Lobačevského prostoru

Lobačevského prostor neboli hyperbolický prostor - prostor s konstantním negativním zakřivením . Dvourozměrný Lobačevského prostor je Lobačevského rovina .

Negativní zakřivení odlišuje Lobachevského prostor od euklidovského prostoru s nulovým zakřivením, popsaného Euklidovskou geometrií , a od koule – prostoru s konstantním kladným zakřivením, popsaného Riemannovou geometrií .

N -rozměrný Lobachevsky prostor je obvykle označován nebo . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle {\Lambda }^{n))$

Definice

N - rozměrný Lobachevsky prostor je jednoduše spojený n - rozměrný Riemannian varieta s konstantním záporným sekčním zakřivením .

Hyperbolické vesmírné modely

Lobačevský prostor, který nezávisle prozkoumali Nikolaj Ivanovič Lobachevskij a Janos Boljai , je geometrický prostor podobný euklidovskému prostoru , ale Euklidův axiom paralelismu v něm není splněn. Místo toho je axiom rovnoběžnosti nahrazen následujícím alternativním axiomem (v prostoru dimenze dvě):

Daná nějaká přímka L a bod P ne na přímce L , pak tam jsou přinejmenším dvě zřetelné přímky přes P , které neprotínají L.

To implikuje teorém, že takových čar procházejících skrz P je nekonečně mnoho . Axiom nedefinuje jednoznačně Lobačevského rovinu až do pohybu , protože je nutné nastavit konstantní zakřivení K < 0 . Axiom však definuje rovinu až do homothety , tedy až do transformací, které mění vzdálenosti o nějaký konstantní faktor bez rotace. Pokud lze zvolit vhodnou délkovou stupnici, pak lze bez ztráty obecnosti předpokládat, že K = −1 .

Je možné sestavit modely Lobačevského prostorů, které lze vložit do plochých (tj. euklidovských) prostorů. Zejména z existence Lobačevského prostorového modelu v euklidovštině vyplývá, že axiom rovnoběžnosti je logicky nezávislý na ostatních axiomech euklidovské geometrie.

Významných modelů Lobačevského prostoru je několik - Kleinův model , hyperboloidní model, Poincaré model v kouli a Poincaré model v horní polorovině. Všechny tyto modely mají stejnou geometrii v tom smyslu, že libovolné dva z nich jsou spojeny transformací, která zachovává všechny geometrické vlastnosti jimi popisovaného hyperbolického prostoru.

Hyperboloidní model

Hyperboloidní model realizuje Lobačevského prostor jako hyperboloid v . Hyperboloid je místo bodů, jejichž souřadnice splňují rovnici $\mathbb {R} ^{n+1}=\{(x_{0},\tečky ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=0,1, ...,n\}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.

V tomto modelu je přímka (to je ve skutečnosti geodetická křivka) křivka tvořená průsečíkem s rovinou procházející počátkem v . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\R^{n+1}$

Hyperboloidní model úzce souvisí s geometrií Minkowského prostoru . kvadratická forma

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2},

který definuje hyperboloid, umožňuje určit odpovídající bilineární formu

B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ cdots -x_{n}y_{n}.

Prostor vybavený bilineární formou B je ( n +1)-rozměrný Minkowského prostor . $\R^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$

„Vzdálenost“ na hyperboloidním modelu lze definovat definováním [1] vzdálenosti mezi dvěma body x a y na jako ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

d(x,y)=\jméno operátora {oblouk} B(x,y).

Tato funkce je metrická, protože jsou pro ni splněny axiomy metrického prostoru . Zachovává se působením ortochronní Lorentzovy skupiny O + ( n ,1) na . Ortochronní Lorentzova grupa proto působí jako skupina automorfismů zachovávajících vzdálenost , tedy pohybů . $\mathbb {R} ^{n,1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

Kleinův model

Alternativním modelem Lobačevského geometrie je určitá oblast v projektivním prostoru . Minkowského kvadratická forma Q definuje podmnožinu definovanou jako soubor bodů, pro které je x v homogenních souřadnicích . Oblast U n je Kleinovým modelem Lobačevského prostoru. $U^{n}\subset \mathbb {R} \mathbf {P} ^{n}$ $Q(x)>0$

Přímé linie v tomto modelu jsou otevřené segmenty okolního projektivního prostoru, které leží v U n . Vzdálenost mezi dvěma body x a y v U n je definována jako

d(x,y)=\jméno operátora {oblouk} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))}\vpravo).

Tato vzdálenost je dobře definována na projektivním prostoru, protože číslo se nemění, když se všechny souřadnice změní stejným faktorem (do kterého jsou definovány homogenní souřadnice). ${\displaystyle {\tfrac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))))$

Tento model souvisí s hyperboloidním modelem následujícím způsobem. Každý bod odpovídá přímce L x procházející počátkem v definicí projektivního prostoru. Tato přímka protíná hyperboloid v jediném bodě. A naopak: kterýmkoli bodem na něm prochází jedna přímka procházející počátkem (což je bod v projektivním prostoru). Tato korespondence definuje bijekci mezi U n a . Toto je izometrie, protože výpočet d ( x , y ) podél reprodukuje definici vzdálenosti v hyperboloidním modelu. $x\in U^{n}$ $\R^{n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $Q(x)=Q(y)=1$

Model Poincaré v kouli

V euklidovštině existují dva úzce související modely Lobačevského geometrie: Poincarého model v kouli a Poincarého model v horní polorovině.

Kulový model vzniká stereografickou projekcí hyperboloidu do nadroviny . Další podrobnosti: nechť S je bod v se souřadnicemi (−1,0,0,...,0) - jižní pól pro stereografickou projekci. Pro každý bod P na hyperboloidu nechť P ∗ je jediným průsečíkem přímky SP s rovinou . $\R^{n+1}$ $\{x_{0}=0\}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\{x_{0}=0\}$

Tím se bijektivní mapa nastaví na jednotkovou kouli ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

B^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\ }

v rovině { x 0 = 0}.

Geodetiky v tomto modelu jsou půlkruhy kolmé k hranici koule B n . Izometrie koule jsou tvořeny sférickými inverzemi vzhledem k hypersférám kolmým k hranici.

Poincarého model v horní polorovině

Model horní poloroviny se získá z Poincarého modelu v kouli aplikací inverze se středem na hranici Poincarého modelu B n (viz výše) a s poloměrem rovným dvojnásobku poloměru modelu.

Tato transformace mapuje kružnice na kružnice a čáry (v druhém případě - pokud kružnice prochází středem inverze) - a navíc se jedná o konformní zobrazení . Proto jsou v modelu horní poloroviny geodetiky přímky a (půl)kruhy kolmé k hranici nadroviny.

Hyperbolické rozdělovače

Jakákoli úplná , spojená , jednoduše spojená varieta konstantní negativní křivosti −1 je izometrická k Lobachevského prostoru . Výsledkem je, že univerzální kryt každé uzavřené různiny M s konstantním záporným zakřivením −1, tedy hyperbolické manifoldy , je . Pak lze libovolnou takovou varietu M zapsat jako , kde je diskrétní skupina izometrie bez kroucení na . To znamená, že je to mřížka v SO + ( n ,1) . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\Gamma$

Riemannovy povrchy

Dvourozměrné hyperbolické plochy lze také chápat jako Riemannovy plochy . Podle teorému o uniformizaci je jakýkoli Riemannův povrch eliptický , parabolický nebo hyperbolický . Většina hyperbolických povrchů má netriviální základní skupinu . Skupiny, které vznikají tímto způsobem, se nazývají fuchsovské . Podílový prostor horní poloroviny vzhledem k základní grupě se nazývá fuchsovský model hyperbolické plochy. Horní polorovina Poincare je také hyperbolická, ale jednoduše spojená a není kompaktní . Jedná se tedy o univerzální pokrytí dalších hyperbolických ploch. $\pi _{1}=\Gamma$ $\mathbb {H} ^{2}/\Gamma$

Podobnou konstrukcí pro trojrozměrné hyperbolické plochy je Kleinův model .

Viz také

Most tuhosti
Hyperbolické potrubí
Hyperbolický 3-manifold
Murakami-Yano vzorec
Pseudosféra
Povrch Dini

Poznámky

↑ Tento výraz je podobný akordické metrice na kouli, ve které je výraz podobný, ale místo hyperbolických funkcí jsou použity goniometrické funkce.

Literatura

Norbert A'Campo, Athanase Papadopoulos. Poznámky k hyperbolické geometrii // Strasbourg Master class on Geometry . - Curych: Evropská matematická společnost (EMS), 2012. - Sv. 18. - S. 1-182. — (IRMA přednášky z matematiky a teoretické fyziky). — ISBN 978-3-03719-105-7 . - doi : 10.4171/105. .
John G. Ratcliffe. Základy hyperbolických variet . — New York, Berlín: Springer-Verlag, 1994.
William F. Reynolds. Hyperbolická geometrie na hyperboloidu // Americký matematický měsíčník . - 1993. - Iss. 100 _ — S. 442–455 .
Joseph A Wolf. Prostory konstantní křivosti . - 1967. - S. 67. Překlad:
- Wolf J. Prostory konstantní křivosti. - M .: "Nauka", 1982.
Snadno hyperbolické Voronoiovy diagramy, Franku Nielsene

Slovníky a encyklopedie	velká čínština