Pentagon

Pentagon
Pravidelný Patnáctýúhelník
Typ	pravidelný mnohoúhelník
žebra	patnáct
symbol Schläfli	{patnáct}
Coxeter-Dynkinův diagram
Nějaká symetrie	Dihedrální skupina (D 15 )
Vnitřní roh	156°
Vlastnosti
konvexní , vepsaný , rovnostranný , rovnoúhelníkový , izotoxální
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Patnáctistranný mnohoúhelník je mnohoúhelník s patnácti stranami.

Pravidelný šestiúhelník

Pravidelný šestiúhelník je reprezentován symbolem Schläfli {15}.

Pravidelný pětiúhelník má vnitřní úhly 156 ° . Se stranou a má pětiúhelník plochu danou vzorcem

{\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\mathrm {ctg} \,{\frac {\pi }{15}}&={\frac { 15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={ \frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5 }}}}\right)\\&\simeq 17.642362910544204\,a^{2}.\end{aligned}}

Použití

Pravidelný trojúhelník, desetiúhelník a patnáctiúhelník mohou zcela pokrýt vrchol v rovině .

Budova

Protože 15 = 3 × 5 je součinem různých Fermatových prvočísel , pravidelný pětiúhelník lze sestrojit pomocí kružítka a pravítka : Následující konstrukce pravidelného pětiúhelníku s danou kružnicí opsanou jsou podobné jako na obrázku pro Nárok XVI v knize IV Euklidovy knihy. Prvky [1] .

Srovnání konstrukce s konstrukcí Euklida, viz obrázek Pentagon

V konstrukci pro danou kružnici opsané: rovná se straně rovnostranného trojúhelníku a rovna straně pravidelného pětiúhelníku [2] . Bod rozděluje poloměr v poměru ke zlatému řezu : ${\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\ ;|E_{1}E_{6}|$ $|E_{2}E_{5}|$ $H$ ${\overline {AM}}$ ${\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \cca 1 618{\text{.}}$

Porovnání s první animací (se zelenými čarami) je znázorněno na následujících dvou obrázcích. Dva oblouky (pro úhly 36° a 24°) jsou posunuty proti směru hodinových ručiček. Konstrukce nepoužívá segment , ale místo toho používá segment jako poloměr pro druhý oblouk (úhel 36°). ${\overline {CG))$ ${\overline {MG}}$ ${\overline {AH))$

Konstrukce pomocí kružítka a pravítka pro danou délku strany. Konstrukce je téměř stejná jako u konstrukce pětiúhelníku podél dané strany, také začíná vytvořením segmentu jako pokračování strany, zde , který je rozdělen v poměru ke zlatému řezu: ${\overline {FE_{2}}}{\text{,}}$

${\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2))))={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \cca 1,618033988749895{\text{.}}$

Poloměr kružnice opsané

{\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;

Délka strany

{\overline {E_{1}E_{2))}=a\;;\;\;

Roh

DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }

${\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2))\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5))))+{\ sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\ sqrt {5))))))\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ )))))\cdot a\cca 2,4048671723720654 \cdot a\end{aligned}}$

Symetrie

Pravidelný pětiúhelník má dihedrální symetrii řádu 30 (Dih 15 ), reprezentovanou 15 zrcadlovými odrazovými čarami. Dih 15 má 3 dihedrální podskupiny: Dih 5 , Dih 3 a Dih 1 . A kromě toho existují další čtyři cyklické symetrie - Z 15 , Z 5 , Z 3 a Z 1 , kde Z n představuje π / n rotační symetrii.

V pětiúhelníku je 8 různých symetrií. John Conway označil symetrie písmeny, s pořadím symetrie za písmenem [3] . Označil r30 plnou symetrii odrazů Dih 15 , d (diagonální = diagonální) odrazy o přímkách procházejících vrcholy, p odrazy o přímkách procházejících středy hran (kolmice = kolmice) a pro pětiúhelník s lichou počet vrcholů použil písmeno i (pro zrcadlení přes vrchol a střed hrany) a písmeno g pro cyklickou symetrii. Symbol a1 znamená žádnou symetrii.

Tyto nízké stupně symetrie určují stupně volnosti při definování nepravidelných pětiúhelníků. Pouze podgrupa g15 nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji považovat za mající orientované hrany .

Pentadekagramy

Na stejných 15 vrcholech pravidelného pětiúhelníku jsou tři pravidelné hvězdy : {15/2}, {15/4}, {15/7}, ale propojené jedním, třemi nebo šesti vrcholy.

Existují také tři pravidelné tvary hvězd : {15/3}, {15/5}, {15/6}, první se skládá ze tří pětiúhelníků , druhý se skládá z pěti pravidelných trojúhelníků a třetí se skládá ze tří pentagramy .

Složený obrazec {15/3} lze považovat za dvourozměrný ekvivalent trojrozměrné sloučeniny pěti tetraedrů .

obrázek	{15/2}	{15/3} nebo 3{5}	{15/4}	{15/5} nebo 5{3}	{15/6} nebo 3{5/2}	{15/7}
Vnitřní roh	132°	108°	84°	60°	36°	12°

Hlubší zkrácení pravidelného pětiúhelníku a pentadekagramů může poskytnout izogonální ( vertex-tranzitivní ) mezilehlé hvězdné polygony tvořené stejně rozmístěnými vrcholy a dvěma délkami hran [4] .

Vertexové tranzitivní funkce na pětiúhelníku
Kvazi-pravidelné	Rovnoúhlý	Kvazi-pravidelné
t{15/2}={30/2}		t{15/13}={30/13}
t{15/7} = {30/7}		t{15/8}={30/8}
t{15/11}={30/22}		t{15/4}={30/4}

Petrieho polygony

Pravidelný pětiúhelník je Petrieho mnohoúhelník pro nějaký vysokorozměrný polytop získaný ortogonální projekcí :

14-simplex (14D)

Je to také Petrieho polygon pro velký 120-cell a velký stellated 120-cell .

Poznámky

↑ Dunham, 1991 , s. 65.
↑ Kepler, 1939 , str. 44.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , str. 275-278.
↑ Grünbaum, 1994 .

Literatura

William Dunham. Cesta géniem - Velké matematické teorémy . — Penguin, 1991. Univerzita Kentucky College of Arts & Sciences Matematika
Johannes Kepler. WELT-HARMONIK / přeložil a inicioval MAX CASPAR 1939. - Google Books, 1939.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Kapitola 20, Zobecněné symboly Schaefli, Typy symetrie mnohoúhelníku // . - The Symmetries of Things, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Branko Grünbaum . Metamorphoses of polygons // The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. — 1994.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Pentadecagon (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

Opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také