Rotor (diferenciální operátor)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. října 2021; ověření vyžaduje 21 úprav .

Rotor , rotace nebo whirlwind je vektorový diferenciální operátor nad vektorovým polem .

Indikováno různými způsoby:

$\operatorname{rot}$ (nejběžnější v ruskojazyčné [1] literatuře),
$\operatorname{curl}$ (v anglicky psané literatuře navrhl Maxwell [2] ),
$\mathbf {\nabla } \times$ — jako diferenciální operátor nabla , vektorově vynásobený vektorovým polem, tedy pro vektorové pole, bude výsledkem činnosti rotorového operátora zapsaný v této podobě vektorový součin operátoru nabla a tohoto pole: . $\mathbf {F}$ $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$

Výsledek působení operátora rotoru na konkrétní vektorové pole se nazývá rotor pole nebo jednoduše rotor a je to nové vektorové [3] pole: $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\operatorname {rot} \mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}

Pole (délka a směr vektoru v každém bodě prostoru) charakterizuje v určitém smyslu ( viz níže ) rotační složku pole v odpovídajících bodech. $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

Definice

Rotor vektorového pole je vektor, jehož průmět na každý směr je limitem poměru cirkulace vektorového pole podél obrysu , což je hrana ploché oblasti kolmé k tomuto směru, k hodnotě tohoto plocha (plocha), kdy se velikost plochy blíží nule a samotná plocha se smršťuje do bodu [4] : $\operatorname {rot} \mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ $\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$ $\mathbf n$ $L$ $\Delta S$

\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\ cdot \,dr} }{\Delta S))

Směr průchodu obrysu volíme tak, že při pohledu ve směru se obrys přejíždí ve směru hodinových ručiček [5] . $\mathbf n$ $L$

Takto definovaná operace existuje přísně vzato pouze pro vektorová pole v trojrozměrném prostoru. Zobecnění na jiné dimenze viz níže .

Alternativní definicí může být přímá výpočetní definice diferenciálního operátoru, která se redukuje na

\operatorname {rot} \mathbf {a} =\nabla \times \mathbf {a}

které lze zapsat v konkrétních souřadnicích, jak je uvedeno níže .

Někdy se můžete setkat s takovou alternativní [6] definicí [7]

\operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}[\mathbf {a} \times d\mathbf {S} ]}{V}}

, kde je bod, ve kterém je určen rotor pole ,

Ó

\mathbf {a}

S

- nějaký uzavřený povrch obsahující bod uvnitř a smršťující se k němu v limitu,

Ó

d\mathbf {S}

je vektor prvku tohoto povrchu, jehož délka se rovná ploše prvku povrchu, ortogonální k povrchu v daném bodě, znak označuje vektorový produkt,

\krát

PROTI

je objem uvnitř povrchu .

S

Tato poslední definice je taková, že okamžitě udává vektor rotoru, aniž by bylo nutné samostatně definovat projekce na třech osách.

Intuitivní obrázek

Jestliže je rychlostní pole plynu (nebo toku kapaliny), pak je vektor úměrný vektoru úhlové rychlosti velmi malého a lehkého zrnka prachu (nebo koule) v toku (a strženého pohybem plynu nebo kapaliny; ačkoli střed koule lze v případě potřeby upevnit pouze tak, aby se kolem něj mohla volně otáčet). $\mathbf {v} (x,y,z)$ $\operatorname {rot} \mathbf {v}$

Konkrétně , kde je tato úhlová rychlost. $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\omega ))$

Pro jednoduchou ilustraci této skutečnosti viz níže .

Tuto analogii lze nakreslit poměrně přesně ( viz níže ). Základní definici oběhu uvedenou výše lze považovat za ekvivalentní k takto získané.

Vyjádření v konkrétních souřadnicích

Vzorec rotoru v kartézských souřadnicích

V trojrozměrném kartézském souřadnicovém systému je rotor (podle výše uvedené definice) vypočítán následovně (zde označeno vektorovým polem s kartézskými složkami a jsou orty kartézských souřadnic): $\mathbf {F}$ $(F_{x},F_{y},F_{z})$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

\operatorname {rot} (F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{ z})={}

= \left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+ \left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+ \left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \e_right) \math ekv

\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e } _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf { e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e}_{z}

nebo

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_ {z}}{\částečné y}}-{\frac {\částečné F_{y}}{\částečné z}}

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_ {x}}{\částečné z}}-{\frac {\částečné F_{z}}{\částečné x}}

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_ {y}}{\částečné x}}-{\frac {\částečné F_{x}}{\částečné y}}

(což lze považovat za alternativní definici, v podstatě se shodující s definicí na začátku oddílu, alespoň za podmínky, že složky pole jsou diferencovatelné).

Pro usnadnění můžeme formálně reprezentovat rotor jako vektorový součin operátoru nabla (vlevo) a vektorového pole:

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\ \partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e } _{z}\\\částečné _{x}&\částečné _{y}&\částečné _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

(poslední rovnost formálně reprezentuje vektorový součin jako determinant ).

Vzorec rotoru v křivočarých souřadnicích

Vhodným obecným výrazem pro rotor, který je vhodný pro libovolné křivočaré souřadnice ve 3D prostoru, je použití Levi-Civita tenzoru (pomocí horních indexů, dolních indexů a Einsteinova sčítacího pravidla ):

{\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

kde je souřadnicový zápis tenzoru Levi-Civita, včetně faktoru , je metrický tenzor v reprezentaci s horními indexy, a jsou kovariantní deriváty kontravariančních souřadnic vektoru . $\varepsilon_{ijk}$ ${\sqrt {g))$ $g^{jm}$ $g\equiv \det(g_{rs})$ ${\displaystyle \nabla _{m}v^{k))$ ${\mathbf v}$

Tento výraz lze také přepsat jako:

{\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

Vzorec rotoru v ortogonálních křivočarých souřadnicích

\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {rot} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_ {3}}A_{3})=

{}={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3 })-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1 })-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2 })-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}}

{}={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}{\begin{vmatrix}\mathbf {(} H_{1}{e}_{1}) &\mathbf {(} H_{2}{e}_{2})&\mathbf {(} H_{3}{e}_{3})\\{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{1))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{2))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{3 }}}\\(A_{1}H_{1})&(A_{2}H_{2})&(A_{3}H_{3})\end{vmatrix}}

kde jsou Lameovy koeficienty . $Ahoj$

Zobecnění

Zobecnění zvlnění, jak je aplikováno na vektorová (a pseudovektorová) pole na prostorech libovolné dimenze (za předpokladu, že dimenze prostoru se shoduje s dimenzí vektoru pole), je antisymetrické tenzorové pole o valenci dvě, jehož složky jsou rovnat se:

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_ {j}}{\částečné x_{i}}}}-{\frac {\částečné F_{i}}{\částečné x_{j}}}

Stejný vzorec lze napsat z hlediska vnějšího produktu s operátorem nabla:

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}

Pro dvourozměrnou rovinu lze použít podobný vzorec s pseudoskalárním součinem (takové zvlnění bude pseudoskalární a jeho hodnota se shoduje s projekcí tradičního vektorového součinu na normálu k této rovině, pokud je zasazena do trojrozměrný euklidovský prostor).

Pokud je struktura komplexního prostoru (se souřadnicí ) zavedena do dvourozměrného reálného prostoru (se souřadnicemi a ) a dvourozměrná vektorová pole jsou zapsána jako funkce s komplexní hodnotou , pak pomocí derivace s ohledem na komplexní proměnnou $X$ $y$ $z=x+iy$ $f(z)$

{\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{ \frac {\částečné {}}{\částečné y}}\vpravo)

rotor a divergenci (a zůstanou reálnými čísly) lze zapsat takto:

\operatorname {rot} f=2\operatorname {Im} {\frac {\partial f}{\partial z))

\operatorname {div} f=2\operatorname {Re} {\frac {\partial f}{\partial z))

Základní vlastnosti

Činnost rotoru je lineární nad polem konstant: pro libovolná vektorová pole a pro libovolná čísla (konstanta) a $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$ $A$ $b$

\operatorname {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {rot} \mathbf {F} +b\operatorname {rot} \mathbf {G}

Pokud je skalární pole (funkce) a je vektor, pak: $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operatorname {rot} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operatorname {rot} \mathbf {F}

\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )

Pokud je pole potenciální , jeho rotor je roven nule (pole je irotační): $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi \implies \operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0))

Lokálně je to naopak [8] : je-li pole irotační, pak lokálně (v dostatečně malých oblastech) je potenciální (tj. existuje takové skalární pole , které bude jeho gradientem): $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\implies \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi

Různá vektorová pole tedy mohou mít stejný rotor. V tomto případě se budou nutně lišit irotačním polem (tedy lokálně gradientem nějakého skalárního pole).

Divergence rotoru je nulová (pole rotoru je bez divergence):

\operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {F} =0

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0

Opačná vlastnost platí i lokálně - pokud je pole bez divergence, lokálně je to rotor nějakého pole , nazývaného jeho vektorový potenciál : $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$

\operatorname {div} \mathbf {F} =0\implies \mathbf {F} =\operatorname {rot} \mathbf {G}

Divergence křížového součinu dvou vektorových polí je vyjádřena pomocí jejich rotorů vzorcem:

\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operatorname {rot} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {G}

Tedy pokud a jsou irotační vektorová pole, jejich vektorový produkt bude bez divergence a bude mít lokálně vektorový potenciál. Například pokud , a , je snadné najít vektorový potenciál pro :

F

G

\mathbf {F} =\nabla f

\mathbf {G} =\nabla g

\mathbf {F} \times \mathbf {G}

\mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operatorname {rot} (f\nabla g)

. Lokálně je každé vektorové pole bez divergence ve 3D doméně křížovým součinem dvou gradientů.

Zakroucení rotoru se rovná gradientu divergence mínus Laplacián:

\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {F} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}

Rotor vektorového součinu polí se rovná:

\operatorname {rot} (\mathbf {F\times G} )=(\operatorname {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operatorname {div} \mathbf {F} )\ mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G}

Fyzická interpretace

Když se spojité médium pohybuje , rozložení jeho rychlostí (tj. pole rychlosti proudění tekutiny) v blízkosti bodu O je dáno Cauchy-Helmholtzovým vzorcem:

\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\ mathbf {r} )

kde je vektor úhlové rotace prvku média v bodě a je kvadratická forma souřadnic, je deformační potenciál prvku média. ${\boldsymbol {\omega ))$ $Ó$ $\varphi$

Pohyb spojitého média v blízkosti bodu se tedy skládá z translačního pohybu (vektor ), rotačního pohybu (vektor ) a potenciálního pohybu – deformace (vektor ). Aplikováním operace rotoru na Cauchyho- Helmholtzův rovnoprávnéhovzorec získáme, že v bodě $Ó$ $\mathbf {v} _{O}$ ${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\nabla\varphi$ $Ó$ $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Jako intuitivní obrázek, jak je popsáno výše, zde můžete použít myšlenku rotace malého zrnka prachu vrženého do proudu (strhávaného proudem sebou samým, bez jeho znatelné poruchy) nebo rotace malého jeden umístěný v proudu s pevnou osou (bez setrvačnosti, otočený prouděním, znatelně bez jeho zkreslení) koly s rovnými (ne spirálovitými) lopatkami. Pokud se jeden nebo druhý při pohledu na něj otáčí proti směru hodinových ručiček, znamená to, že rotorový vektor pole rychlosti proudění v tomto bodě má kladnou projekci směrem k nám.

Kelvin-Stokesův vzorec

Oběh vektoru podél uzavřeného obrysu, který je hranicí určitého povrchu, se rovná toku rotoru tohoto vektoru tímto povrchem:

\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\ cdot \mathbf {dS}

Speciálním případem Kelvinova-Stokesova vzorce pro plochý povrch je obsah Greenovy věty .

Příklady

V této kapitole budeme pro jednotkové vektory podél os (pravoúhlých) kartézských souřadnic používat zápis $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z.$

Jednoduchý příklad

Uvažujme vektorové pole v závislosti na souřadnicích a tak: $\mathbf {F}$ $X$ $y$

\mathbf{F}(x,y)=y\mathbf e_x - x \mathbf e_y

Ve vztahu k tomuto příkladu je snadné vidět, že , kde je vektor poloměru, a , to znamená, že pole lze považovat za pole rychlostí bodů tuhého tělesa rotujícího s úhlovou rychlostí o jednotkové velikosti. , směřující v záporném směru osy (to znamená ve směru hodinových ručiček, pokud se podíváte „shora“ - proti ose ). Intuitivně je víceméně zřejmé, že pole je stočeno ve směru hodinových ručiček. Umístíme-li kolo s lopatkami do kapaliny proudící takovými rychlostmi (tedy rotující jako celek ve směru hodinových ručiček) na libovolné místo, uvidíme, že se začne otáčet ve směru hodinových ručiček. (K určení směrů používáme jako obvykle pravidlo pravé ruky nebo pravého šroubu ). $\mathbf {F} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ ${\boldsymbol {\omega }}=-1\mathbf {e} _{z}$ $\mathbf {F}$ $z$ $z$
$z$ -složka pole bude považována za rovna nule. Pokud je však nenulový, ale konstantní (nebo dokonce závislý pouze na ) - výsledek pro rotor získaný níže bude stejný. $\mathbf {F}$ $z$

Pojďme vypočítat rotor:

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y+ \left[ {\frac{\partial}{\partial x))(-x) -{\frac{\partial }{\částečné y)) y \vpravo] \mathbf e_z = -2\mathbf e_z

Jak se očekávalo, směr se shodoval se záporným směrem osy . V tomto případě se rotor ukázal jako konstanta, to znamená, že pole se ukázalo jako homogenní, nezávislé na souřadnicích (což je přirozené pro rotaci tuhého tělesa). Co je úžasné $z$ $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}$

úhlová rychlost rotace kapaliny, vypočtená z rotoru a zjištěná jako přesně stejná , přesně odpovídala tomu, co je uvedeno v odstavci Fyzikální interpretace , to znamená, že tento příklad je dobrou ilustrací skutečnosti, která je tam uvedena $\operatorname {rot}{\mathbf F}/2$ . (Samozřejmě výpočty, které zcela opakují výše uvedené, ale pouze pro nejednotkovou úhlovou rychlost, dávají stejný výsledek ). $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Úhlová rychlost rotace je v tomto příkladu stejná v libovolném bodě prostoru (úhel rotace prachového zrna nalepeného na pevné těleso nezávisí na místě, kde je prachové zrno nalepeno). Zápletka rotoru proto není příliš zajímavá: $\mathbf {F}$

Složitější příklad

Nyní zvažte trochu složitější vektorové pole [9] :

{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y))

Jeho rozvrh:

Nemusíme vidět žádnou rotaci, ale když se podíváme blíže doprava, vidíme větší pole například v bodě než v bodě . Pokud bychom tam instalovali malé lopatkové kolo, větší průtok na pravé straně by způsobil otáčení kola ve směru hodinových ručiček, což odpovídá šroubování ve směru . Pokud bychom kolo umístili na levou stranu pole, větší průtok na jeho levé straně by způsobil otáčení kola proti směru hodinových ručiček, což odpovídá šroubování ve směru . Zkontrolujeme náš odhad výpočtem: $x=4$ $x=3$ $-z$ $+z$

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y + {\frac{\partial}{\partial x))(-x^2) \mathbf e_z = -2x \ mathbf e_z

Ve skutečnosti se šroubování vyskytuje ve směru pro záporný a kladný , jak se očekávalo. Protože tento rotor není v každém bodě stejný, jeho graf vypadá o něco zajímavěji: $+z$ $X$ $-z$ $X$

Je vidět, že graf tohoto rotoru nezávisí na nebo (jak by měl být) a směřuje podél pro kladný a ve směru pro záporný . $y$ $z$ $-z$ $X$ $+z$ $X$

Vysvětlující příklady

V tornádu se větry točí kolem středu a vektorové pole rychlostí větru má nenulový rotor (někde) v centrální oblasti. (viz vírový pohyb ). (Pravda, někde blíž ke kraji může rotor nabrat i nulovou hodnotu, viz níže ).
Pro vektorové pole rychlostí pohybu bodů rotujícího tuhého (absolutně tuhého) tělesa je v celém objemu tohoto tělesa stejné a rovná se (vektoru) dvojnásobku úhlové rychlosti rotace ( podrobnosti viz výše ) . V konkrétním případě čistě translačního pohybu nebo klidu může být tento rotor roven nule, stejně jako úhlová rychlost, také pro všechny body tělesa. ${\mathbf v}$ $\operatorname {rot} \mathbf {v}$
Pokud by byly rychlosti aut na trati popsány vektorovým polem a různé pruhy by měly různé rychlostní limity, rotor na hranici mezi pruhy by byl nenulový.
Faradayův zákon elektromagnetické indukce , jedna z Maxwellových rovnic , je jednoduše zapsána (v diferenciální formě) přes rotor: rotor elektrického pole se rovná rychlosti změny magnetického pole (s časem) s opačným znaménkem.
Čtvrtá Maxwellova rovnice - Ampère-Maxwellův zákon - je také zapsána v diferenciální formě pomocí rotoru: rotor intenzity magnetického pole se rovná součtu konvenčních proudových hustot a posuvného proudu [10] .

Důležitý kontraintuitivní příklad

Je třeba si uvědomit, že směr rotoru nemusí odpovídat směru rotace pole (budiž to pole rychlostí tekutin), což se zdá být zřejmé, odpovídající směru proudění. Může mít opačný směr než proudění, a zejména se rotor může ukázat jako rovný nule, ačkoli proudnice jsou ohnuté nebo dokonce představují přesné kruhy). Jinými slovy, směr zakřivení vektorových čar vektorového pole nijak nesouvisí se směrem vektoru rotoru tohoto pole.

Uvažujme o takovém příkladu. Nechť je pole rychlosti proudění tekutiny definováno vzorcem: ${\mathbf v}$

{\displaystyle \mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x))

{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z))

Jestliže proudění unáší částici zprava doleva (to znamená proti směru hodinových ručiček pro pozorovatele shora podél osy ) , je-li a je klesající funkcí, pak je rotor nasměrován všude dolů, což znamená, že každá částice tekutiny je zkroucený ve směru hodinových ručiček (zatímco také a deformovaný). $f'(y)>0$ $z$ $f'(y)<0$ $f(y)$

Výše uvedené znamená, že médium jako celek se může otáčet kolem pozorovatele jedním směrem a každý jeho malý objem se může otáčet opačným směrem, nebo se neotáčet vůbec.

Poznámky

↑ Také v němčině, odkud se toto označení zjevně dostalo do ruštiny, a téměř všude v Evropě s výjimkou Anglie, kde je takové označení považováno za „alternativní“ (snad z důvodu nesouladu: anglicky rot - rot - rot, decay) .
↑ O. Heaviside . Vztahy mezi magnetickou silou a elektrickým proudem Archivováno 22. července 2016 na Wayback Machine . // Elektrikář, 1882.
↑ Přesněji - jestliže - pseudo -vektorové pole, pak - obyčejné vektorové pole (vektor - polární), a naopak, je-li pole polem obyčejného (polárního) vektoru, pak - pseudovektorové pole. $\mathbf {F}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F}$
↑ Kontrakce do bodu je předpokladem, jen sklon k nule nestačí, protože chceme získat charakteristiku pole v jednom konkrétním bodě. $\Delta S$
↑ Obvyklá konvence, v souladu s definicí prostřednictvím vektorového součinu s operátorem nabla.
↑ Ekvivalence těchto definic, pokud limita existuje a nezávisí na metodě smršťování do bodu, je viditelná, zvolíme-li povrch druhé definice ve tvaru válcové plochy se základnami získanými paralelním přenosem místo první definice o velmi malou vzdálenost ve dvou opačných směrech ortogonálně k . V limitu by se měly přibližovat rychleji než velikost . Potom se výraz druhé definice rozdělí na dva členy, z nichž jeden obsahuje integrál přes boční plochu se shoduje s první definicí a druhý dává nulu v průmětu na normálu k základnám, protože sám je k ní na základně ortogonální. základny. Místo toho můžete považovat za plochu jen malý hranol, pak to není tak snadné okamžitě přísně, ale obecně je analogie jasná. $S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $d\mathbf {S}$
↑ Formálně podobné definici divergence prouděním povrchem: $\operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}(\mathbf {a} \cdot d\mathbf {S} )}{V}}$ .
↑ Klauzule o lokalitě je důležitá pro obecný případ, kdy zde uvažovaná pole mohou být definována na prostoru (manifoldu) nebo doméně netriviální topologie a kdy jsou podmínky splněny také obecně řečeno na prostoru nebo doméně netriviální topologie. triviální topologie. V případě euklidovského prostoru nebo jeho jednoduše spojené oblasti není klauzule o lokalitě potřeba; To znamená, že potom existuje takové skalární pole , které bude platit všude v tomto prostoru nebo této oblasti. $\mathbf {F}$ $\varphi$ $\operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$ $\varphi$ $\mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi$
↑ Nejjednodušší fyzikální implementace takového pole (až do aditivní konstanty, která neovlivňuje výpočet rotoru, protože ; navíc, pokud je to žádoucí, lze tuto konstantu nastavit na nulu přepnutím na referenční rámec spojený s nejrychlejším proudící voda ve středu paprsku) - laminární proudění (viskózní) tekutina mezi dvěma rovnoběžnými pevnými rovinami kolmými k ose pod vlivem rovnoměrného silového pole (gravitace) nebo tlakového rozdílu. Proudění kapaliny v potrubí s kruhovým průřezem dává stejnou závislost , proto je výpočet rotoru uvedený níže použitelný i pro tento případ (nejjednodušší je vzít osu shodující se s osou potrubí a i když závislost již nebude konstanta, bude nula v , jako v hlavním příkladu, to znamená, že výpočet a odpověď pro jakoukoli rovinu procházející osou potrubí je stejná, a tím je problém vyřešen). $\operatorname {rot} \mathrm {const} ={\boldsymbol {0}}$ $X$ $v_y(x)$ $y$ $\mathbf v (z)$ $\partial v_y/\partial z$ $z=0$
↑ Matematický slovník vysokého školství. V. T. Vodněv, A. F. Naumovič, N. F. Naumovič

Viz také

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata