečně přesně, ale dosažené výsledky umožňují považovat je za „vyřešené“. Rov a Gray mluví o čtvrtém problému jako o problému, který je příliš vágní na to, aby bylo možné posoudit, zda byl vyřešen nebo ne.
  5. ↑ L. Corry, David Hilbert a axiomatizace fyziky (1894-1905), Archiv pro dějiny exaktních věd 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141 .
  6. ↑ Řešení problému odvození dynamiky kontinua z atomistického popisu může být navíc negativní: Marshall Slemrod, Hilbertův šestý problém a selhání Boltzmannovy až Eulerovy limity, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi : 10.1098/rsta.2017.0222
  7. ↑ Řešili Siegel a Gelfond (a nezávisle Schneider) v obecnějším tvaru: pokud a ≠ 0, 1 je algebraické číslo a b  je algebraické iracionální, pak a b  je transcendentální číslo
  8. ↑ Problém #8 obsahuje dva známé problémy, z nichž první není vyřešen vůbec a druhý je vyřešen částečně. První z nich, Riemannova hypotéza , je jedním ze sedmi problémů tisíciletí , které byly označeny jako „Hilbertovy problémy“ 21. století.
  9. ↑ Terence Tao – Google+ – Rušný den v analytické teorii čísel; Harald Helfgott má… . Získáno 21. června 2013. Archivováno z originálu 8. srpna 2013.
  10. ↑ Hlavní oblouky pro Goldbachovu větu Archivováno 29. července 2013 na Wayback Machine , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
  11. ↑ Goldbachovy variace archivovány 16. prosince 2013 na Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, 15. května 2013
  12. ↑ Dva důkazy Spark a Prime Week for Number Theory Archived 23. června 2013 na Wayback Machine // Science 24 May 2013: Vol. 340 č. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
  13. ↑ Problém č. 9 byl vyřešen pro případ Abelian; neabelovský případ zůstává nevyřešen.
  14. ↑ Yuri Matiyasevich v roce 1970 prokázal algoritmickou neřešitelnost otázky, zda má libovolná diofantická rovnice alespoň jedno řešení. Zpočátku problém formuloval Hilbert ne jako dilema, ale jako hledání algoritmu: tehdy je zřejmě ani nenapadlo, že by takové problémy mohly mít negativní řešení.
  15. ↑ Tvrzení, že algebra invariantů je generována konečně, je dokázáno pro libovolné akce reduktivních grup na afinních algebraických varietách. Nagata v roce 1958 zkonstruoval příklad lineárního působení unipotentní grupy na 32rozměrný vektorový prostor, pro který není invariantní algebra definitivně generována. VL Popov dokázal, že je-li algebra invariantů libovolné akce algebraické grupy G na afinní algebraické variety generována konečně, pak je grupa G reduktivní.
  16. ↑ První (algebraická) část úlohy č. 16 je přesněji formulována následovně. Harnack dokázal, že maximální počet oválů je , a že takové křivky existují - nazývají se M -křivky. Jak lze uspořádat ovály M -křivky? Tento problém byl vyřešen až do inkluzivního stupně a je toho známo poměrně hodně. Kromě toho existují obecná tvrzení, která omezují, jak mohou být ovály M -křivek umístěny - viz díla Gudkova, Arnolda, Roona, samotného Hilberta (je však třeba mít na paměti, že Hilbertův důkaz pro obsahuje chybu: jedna z případů, které považuje za nemožné, se ukázaly jako možné a postavil je Gudkov). Druhá (diferenciální) část zůstává otevřená i pro kvadratická vektorová pole - není ani známo, kolik jich může být a že existuje horní mez. Dokonce i individuální věta o konečnosti (že každé polynomické vektorové pole má konečný počet limitních cyklů) byla prokázána teprve nedávno. Dulac to považoval za prokázané , ale v jeho důkazu byla objevena chyba a nakonec tuto větu dokázali Iljašenko a Ekal, pro které každý z nich musel napsat knihu.
  17. ↑ Překlad původního názvu problému, který uvedl Hilbert, je uveden: „16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen Archivováno z originálu 8. dubna 2012.  (německy) . Přesněji by však její obsah (jak je dnes považován) mohl být vyjádřen následujícím názvem: „Počet a uspořádání oválů reálné algebraické křivky daného stupně v rovině; počet a uspořádání limitních cyklů polynomického vektorového pole daného stupně v rovině“. Pravděpodobně (jak je vidět z anglického překladu textu oznámení Archived 25. srpna 2018 na Wayback Machine  (anglicky) ), Hilbert se domníval, že diferenciální část (ve skutečnosti se ukázala být mnohem obtížnější než ta algebraická). ) by bylo možné řešit stejnými metodami jako algebraický, proto jsem to do názvu nezahrnul.
  18. ↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.
  19. ↑ Rov a Gray také ve své knize z roku 2000 odkazují na problém č. 18 jako na „otevřený“, protože problém s balením míčků (také známý jako problém Keplera) nebyl do té doby vyřešen, ale nyní existují důkazy, že již byl vyřešen. vyřešený.vyřešený (viz níže). Pokroky v řešení problému #16 byly učiněny nedávno a také v 90. letech.
  20. ↑ Young L. Přednášky o variačním počtu a teorii optimálního řízení. - M., Mir, 1974
  21. ↑ MacShane Zobecněné křivky. Duke matematika. J. 6 (1940), 513-536
  22. ↑ Gamkrelidze R. V. O klouzavých optimálních režimech // DAN SSSR, 143 (1962), 1243-1245
  23. ↑ Hilbertův dvacátý čtvrtý problém Archivováno 3. března 2016 na Wayback Machine . Rudiger Thiele, Americký matematický měsíčník, leden 2003.
  24. ↑ cdate=2008-09-29 23 nejtěžších matematických otázek na světě . Staženo 23. listopadu 2019. Archivováno z originálu 9. února 2014.
  25. ↑ Žádost o výzvu DARPA Mathematics Challenge (26. září 2008). Staženo 23. listopadu 2019. Archivováno z originálu 12. ledna 2019.

Literatura

Odkazy

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
V bibliografických katalozích
 Hilbertovy problémy