Kosinová věta

Kosinová věta je věta Euklidovské geometrie , která zobecňuje Pythagorovu větu na libovolné rovinné trojúhelníky.

Formulace

Pro plochý trojúhelník se stranami a úhlem na opačné straně platí vztah: $a,b,c$ $\alpha$ $A$

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha

Druhá mocnina strany trojúhelníku se rovná součtu čtverců ostatních dvou stran mínus dvojnásobek součinu těchto stran a kosinus úhlu mezi nimi [1]

Důkazy

Klasický důkaz

Uvažujme trojúhelník ABC . Z vrcholu C na stranu AB je výška CD snížena . Z trojúhelníku ADC vyplývá:

AD=b\cos \alpha

kde

DB=cb\cos \alpha

Pojďme napsat Pythagorovu větu pro dva pravoúhlé trojúhelníky ADC a BDC :

h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)

h^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)

Dáme rovnítko mezi pravé části rovnic (1) a (2) a:

b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}

nebo

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Případ, kdy je jeden z úhlů na základně tupý (a výška připadá na pokračování základny), je zcela analogický tomu uvažovanému.

Výrazy pro strany b a c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

. Důkaz přes souřadnice

Jedním z důkazů je jeho důkaz v souřadnicové rovině.

Do souřadnicové roviny zavedeme libovolný trojúhelník ABC tak, aby se bod A shodoval s počátkem souřadnic a přímka AB ležela na přímce OX . Zaveďme označení AB = c , AC = b , CB = a , úhel CAB = α (prozatím budeme předpokládat, že α ≠ 90°).
Pak bod A má souřadnice (0;0), bod B (c;0). Prostřednictvím funkce sin a cos a také strany AC \ u003db odvodíme souřadnice bodu C. C (b×cosα; b×sinα). Souřadnice bodu C zůstávají nezměněny pro tupý a ostrý úhel α .
Když známe souřadnice C a B a také víme, že CB = a , když jsme našli délku úsečky, můžeme vytvořit rovnost: Protože (hlavní trigonometrická identita), pak je věta dokázána. Pro pravý úhel α funguje věta také cos90° = 0 a a²=b²+c² - známá Pythagorova věta. Ale protože souřadnicová metoda je založena na Pythagorově větě, její důkaz pomocí kosinové věty není zcela správný.
$a^{2}=(b\cos {a}-c)^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}\cos ^{2}{a}-2bc\cos {a}+c^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a})+c^{2}-2bc\cos {a}$

$\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a}=1$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {a}$

Důkaz pomocí vektorů

Níže máme na mysli operace s vektory, nikoli délkami segmentů $AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB$

Protože se skalární součin vektorů rovná součinu jejich modulů (délek) a kosinu úhlu mezi nimi, lze poslední výraz přepsat: kde a, b, c jsou délky odpovídajících vektorů
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Důsledky

Kosinusovou větu lze použít k nalezení kosinusu úhlu trojúhelníku $\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Zejména,

Jestliže , úhel α je ostrý $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$
Pokud je úhel α přímý (je-li úhel α přímý , pak se z kosinové věty stane Pythagorova věta ) $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$
Jestliže , úhel α je tupý $b^{2}+c^{2}-a^{2}<0$

Kosinová věta může být také zapsána v následujícím tvaru [2] :

a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

a^{2}=(bc)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

. Důkaz

Poslední dva vzorce okamžitě vyplývají z hlavního vzorce kosinové věty (viz rámeček výše), pokud v jeho pravé části použijeme vzorce pro rozšíření druhé mocniny součtu (u druhého vzorce druhou mocninu rozdílu) dvou členy do čtvercového trinomu, což je dokonalý čtverec. Chcete-li získat konečný výsledek (dva výše uvedené vzorce) na pravé straně, musíte také použít známé trigonometrické vzorce:

1+\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

1-\cos \alpha =2\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

Mimochodem, druhý vzorec formálně neobsahuje kosiny, ale stále se nazývá kosinová věta.

Explicitním zjištěním z posledních dvou vzorců a získáme dobře známé geometrické vzorce [2] : $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(pa)}{bc))))$ , , , kde p je semiperimetr . ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{bc))))$ $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{p(pa)))}$
Nakonec pomocí pravých stran vzorců pro a a známého vzorce pro oblast trojúhelníku: a také známého vzorce pro sinus dvojitého úhlu po malých transformacích získejte známý Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku: , kde p je semiperimetr . $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha$ $\sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)$ $S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))$

Pro jiné úhly

Kosinová věta pro další dva úhly je:

c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

Z těchto a z hlavního vzorce lze úhly vyjádřit:

\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)

\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)

Historie

Výroky zobecňující Pythagorovu větu a ekvivalentní kosinové větě byly formulovány odděleně pro případy ostrých a tupých úhlů ve 12 a 13 větách knihy II Euklidových prvků .

Výroky ekvivalentní kosinovému teorému pro sférický trojúhelník byly použity ve spisech al-Battaniho . [3] :105 Kosinová věta pro sférický trojúhelník ve své obvyklé podobě byla formulována Regiomontanem , který ji nazval "Albategniovou větou" po al-Battanim.

V Evropě byl kosinový teorém popularizován Françoisem Vietem v 16. století. Počátkem 19. století se začalo psát v algebraickém zápisu přijímaném dodnes.

Variace a zobecnění

Kosinové věty (sférická geometrie) nebo Kosinové věty pro triedrický úhel .
Kosinové věty (Lobačevského geometrie)
Identita paralelogramu . Součet čtverců úhlopříček rovnoběžníku se rovná součtu čtverců jeho stran (viz také Ptolemaiova věta ): $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Pro euklidovské normované prostory

Nechť je norma spojená se skalárním součinem dána v euklidovském prostoru , tj . Pak je kosinová věta formulována takto: $E$ $\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}}))))$

Věta .
$\left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\left \Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})$

Pro čtyřúhelníky

Umocněním identity můžete získat výrok, někdy nazývaný kosinová věta pro čtyřúhelníky : ${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C

, kde je úhel mezi přímkami AB a CD .

\omega

Nebo jinak:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \úhel B+2ac\cos(\úhel A+\úhel D)-2bc\cos \úhel C

Vzorec platí také pro čtyřstěn, což znamená úhel mezi křížícími se hranami.

w

Pomocí něj můžete najít kosinus úhlu mezi křížícími se hranami a znát všechny hrany čtyřstěnu:

A

C

\cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac

Kde a , a jsou dvojice křížících se hran čtyřstěnu.

b

d

E

F

Nepřímá analogie pro čtyřúhelník

Bretschneiderův vztah je vztah ve čtyřúhelníku , nepřímá analogie kosinové věty:

Mezi stranami a, b, c, d a protilehlými úhly a úhlopříčkami e, f jednoduchého (neprotínajícího se) čtyřúhelníku platí vztah: $\alpha ,\gamma$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )

Pokud se čtyřúhelník zvrhne v trojúhelník a jeden vrchol padne na stranu, pak dostaneme Stewartův teorém .
Kosinová věta pro trojúhelník je speciálním případem Bretschneiderova vztahu, pokud je střed kružnice opsané trojúhelníku zvolen jako čtvrtý vrchol.

Simplexy

S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j))){2^{n-1}((n- 1)!)^{2))}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\tečky &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\tečky &d_{1(n+1)} ^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\tečky &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{ 32}^{2}&0&\tečky &d_{3(n+1)}^{2}\\\vtečky &\vtečky &\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\1&d_{(n+1) 1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\tečky &0\\\end{vmatrix}}

zároveň musíme škrtnout řádek a sloupec, kde nebo se nachází . $d_{ij}$ $d_{ji}$

A je úhel mezi plochami a , je plocha protilehlá k vrcholu i, je vzdálenost mezi vrcholy i a j . $S_{i}$ $S_{j}$ $S_{i}$ $d_{ij}$

Viz také

Poznámky

↑ L. S. Atanasyan , V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev aj. Geometrie 7-9: učebnice. pro všeobecné vzdělání instituce - 15. vyd. — M.: Osvícení, 2005. — S. 257. — 384 s.: nemoc. — ISBN 5-09-014398-6
↑ 1 2 Korn G. A., Korn T. M. Příručka matematiky pro vědce a inženýry . - M .: " Nauka ", 1974. - S. 51. - 832 s.
↑ Florian Cajori. Historie matematiky - 5. vydání 1991

Literatura

Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M. : MTSNMO , 2004. - S. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0 .

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní

Trigonometrie
Všeobecné	Přehled trigonometrie Příběh Používání Funkce Zvrátit Málo používané Generalizovaná trigonometrie
Adresář	Totožnosti Přesné konstanty tabulky jednotkový kruh
Zákony a věty	Sinusová věta Pythagorova věta Kosinová věta Věta tečny Kotangensová věta Řešení trojúhelníků
Matematická analýza	Trigonometrické substituce Integrály ( inverzní funkce ) Deriváty